近期全國各地高考模擬試題綜合題匯編

近期全國各地高考模擬試題綜合題匯編

1(山東煙臺)

20.(本小題滿分12分)

已知在平面直角坐標系xoy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-73,0),

的坐標是(1」).

右頂點為。(2,0),設點A

(1)求該橢圓的標準方程；

(2)若尸是橢圓上的動點，求線段附中點M的軌跡方程；

(3)過原點。的直線交橢圓于點8、C,求△48C面積的最大值.

22.(本小題滿分14分)

已知R上的函數(shù)/(x)=1ax3

y=/(x)的圖象上有一點處的切線斜率為一a.

b

(1)證明：。<一<1；

a

⑵若/(X)在區(qū)間(s,t)上為增函數(shù)，證明：iNf>$>-2且f-s<3；

(3)對任意滿足以上條件的a,b,c,若不等式/'(x)+a<0對任意xNZ恒成立，求

k的取值范圍.

22

20.解(1)設橢圓方程為0+5=15>/；>0)

由題意得a=2,c=V3,.,.b2=\.........................................................2分

尤2

???橢圓方程為一+V=13分

4

(2)設y)由中點坐標公式

xx+1

2卜?=21

1'■[c1............................4分

卜=2)-5

2

又?.?4+y；=l

4-1

（2%1）2

.?.~-+（2y-^）=1即為中點M的軌跡方程................6分

（3）若直線BC斜率不存在，此時BC所在直線垂直x軸,

易得SAABC=1

若直線BC斜率存在，設直線BC所在方程為y=kxf

并設B（%2?丫2），C（無3，丫3）

=kx4

,\y=4聯(lián)立得/

41+1

2-2

.-.IAB1=正+3\x7-X,1=J1+Y.

Ik--1

見4到直線y=履的距離d二-y^zr

ViTF

于是S^BC=；?ASI/

9分

2g4k2Jl+YJl+4左2

2

c2_4k-4^+l_,4k

3&ABC.2i—1Ai27,

4kA+14k+1

①當k=0時,S2=l.

②當k>0時，S2cl...............................................................10分

44

③k<0時,$2=1+-----------------<l+—r=2

4F)+(T)2a

當且僅當4（一女）=_工即k=_工時，取“二”....................11分

k2

綜上所述4ABC面積的最大值為V212分

22.(1)證明：fr(x)=ax2+/?x+c,

由「(X)在X=1時取得極值及4<b<C,

即〃+。+c=0,c=-(a+/?),6f<h<c,

則Q<b<-(a+/?),--<—<1,......................2分

2a

;切線斜率為一〃，則關于x的方程f\x)=-a有根,

/+4"=優(yōu)44+/7)20解得24—4或2?0,

aa

b

又一上1<2A<1故04g<l..................5分

2aa

(2)解：方程/(x)=a/+6x—(a+b)=0

b~+4a(a+/?)>0

Xf⑴=0敏，(x)=0有兩根1和一2_i....................7分

a

b

當且僅當---\<x<1時，/(x)〉0

a

故/1(x)在[-2-1J上為增函數(shù)

a

卜卜

.\l>z>5>---l>-2S0<r-5<-+2<3................10分

aa

(3)解：若f'(x)+a=ax?+bx-b

=o(x2+-x--)<0........................11分

aa

對。、人恒成立，

設f=上e[0,1),則g。)=(尤—l)f+x2>0對fG[0,1)恒成立，

a

即8(1)20送(0)>0恒成立.........................................12分

解得或北亨,

-1+V5

k>14分

2

2(江蘇省南京市)

*10.6件產品中有4件合格品，2件次品.為找出2件次品，每次任取一個檢驗，檢驗后

不再放回，恰好經過4次檢驗找出2件次品的概率為(C)

3141

A.-B.-C.—D.-

53155

*11.設四棱錐P-ABC。的底面不是平行四邊形，用平面a去截此四棱錐,

使得截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面e(D)

A.不存在B.只有1個C.恰有4個D.有無數(shù)多個

*12.設函數(shù)y4㈤滿足f(x+1)寸(x)+l,則方程/(x)=x的根的個數(shù)是(D)B

A.無窮個B.沒有或者有限個C.有限個D.沒有或者無窮個

*8.設集合4=3k)gy3-x)》-2},B={xl言21},若4nB=0,則實數(shù)”的取值范圍是

*9.已知函數(shù)/(x)=lx—ll+lxl+lx+ll,若/(力―2)=/(a),則實數(shù)

a=.

*10.函數(shù)%)=x"+(l—x)",xG(0,1),幾WN*.記y=/U)的最小值為則“1+02+…+

〃6=____?

63

8.(一8,-1]U[3,+0°)U{0}.9.1,-1,2,-2.10.石.

10.定義域均為R的奇函數(shù)/U)與偶函數(shù)g(x)滿足_/(x)+g(x)=10'.

(1)求函數(shù)凡*)與g(x)的解析式;

(11)求函數(shù)加)的反函數(shù);

(III)證明：g(Xi)+g(X2)22g(紅芳);

*(IV)試用於1),於2)，g(Xl)，g(X2)表示於1~X2)與g(Xl+x2)

22

11.設橢圓C：，+，=1的左焦點為尸，左準線為/,一條直線過點尸與橢圓C交于A,B

兩點，若直線/上存在點P,使AABP為等邊三角形，求直線48的方程.

12.設。為坐標原點，A(—p0),點”在定直線x=—/?(p>0)上移動，點N在線段M。

的延長線上，且滿足^=志?

(I)求動點N的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？

(II)若L4M的最大值W，求p的取值范圍.

13.中心在原點的雙曲線G的一個焦點與拋物線C2：y2=8x的焦點F重合，拋物線C2的

準線/與雙曲線Ci的一個交點為A,且L4FI=5.

(I)求雙曲線G的方程；

(II)若過點8(0,1)的直線機與雙曲線Ci相交于不同兩點M,N,且

①求直線m的斜率k的變化范圍；

②當直線m的斜率不為0時，問在直線y=x上

是否存在一定點c,使o/aCA/TCN>)?

若存在，求出點c的坐標；若不存在，請說明理由.

14.已知正項數(shù)列｛%｝滿足灑+S“-尸扇+2(〃22,>0),。|=1,其中已是數(shù)列｛%｝的前”

項和.

(I)求通項斯;

(II)記數(shù)歹(]｛—^｝的前”項和為7"，若T“V2對所有的“GN*都成立.求證：0<Kl.

15.已知函數(shù)式》)=/+農3+汝2+,,其圖象在y軸上的截距為一5,在區(qū)間[0,1]上單調遞

增，在

[1,2]上單調遞減，又當x=0,x=2時取得極小值.

(I)求函數(shù)/U)的解析式；

(II)能否找到垂直于X軸的直線，使函數(shù)大X)的圖象關于此直線對稱，并證明你的結論；

*(III)設使關于x的方程式》)=武『—5恰有三個不同實根的實數(shù)2的取值范圍為集合A,

且兩個非零實根為x卜也.試問：是否存在實數(shù)，"，使得不等式X2I對任

意te|-3,3],4EA恒成立？若存在，求，"的取值范圍；若不存在，請說明理由.

16.某工廠有一個容量為300噸的水塔，每天從早上6時起到晚上10時止供應該廠的生產

和生活用水，已知該廠生活用水為每小時10噸，工業(yè)用水量W(噸)與時間r(小時，且

規(guī)定早上6時f=0)的函數(shù)關系為W=100水塔的進水量分為10級，第一級每小時進

水10噸，以后每提高一級，每小時進水量就增加10噸.若某天水塔原有水100噸，在開始

供水的同時打開進水管，間進水量選擇為第幾級時，既能保證該廠的用水(水塔中水不空)

又不會使水溢出？

17.已知等差數(shù)列｛4｝的首項為a,公差為/,；等比數(shù)列｛"｝的首項為6,公比為a,其中

a,匕eN+,且為<仇<a2<%%.

(I)求a的值；

(II)若對于任意“eN*,總存在機eN”,使?！?+3=2，求6的值；

(HI)甲說：一定存在。使得2冊>“2對〃eN*恒成立；乙說：?定存在。使得2"”<"2對

〃eN*恒成立.你認為他們的說法是否正確？為什么？

10?(I)解：；㈱+g(x)=l0t①，；.1/(一x)+g(-x)=103為奇函數(shù)，g(x)為偶函

數(shù).?小-x)=-_/W，g(—x)=g(x),/W+g(X)=l()r②，由①，②解得加)=；(1O'一擊)，

g(x)=^(10'+-^j).

(II)由y=T(10'一由)得，(10v)2-2yl0'-l=0,解得10工=)，±正百，

V10v>0,110'=/+1y+1,X=1的，+>/+1),.Mx)的反函數(shù)為尸(x)=[g(x+4？率I).x

eR.

(ni)解法一：g(xD+g3)=|(ioV|++)+/10"+七)=；(io'1+1

乙1U41U/乙1U1U

IX|十七.

*2410"X10,舊X2、*X^=102+y^=2g("與.

"102

Xi+.門

V2-102

解法二：fe(xi)+^(x2)]-2g(^-Y^)=^(10"+TZT)+1(10+i)(+-JrD

乙乙1U410

10

X|十s

(10''+4+1)(10"+10")10"+”+1(10v'+4+1)(10"+10*)—2?(10"+>+1)102

2-10>,+%2J。中2/0*+*

.+*2

(10''+為+1)[10"+104-2-102]>([0$+的+])[2410''義104—270、]0

2.10&+8?2-10',+JCZ'

(IV)汽修一X2)=_/(Xl)g(X2)—g(Xl次X2),g(Xl+x2)=g(Xl)g(X2)―/(4才(孫).

命題意圖：考查函數(shù)的函數(shù)解析式，奇函數(shù)，單調性，反函數(shù)等常規(guī)問題的處理方法，第(ni)

問，第(IV)間把函數(shù)與不等式的證明，函數(shù)與指對式的化簡變形結合起來，考查學生綜合

應用知識的能力.

11.解法一：VF(一\[2,0),/：X——2\[2,離心率e=；.

(1)當AB垂直x軸時，4(一也，1),B(一啦，-1)....148=2,又此時線段AB的垂直平

分線與直線/的交點為P(—26，0),P,A,B不構成等邊三角形，不合題意.

22

(2)當A8不垂直x軸時，設A8的方程為曠=攵。+也)(k#0),代入，+5=1得，(1+2戶)￥

2,

+4*\「4x+4(k?—1)=0,且兩+12=—?V^7Z-丁座2=[?.j),設48中點為M,

1I乙K1I乙K

則M(一番手罌前線段A8的垂直平分線方程為y-^%=-：(x+需5),此直線

1I/K1I/K1I乙KK1I/K

與I的交點為尸，則P的坐標為(一2啦，普裳*+y3等)，

1+（—S2kM—Xpl=2/（1+好）

（或

W/PI=1+2爐

啦4&爐4(1+爐)

而L48I=（exi+2）+（紈2+2）=+苫2)+4=乎*(-七)+4=年聲.

△ABP為等邊三角形=￥l4BI=IMPI,

碌船A嗯閃至譽5可解得2士叵

所以直線4B的方程為y=±啦(x+也).

解法二：：如圖，（一6，0）,/：x=-2<2,離心率e=乎.設過點尸的弦AB的中點為

M,分別過A,B,M向準線/作垂線，垂足分別為A”Bi，必，則+

__

=5（-----+-----）=~f=\AB\f又因為為等邊二角形u>IPMI==-L48l,所以大7荷=七，

2.ee2\MP\3

即cos/PMM]=乎，

sinZPA/Mi=^~，tamNPMM]=乎，

.\[2

又kPM=±tamZPM[M]=±2

9**AB1-PM,?*?=~

KpM

又48過點尸（一也，0）,所以48的方程為），=±也。+也）.

命題意圖：考查圓錐曲線的基本幾何量的求法，如焦點、準線、離心率等.考查直線與圓錐

曲線的基本問題的研究方法，如弦長計算、弦中點坐標求法等.考查圓錐曲線的定義的靈活

應用.

12.（I）解:設Mx。，yo）f（x0>0）,則直線ON方程為y=嗎，與直線x=-p交于點M（一

41+0篇一（一P?4。。+9+%2

化簡得（P?—l）X（）2+p2y（J=p2—[.

把跖見換成x,y得點N的軌跡方程為面一l）/+p2），=p2—1.（x>0）

2

（1）當0Vp<l時，方程化為x?一冒『=1表示焦點在x軸上的雙曲線的右支;

（2）當p=l時，方程化為y=0,表示一條射線（不含端點）；

2

（3）當P>1時，方程化為工2+土7=1表示焦點在X軸上的橢圓的右半部分.

P一1

2

P

（H）解：由（1）可知L4NI=d（沏+》2+%2=4（Xo+；）2+1—'—（1—'）刖2

=[*+i。+1=%。+1?

當OVpVl時，因XoG[l,+8）,故1AM無最大值，不合題意.

當p=l,因x（）G（0,+8）,故L4NI無最大值，不合題意.

113

當p>l時，xoG（O,1],故當刈=1時，IANI有最大值/+1,由題意得j+lW菱，

解得p22.所以0的取值范圍為[2,+8）.

命題意圖：通過用設點，代換，化簡，檢驗等步驟求曲線方程，考查解析幾何中已知曲線求

方程的能力，并結合含參數(shù)的方程表示的曲線類型的討論考查學生的分類討論思想的應用.

22

13.解：（I）由條件得尸（2,0）,/：x=-2.設所求雙曲線方程為，一^7=l（a>0,i>>0）,

X'+X2=^3'

②不妨設M,N的坐標分別為（X”力）,（X2，丫2），由上面可得

XiX2=k2-y

由MB=45N得(―R，1—yi)=4(M，力-D，=>X\=—Ax2.

設存在點C（z,r）,則CA/TCN>=3—3月一/）一“小一心力一。=（即一芥2+葭丸—1），y\

一辦為+從幾—1）），又。8=（0，1），從而由。3，（CM一義CN）得>1一加2+，（義一1）=0,

因直線機的斜率不為零，故4W1.

所以解得f=445+1-45+1)X]一泰2

=1+%

1-Z1—A1—2

Zt]X2

因為2=—"，代入得r=l+k=1+。

*2Xl+%2)

X2

\,-2A-

知+m=正三，

因為J4代入得，=一3,即存在點C（-3,-3）,滿足要求.

"=一?

命題意圖：通過幾何量的轉化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的

位置關系處理，考查學生的運算能力.通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題

的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設而不解的代數(shù)變形的思想.

=

14.解：*?Q\=1由S2+S]=S8+2,得。2=t(Af02。(舍)或“2=7,

S〃+S“-]=f￡+2①|+5〃-2=柩〃-1+2(〃23)②

①一②得?！?〃“_[=，(ai-an-])(〃N3),(即+即-i)[1—/(〃”一斯-1)]=0,

由數(shù)列｛斯｝為正項數(shù)列，〃-1#),故一?！?1=7(〃23),

即數(shù)列｛斯｝從第二項開始是公差為:的等差數(shù)列.

[1〃=1

2222]_?

(2)

：4=1<2,當"e2時，北=/+8+聶+聶+…+^^=r+『(i—/^+t-

要使。<2,對所有的〃GN*恒成立，只要7；=r+f2T<什*W2成立，.?.()<￡1.

命題意圖:考查數(shù)列前"項和與數(shù)列通項公式的關系、等差數(shù)列、裂項求和法等。

15.(I)解：?函數(shù)/(x)=x4+ax3+6x2+c,在y軸上的截距為一5,；.c=-5.

?.?函數(shù)1Ax)在區(qū)間[0,1]上單調遞增,在[1,2]上單調遞減，

；.x=l時取得極大值，又當x=0,x=2時函數(shù)式的取得極小值.

.'.x=0,x=\,x=2為函數(shù)?x)的三個極值點，

即/'(x)=0的三個根為0,1,2,：.f\x)=4?+3ax2+=4x(x-1)(x-2))=4x3-12x2+.

：.a=~4,b=4,二函數(shù)Ax)的解析式：X^)=^4-4?+4X2-5.

(II)解：若函數(shù)"r)存在垂直于x軸的對稱軸，設對稱軸方程為x=t,

則f(t+x)=/(Lx)對xeR恒成立.

即：。+X)4-4(/+X)3+4(/+X)2-5=(/-X)4-4(/-X)3+4(/-X)2-5.

化簡得。-l)x3+(?-3t2+2r)x=0對xeR恒成立.

.p-l=0,._

,,鋁_3『+2/=0.‘'=L

即函數(shù)Kv)存在垂直于x軸的對稱軸x=l.

(Ill)解：x‘一4.1+4/—5恰好有三個不同的根，

即十一4d+4?—片產=0恰好有三個不同的根，

即f(X2—4x+4—X2)=0,,.?尤=0是—個根,

/.方程f—4x+4一爐=0應有兩個非零的不相等的實數(shù)根，

...△=16—4(4—九，=4入2>0,且尤因=4—/I2#。，；.4#0,—2,2.

若存在實數(shù)小，使得不等式〃J+m?+2Wk|-X2I對任意fG[-3,3]/GA恒成立.

：H—X2I="\](Xi+?)2—4X]X2=2I力>0,

要使加②+行j+2Wki一孫1對任意t&[-3,3|,zGA恒成立，

只要蘇+sm+2W0對任意fG[-3,3]恒成立，

令+m2+2,則g⑺是關于t的線性函數(shù).

?只要卜(一3)&°,解得

望lg⑶W0.解『―2W〃W—L

?二不存在實數(shù)m,使得不等式加之+加+2口的一也1對任意.[-3,3],2^A恒成立.

命題意圖：考查多項式的導數(shù)、函數(shù)的圖象性質、二次方程根的判斷，等價轉換、化歸思想

等數(shù)學思想方法。

16.解：設進水量選第x級，貝山小時后水塔中水的剩余量為:

y=100+10w—10r-10()VF,且0W/W16.

根據(jù)題意0<yW300,/.0<100+10xr-10/-100V/<300.

當f=0時，結論成立.

由左邊得x>l+10（」-1

當心0時,)

班7

人1V4

令”,由0<rW16>m2---，

4

j|Al4-

記用)=1+10(.——)=1+\0m2—10/77\(m2---),

獷t4

2

則f(0=20/7/—30陽2=0得加=0或機=§.

V422

???當彳V一時，/⑺>0；當機>一時，/(/)<0,

,所以時(此時r=WL),最大值=1+10(-)2-io(-)3=—-2.4以

383327

2711

當片一時，1+10(-^-一)有最大值2.48.Ax>2.48,即x23.

8獷t

由右邊得xW---1--j=+1,

t師

當f=16時，型+JL+1有最小值型+，2=+1=2+速e（3,4）.即xW3.

t肝16詬44

綜合上述，進水量應選為第3級.

命題意圖：本題考查數(shù)學建模的基本思想，怎么樣把實際問題轉化為數(shù)學問題，進而用已有

的數(shù)學知識求這個數(shù)學問題的解。水塔中的水不空又不會使水溢出等到價于進出水量的平

衡，進水量與選擇的進水級別與進水時間相關，出水量有生活用水與工業(yè)用水兩部分構成,

故水塔中水的存量是一個關于進水級別與用水時間的函數(shù),而容量為300噸的水塔就構成一

個不等式，解之得問題的解。

17.解：（I）*/a<h<a-\-h<a<ba+2b,a,bwN琛,

b1

a>-----，a>1+------,

a+b<ab

b-\?h-\

*<

ah<a+2b.2bc2

a<-----.a<2+------

b-\b-\

:.<?。=2或。=3.

a<4

:當a=3時，由出?<〃+2b得力<a,即々<外,與〃]<々矛盾，故〃=3不合題意.

，〃=3舍去，.\a=2.

(II)對“=2+(加一1迫，4=>2"T,由冊+3="可得5+(〃?-1)8=6?2"T.

b(2n~l-+1)=5.b是5的約數(shù),Xb>3,/.b—5.

(Ill)若甲正確,則存在6(/?23)使22+("-皿>/.22"-2,即22+5732)>〃對〃N*恒

成立，

當”=1時，22>b2,無解，所以甲所說不正確.

若乙正確,則存在b(623)使22+5f”</.22"-2,即22+5TQ2)<〃對〃eN*恒成立,

當〃=2時-，2h<b2,只有在8=3時成立，

而當〃=3時2’<3?不成立，所以乙所說也不成立.

命題意圖：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的

處理問題，用兩邊夾的方法確定整數(shù)參數(shù).第IH小題對數(shù)學思維的要求比較高，要求學生理

解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性.

3(江蘇省南京師范大學附屬中學)

16.已知函數(shù)yCOTY—ax—waeR,/,#。)，給出以下三個條件：

(1)存在/eR,使得/(-x0)牛/(x0)；

(2)/(3)=/(0)成立；

(3)/(x)在區(qū)間[-凡+8)上是增函數(shù).

若/(x)同時滿足條件和(填入兩個條件的編號)，則/(x)的一個可能的解

析式為f(x)—.

答案：滿足條件⑴⑵時,>=卜2—3x+l|等；滿足條件(1)(3)時,y=,+2x+l|等；滿足條

件⑵(3)時,丁=卜2+3了一9|等.

4(山西省實驗中學)

11.已知二面角口一/一尸的平面角為a(aw(O,乃)),PA_La,PBJ.夕,A,8為垂足，設

PA=4,

PB=5,設4、B到棱/的距離分別為x,y,當。變化時，點(x,y)的軌跡是下列圖形中

的D)

12.如圖，OM〃48,點P在由射線。M,線段08及4B的延長線圍成的陰影區(qū)域內(不含

邊界)，且0尸=8。4+)，。5,則實數(shù)對(x,y)可以是(

￡322

A.B.

4'4353M

1_7_L2

C.D.

53454

16.如圖，對于函數(shù)圖象上

任意兩點4(。,a2),B(b,b?),設點C分A3

的比為；1(4>0),則由圖象上點C在點C'

2

2

上方，可得不等式.>a+Ab

1+幾1+2

請分析函數(shù)y=lgx(x>0)的圖象，類比上

述不等式可得__________

lga+21gZ?。+勸

16.—F+I—<81+2

22.(14分)正項數(shù)列｛%｝滿足q=1,na^+(n-l)anan_t-a^_t=0(n>2)

(1)求明;

(2)試確定一個正整數(shù)N,使當心N時，不等式6+%+2%+3%+…+>—

I/J4'7II121

成立；

(3)求證：lid--I<1+6Z]+。2+…+?！?

1■><>dCl

22.解：(1)na；+(〃—i)cincin_^—=0n(n---1)(--—F1)=0

%%

,,a?1,11

又???61>0,%〉0,故---=一,為=1,e=-=—

n22!

111

4分

〃3=-3!，〃4=一4!~n\

k-\11〃、c、

(2)由(攵—----=----------(kN2)

k\(I)!k\

…+2%+3%+…+("”=l+,f)+…-f=2.

“h士c1241

從而有2——>——,

n\121

-<上,即”!>121,5!=120,6!=720

〃！121

.?.〃>5取汽=5,〃〉初^,原不等式成立.......9分

rrnr+1

(3)將(1+3"展開，rr+1=c?(-)=?.￡zl.ZLz2...-.l<l

nnnnnnr!r!

r=0,1,2,???,/!

(1+—)<-+-=—+—+???+—=l+?,+&+…+a“14分

n0!1!2!3!〃！12"

5(山東省青島市)

21.(本小題滿分12分)

對于函數(shù)f(x)-ax3+hx2-3x,

(1)若/(x)在x=l和x=3處取得極值，且/(x)的圖象上每一點的切線的斜率均不超

過2sinfcost-Zj^cos?f+Ji,試求實數(shù)t的取值范圍;

(2)若/(x)為實數(shù)集R上的單調函數(shù)，且aN-1,設點P的坐標為(b,a),試求出

點P的軌跡所形成的圓形的面積S。

22.(本不題滿分14分)

已知定點A(-2,0),魂8是圓尸：(x-2)2+丁=64(尸為圓心)上一點,

線段AB的垂直平分線交BF于P。

(1)求動點P的軌跡方程;

(2)直線yjlr+l交P點的軌跡于M,N兩點,若P點的軌跡上存在點C,使

而+加求實數(shù)機的值；

—"—*16

(3)是否存在過點E(0,-4)的直線1交P點的軌跡于點R,7,且滿足OROR=—

7

(。為原點)，若存在，求直線/的方程，若不存在，請說明理由。

21.解：(1)n/'(x)=3ax2+2bx—3,因為/(x)在x=l和x=3處取得極值，

所以x=I和x=3是/'(X)的兩個根，

1x3=---b=2

、3a

.-./'(X)=-X2+4X-3....................3分

因為f(x)的圖象上每一點的切線的斜率均不超過2sinrcos/-26cos2，+JL所

/(x)<2sinfcosf-2A/3cos21+百恒成立，

而/(x)=-(x-2)2+1,其最大值為1,故2sinfcos『—ZV^cos?r+V3>1

TTTT7T

=>2sin(2/---)NlnZ/rd——<t<ICTT+——,keZ................6分

3412

(2)當a=0時，由f(x)在R上單調，知b=0................7分

當aWO時，

由f(x)在R上單調Of'(x)20恒成立，或者恒成立

f(x)=3ax2+2bx-3

由判別式A=4b2+36a<0可得a<--b2......10分

9

從而知滿足條件的點P(b,a)在直角坐標平面bOa上形成的軌跡所圍成的圖形是由曲

線y=-[x2與直線>=一1所圍成的封閉圖形，其面積為

S=￡(1--X2)JX=4.........................12分

22.解：(1)由題意：21PAl=IPBI且IPBI+IPFI=r=8

.,.IPAI+IPFI=8>IAFI

；.P點軌跡為以A、F為焦點的橢圓....................2分

設方程為二+5=1（。＞匕〉0）

ab-

la=8,a=4,a2—b~~c2-2~—4

:.b2=12

22

：.尸點軌跡方程為二+二=1...........4分

1612

（2）設例（X],y]）N（X2，y2）C（Xo，yo）：OM+0N-mOC

???（占+*2，⑦+為）=加。0，打）

.丫一的+々、，J+乃

??汽0_，＞0_

mm

y=V3x+1

由＜丫22，得：15》2+8底-44=0

—+^v-=1

11612

873

???Xj+x2=---,

分

%+為=+x2）+2=—6

8732

「?x=—Jo=丁

015m5m

?.?c在橢圓《+片=1上,

1612

64x34

,--------------------------1-----------------------

16x255m212x25小

8分

1515

（3）假設存在滿足題意的直線/,其斜率存在，設為k,設/?（西，弘）,732，為）

——16

OROT^—

7

16

再看十月乃=萬

y=kx-4

由，x?產得(3+4%2)、2—32匕+16=0

---1---=1

〔1612

1632k

X]?x,x,+x-

23+4公23+4公

2

必?>2=(鋪一4)(履2-4)=kxtx2-4A(X]+x2)+16...11分

1616k2128人216

/々H?必=-----7+16=—

3+4女23+4423+4k27

:.k2=1攵=±1代入?A>0

左=±1,

???/的方程為y=±x—4

/.存在/x+y+4=?；蛴纫粂-4=0滿足題意......14分

6(江蘇省東臺市)

20.(本題16分.第⑴題6分,第⑵題10分)

已知sin(2a+P)=3sinB.設tana=x>tanB=y,記y=f(x).

⑴求①f(x)的表達式，②[f⑴+f⑵+???+€*(n)]+Ef(-2)+f(-3)+--+f(-n)]的值.

⑵定義函數(shù)g(X)=(1+2x2)[x2_〃x+(02—l)]f(X)在(-00,0)和(1,+00)上都是增函數(shù).

求。的取值范圍.

21.(本題15分.第⑴題5分,第⑵題10分)

q,4，…，。20是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.對于滿足0<kW20的整數(shù)k,數(shù)列

a,,+k

伉，①，…,h20由或=['2°一％)，確定記c=為也?求：

122。，，儲…。(20-火<〃420)白…

⑴k=l時,C的值(保留基的形式)；

(2)C最小時,k的值.

20

(注：工見也,=%瓦+a2b2+-+a2()b20)

71=1

1

20.簡解與答案：(I)①f(x)=-LY^,②由f(x)是奇函數(shù)可求得值為一.

1+2/3

(II)求得g(x)=x3-ax2+(a2-l)x.Mgf(x)=3x2-2ax+(a?-i),其△=12-8n2.

(1)A=0得:。二土半，這時g'(x)在(-oo,+8)上非負,g(x)在(-8,+oo)上為增函數(shù).，a-

±⑵當△VO時，恒有g’(x)>0,g(x)在(-8,+00)上為增函數(shù).，Q￡(-8,-等)

U(乎，+8)；⑶當A>o時,得-乎<亭，令g'(x)=0,解得X|=aJ；2a2

/c2

X2=――；2〃.當x￡(-00,X])或xe(X2,+8)時，g'(X)>0,g(x)為增函數(shù).由題設

V6

知Xj20且x?<1.這樣可得V

2

綜上所述，。的取值范圍為:—00,—U[l,+co).

21.簡解：⑴可求得a“=2"T(lWn<20),k=l時，2=

q(〃=20).

/720_1A720

22"------，當且僅當丁=2人時，即22*=22°,1<=10時,(：最小.

I3)2k

7(2007屆天津市六校模擬考試)

20.(本題滿分12分)

(理)已知函數(shù)/i(x)=+ax2+l,g(x)=61nx+m

(I)若y=/i(x)在(L+00)單調遞減，求Q的取值范圍。

(H)當。=4時，設〃x)=//(x),是否存在實數(shù)機，使得y=/(x)的圖象與y=g(x)

的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出機的取值范圍；若不存在，說明理由.

20.(1)hr(x)=-x2+2ax=