1.1-1.3 集合 單元教學(xué)設(shè)計(jì)

“集合”的單元教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析（一）內(nèi)容1.集合的概念2.集合間的基本關(guān)系3.集合的基本運(yùn)算（二）內(nèi)容解析內(nèi)容本質(zhì)：集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言和工具，用以刻畫一類事物，是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)，有著高度的概括性與廣泛的應(yīng)用性.集合是由組成它的元素確定的，研究集合實(shí)質(zhì)就是研究元素.蘊(yùn)含的思想與方法：用集合語言來刻畫所研究的數(shù)學(xué)對象時(shí)，要求抽象出這類事物的共同特征，是提升數(shù)學(xué)抽象的重要途徑.在集合教學(xué)中，我們要通過提出的指引性問題，指引學(xué)生恰到好處地運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化以及類比等數(shù)學(xué)思維方法，提高數(shù)學(xué)思維能力.知識點(diǎn)上下位關(guān)系：本單元內(nèi)容屬于“預(yù)備知識”，定位是幫助學(xué)生完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡.讓學(xué)生從初中學(xué)習(xí)過的數(shù)集、解集、點(diǎn)集出發(fā)，概括它們的共同特征，抽象出集合的概念.教科書對于集合的研究經(jīng)歷了一個(gè)完整的數(shù)學(xué)思考過程，作為一個(gè)范例，它向?qū)W生完整展示了研究數(shù)學(xué)問題的“基本套路”，這將為后續(xù)的教學(xué)提供思維方式的示范及學(xué)習(xí)方法的引領(lǐng).集合知識的學(xué)習(xí)，是后續(xù)常用邏輯用語、函數(shù)中定義域與值域、概率中樣本空間以及立體幾何中點(diǎn)線面位置關(guān)系的基礎(chǔ).育人價(jià)值：集合語言是數(shù)學(xué)的基本語言，它能簡潔準(zhǔn)確的表述數(shù)學(xué)的研究對象，表達(dá)和交流數(shù)學(xué)問題.掌握語言的最好的方法就是使用，因此，在本章分三個(gè)層次安排集合語言的使用：一是讀懂問題中的集合概念和符號；二是處理問題時(shí)，根據(jù)需要運(yùn)用集合語言進(jìn)行表述；三是創(chuàng)設(shè)情境，根據(jù)情境需求進(jìn)行三種語言（自然語言、圖形語言、符號語言）的轉(zhuǎn)換.通過這樣進(jìn)階式的安排，讓學(xué)生逐漸熟悉集合語言的抽象性，從而提升數(shù)學(xué)抽象與直觀想象等核心素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：用集合語言準(zhǔn)確地表示數(shù)學(xué)的研究對象.二、目標(biāo)和目標(biāo)分析（一）單元目標(biāo)1.通過實(shí)例了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集，能用圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與直觀想象素養(yǎng).2.能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言（列舉法與描述法）刻畫不同的數(shù)學(xué)對象，初步感受集合語言的準(zhǔn)確與簡潔.3.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，理解在給定集合中的一個(gè)子集的補(bǔ)集含義，能求兩個(gè)集合的并集、交集與求給定子集的補(bǔ)集，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).（二）目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：1.讓學(xué)生能根據(jù)集合中元素的確定性、互異性與無序性判斷一個(gè)群體能否構(gòu)成一個(gè)集合以及一個(gè)元素是不是集合中的元素并會(huì)用“”、“”表示，能用常用數(shù)集符號表示有關(guān)集合，能在具體實(shí)例中合理地定義全集，能說出空集的特征，能求給定集合的子集.2.讓學(xué)生能根據(jù)具體問題的條件，列舉出所有元素并用列舉法表示集合，或概括出集合中元素的共同特征并用描述法表示集合.3.讓學(xué)生能舉例說明兩個(gè)集合的并集與交集以及全集、補(bǔ)集的含義，會(huì)求兩個(gè)集合的并集、交集及給定集合的補(bǔ)集，并能用圖表示，感受幾何圖形的直觀性.三、教學(xué)問題診斷分析1.學(xué)生在初中接觸過集合，但知識極其零散，這是教學(xué)中首先要遇到的教學(xué)問題.因此，教學(xué)中應(yīng)選取典型數(shù)學(xué)實(shí)例，讓學(xué)生抽象出集合的概念及集合中元素的三大特性.2.在理解了集合的概念及集合中元素的三大特性后，如何理解集合的相等與包含關(guān)系與集合的基本運(yùn)算，是第二個(gè)教學(xué)問題.教學(xué)中，要讓學(xué)生通過類比實(shí)數(shù)的相等及大小關(guān)系與實(shí)數(shù)的運(yùn)算，通過提出引導(dǎo)性問題，指引學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、研究問題，聯(lián)想集合間的基本關(guān)系與集合的交并補(bǔ)運(yùn)算.3.集合是刻畫一類事物的語言和工具，如何使學(xué)生學(xué)會(huì)用集合的語言簡潔的、準(zhǔn)確的表述數(shù)學(xué)的研究對象，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和交流數(shù)學(xué)問題，是第三個(gè)教學(xué)問題.掌握語言的最好方法就是使用。因此在教學(xué)中，我們分三個(gè)層次安排集合語言的使用：一是讀懂問題中的集合概念與符號；二是在處理問題時(shí)，根據(jù)需要，運(yùn)用集合語言進(jìn)行表述；三是創(chuàng)設(shè)情境，根據(jù)情境需求進(jìn)行三種語言的轉(zhuǎn)換.通過這樣進(jìn)階式的安排，讓學(xué)生逐步熟悉集合語言的抽象性.教學(xué)難點(diǎn)：用符號語言表示集合.四、教學(xué)支持條件分析1.學(xué)生在小學(xué)和初中已經(jīng)接觸過一些集合，如各種數(shù)集、不等式的解集、點(diǎn)集等，這是學(xué)習(xí)集合知識特別是抽象集合概念的基礎(chǔ).教學(xué)時(shí)應(yīng)充分利用學(xué)生已有的集合知識，不斷補(bǔ)充與完善知識結(jié)構(gòu).2.利用網(wǎng)絡(luò)平臺（比如：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室、等）在課堂檢測、學(xué)生展示等環(huán)節(jié)中，讓教師及時(shí)了解學(xué)生的反饋信息，適時(shí)作出評價(jià).五、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)本單元共4課時(shí)，具體分配如下：第1課時(shí)，集合的概念；第2課時(shí)，集合間的基本關(guān)系；第3課時(shí)，集合的基本運(yùn)算（一）——并集與交集；第4課時(shí)，集合的基本運(yùn)算（二）——補(bǔ)集.第1課時(shí)（一）教學(xué)內(nèi)容集合的概念（二）教學(xué)目標(biāo)1.結(jié)合具體實(shí)例，了解元素及集合的含義，能根據(jù)集合中元素的確定性、互異性與無序性判斷一個(gè)群體能否構(gòu)成一個(gè)集合，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.理解元素與集合的“屬于”關(guān)系，能判斷一個(gè)元素是不是集合中的元素并會(huì)用“”、“”表示，了解集合相等的含義.3.知道常用數(shù)集及其專用記號.4.針對具體問題，能在自然語言基礎(chǔ)上，用列舉法和描述法刻畫集合，感受集合語言的意義和作用，提高語言轉(zhuǎn)換與抽象概括的能力，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).（三）教學(xué)重點(diǎn)集合的含義，集合中元素的三個(gè)特性，集合的表示方法.（四）教學(xué)難點(diǎn)集合中元素的確定性，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎揪唧w問題中的集合.（五）教學(xué)過程問題1思考并回答下列問題：（=1\*ROMANI）你能求出方程的解嗎？（=2\*ROMANII）你能說說到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是什么嗎？師生活動(dòng)：（1）學(xué)生經(jīng)過思考，作出解答.（2）教師針對學(xué)生的不同答案作出適時(shí)評價(jià)，并指出對于不同的研究范圍，同一個(gè)問題會(huì)有不同的答案.從而指明確研究對象、確定研究范圍是研究數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ).對于數(shù)學(xué)對象與研究范圍的表述，我們需要使用一種數(shù)學(xué)的語言與工具——集合.（3）教師追問：在小學(xué)與初中，我們學(xué)習(xí)過哪些集合，你能說說嗎？（4）學(xué)生快速作答.（5）教師作出評價(jià)后適時(shí)引出本節(jié)課題——集合的概念.設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生對本章學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)意義在總體上有一個(gè)大致的了解，幫助學(xué)生高屋建瓴地認(rèn)識學(xué)習(xí)內(nèi)容，感受學(xué)習(xí)集合的必要性.問題2看這6個(gè)例子，（=1\*ROMANI）以內(nèi)的所有偶數(shù)；（=2\*ROMANII）立德中學(xué)今年入學(xué)的全體高一學(xué)生；（=3\*ROMANIII）所有正方形；（=4\*ROMANIV）到直線的距離等于定長的所有的點(diǎn);（=5\*ROMANV）方程的所有實(shí)數(shù)根；（=6\*ROMANVI）中國古代四大發(fā)明。這些例子也都能組成集合嗎？你能概括出它們具有的共同特征嗎？師生活動(dòng)：（1）學(xué)生思考.（2）教師引導(dǎo)學(xué)生分析例（=1\*ROMANI）與（=2\*ROMANII）：（=1\*ROMANI）研究對象是之間的每一個(gè)偶數(shù)2，4，6，8，10，這5個(gè)偶數(shù)的全體就是一個(gè)集合；（=2\*ROMANII）研究對象是立德中學(xué)今年入學(xué)的每一位高一學(xué)生，他們的全體也是一個(gè)集合.（3）教師追問：例（=3\*ROMANIII）至（=6\*ROMANVI）也都能組成集合嗎？它們的元素分別是什么？（4）學(xué)生自主分析解答，教師在學(xué)生表述的基礎(chǔ)上再給出元素與集合的概念：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合.設(shè)計(jì)意圖：從生活和學(xué)習(xí)中的例子出發(fā)研究集合，一是讓學(xué)生了解集合與我們的生活、學(xué)習(xí)息息相關(guān)，從而使學(xué)生認(rèn)識到研究集合的必要性；二是為研究集合提供大量素材，便于引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)例，使學(xué)生在充分體驗(yàn)和感悟的基礎(chǔ)上歸納、抽象概括生成元素與集合的概念，在幫助學(xué)生深刻理解集合含義的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力.問題3判斷下列元素的全體是否組成集合，如果是，指出該集合的元素，如果不能組成集合，請說明理由。（=1\*ROMANI）我國的直轄市；（=2\*ROMANII）樹人中學(xué)高一（2）班的高個(gè)子同學(xué)；（=3\*ROMANIII）較小的數(shù)；（=4\*ROMANIV）單詞“”中的字母。師生活動(dòng)：（1）學(xué)生先獨(dú)立思考，討論交流后回答問題.（2）教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材的倒數(shù)第10行到倒數(shù)第5行，并適時(shí)做個(gè)別輔導(dǎo)與答疑.（3）教師引導(dǎo)學(xué)生概括出集合中元素的三性：確定性、互異性、無序性.設(shè)計(jì)意圖：通過以上問題的研究，加深學(xué)生對集合概念的鞏固和理解，明確集合中元素的三性：確定性、互異性、無序性，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力.問題4閱讀教科書第2頁倒數(shù)第4行“我們通常用大寫拉丁字母……”至第3頁表格中的“數(shù)學(xué)中一些常用數(shù)集及其記法”，并回答：（=1\*ROMANI）元素與集合之間存在著什么關(guān)系？請舉例說明.（=2\*ROMANII）常用的數(shù)集有哪些？分別用什么字母表示？師生活動(dòng)：（1）學(xué)生自主閱讀后交流.（2）教師總結(jié)：集合與元素的字母表示、元素與集合關(guān)系的符號表示：用大寫拉丁字母表示集合，用小寫拉丁字母表示集合中的元素。屬于A，.不屬于A，.（3）課堂測試1：用“”或“”填空：(=1\*ROMANI)設(shè)所有亞洲國家組成的集合為，則中國，美國，印度，英國.(=2\*ROMANII)若方程的所有實(shí)數(shù)解組成集合，則，.（4）引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)集的擴(kuò)充過程，并逐一介紹這些常用數(shù)集的字母表示：非負(fù)整數(shù)集或自然數(shù)集，正整數(shù)集，整數(shù)集，有理數(shù)集，實(shí)數(shù)集.（5）課堂測試2：用“”或“”填空：0-30.5設(shè)計(jì)意圖：對于難度不大的內(nèi)容，特別是符號比較多時(shí)，學(xué)生通過閱讀，熟悉自然語言和符號語言，并建立它們之間的對應(yīng)關(guān)系。問題5從上面的例子看到，我們可以用自然語言描述一個(gè)集合，用大寫的拉丁字母表示一個(gè)集合，一些常用的數(shù)集還有專用的字母表示.除此之外，我們還可以用什么方式表示集合呢？師生活動(dòng)：（1）引導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書、獨(dú)立思考、討論交流，根據(jù)學(xué)生交流情況，教師可以適時(shí)地選擇以下問題進(jìn)行追問.追問1我們可以用自然語言來描述一個(gè)集合，但這將給我們帶來很多不便，你會(huì)用符號來表示問題3中（=1\*ROMANI）和（=4\*ROMANIV）相應(yīng)的集合嗎？追問2表示一個(gè)集合，關(guān)鍵是確定什么？（2）學(xué)生思考后交流、回答，教師作出評價(jià)后強(qiáng)調(diào)表示一個(gè)集合，關(guān)鍵是確定它包含哪些元素，從而引導(dǎo)學(xué)生在“列舉”的基礎(chǔ)上規(guī)范生成兩個(gè)集合的列舉法表示：（=1\*ROMANI）；（=4\*ROMANIV）.并給出列舉法的定義：把集合中的所有元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.（3）追問3列舉法表示集合需要注意哪些問題？哪些類型的集合用列舉法表示為宜？（4）學(xué)生獨(dú)立思考并回答問題：一一列舉，用逗號隔開，再用花括號括起來；元素能一一列舉.設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生學(xué)習(xí)用列舉法表示集合.問題6（=1\*ROMANI）你能用自然語言表示集合嗎？（=2\*ROMANII）你能用列舉法表示不等式的解集嗎？（1）學(xué)生回顧集合的列舉法表示和不等式解集的含義，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上交流、探討，教師啟發(fā)引導(dǎo)、補(bǔ)充總結(jié).（=1\*ROMANI）學(xué)生一般會(huì)用自然語言表述如下：小于10且能被3整除的自然數(shù)，既大于等于0又小于等于9的被3整除的數(shù)等，教學(xué)中要注意學(xué)生自然語言表述的準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性.（=2\*ROMANII）是，滿足的實(shí)數(shù)有無數(shù)個(gè)，我們不能一一列舉，所以的解集無法用列舉法表示，這就說明了學(xué)習(xí)描述法的必要性.（2）追問1不等式的解集中的元素有何共同特征？怎樣表示不等式的解集？對于追問1，學(xué)生獨(dú)立思考后討論交流，教師梳理總結(jié)后給出其解集的描述法表示：.然后概括出描述法的定義：一般地，設(shè)是一個(gè)集合，我們把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法.（3）追問2（=1\*ROMANI）整數(shù)集可以分為奇數(shù)集和偶數(shù)集.那么奇數(shù)的共同特征是什么？你能用上面的表示方法表示奇數(shù)集嗎？（=2\*ROMANII）你能用描述法表示有理數(shù)集嗎？對于追問2，（=1\*ROMANI）學(xué)生回憶奇數(shù)的定義，在此基礎(chǔ)上交流、探討奇數(shù)的共同特征，教師引導(dǎo)學(xué)生模仿上面的表示方法表示奇數(shù)集為：；（=2\*ROMANII）引導(dǎo)學(xué)生回憶初中所學(xué)的有理數(shù)的相關(guān)知識，概括有理數(shù)的共同特征，師生共同寫出有理數(shù)集的描述法表示：.（4）追問3在描述法中，豎線前后各表示什么內(nèi)容？描述法表示集合需要注意哪些問題？哪些類型的集合用描述法表示為宜？對于追問3，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、分析，歸納總結(jié)：在中的是這個(gè)集合的元素的代表形式，是元素的取值（或變化）范圍，是集合中元素所具有的共同特征.并強(qiáng)調(diào)分用描述法表示集合時(shí)需要注意的問題：①寫清該集合中元素的代表符號.用簡明、準(zhǔn)確的語言說明該集合中元素的性質(zhì).代表元素與元素的性質(zhì)間須用“”隔開，豎線前是集合元素的代表符號及取值（或變化）范圍，豎線后是集合元素具有的共同特征即集合中元素的性質(zhì)；②元素的取值（或范圍）從上下文來看，若是明確的可省略不寫.如集合可表示為；③描述法適用于集合元素有無限多個(gè)的情況及元素的共同特征明顯的集合.（5）追問4已知集合，嗎？嗎？嗎？一般地，如果，那么你能得到哪些結(jié)論？設(shè)計(jì)意圖：通過對問題6的思考與解答，使學(xué)生體會(huì)用描述法表示集合的必要性，通過用描述法表示奇數(shù)集和有理數(shù)集，向?qū)W生詳細(xì)解釋何為共同特征以及如何用描述法表示集合，讓學(xué)生學(xué)會(huì)識別并用符號表示共同特征，熟悉描述法的表示形式.通過追問4幫助學(xué)生理解“對于任何，都有，且成立.”的含義，從而加深學(xué)生對描述法的理解，幫助學(xué)生正確熟練地使用描述法，最終突破教學(xué)難點(diǎn).問題7你能用描述法和列舉法表示下列集合嗎？（=1\*ROMANI）方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合.

（=2\*ROMANII）由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合.（=3\*ROMANIII）方程的實(shí)數(shù)解組成的集合.

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生分析集合中的元素及元素的共同特征，教師給出解答示范.設(shè)計(jì)意圖：鞏固描述法和列舉法，學(xué)生體會(huì)描述法與列舉法各自的特點(diǎn).問題8你能舉例說明，用自然語言、列舉法和描述法表示集合時(shí)各自的特點(diǎn).師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、討論交流，根據(jù)學(xué)生交流情況，教師補(bǔ)充完善、提煉總結(jié).自然語言：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒ǎ群唵蚊髁耍ㄋ滓锥帜芮逦姆从吵黾袭?dāng)中的所有元素.列舉法：把集合中元素一一列舉出來表示集合的方法.一般情況下，對于有限集，在元素不太多的情況下，宜采用列舉法，它具有直觀明了的特點(diǎn).描述法：用概括集合所含元素的共同特征來表示