靜定結構的內力計算

靜定結構的內力計算第一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二7.1多跨靜定梁7.2靜定平面剛架

7.3靜定平面桁架7.4靜定平面組合結構

本章內容7.5三鉸拱

小結

第二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二7.1多跨靜定梁

多跨靜定梁是由單跨靜定梁通過鉸加以適當聯(lián)結而成的結構。多跨靜定梁一般要跨越幾個相連的跨度，它是工程中廣泛使用的一種結構形式，最常見的有公路橋梁和房屋中的檁條梁等。第三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二橋梁檁條梁第四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二7.1.1多跨靜定梁的幾何組成多跨靜定梁有兩種基本組成形式：第一種是無鉸跨和雙鉸跨交替出現(xiàn)；第二種是第一跨無中間鉸，其余各跨各有一個中間鉸。第五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二橋梁檁條梁橋梁的計算簡圖

檁條梁的計算簡圖

第六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二就幾何組成而言，多跨靜定梁的各個部分可分為基本部分和附屬部分。

第七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二第八頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二在橋梁中，AB梁由三根支座鏈桿與基礎相聯(lián)結，是幾何不變體系，能獨立承受荷載，稱為基本部分。CD梁在豎向荷載作用下能獨立維持平衡，故在豎向荷載作用下CD梁也可看作基本部分。而BC梁則必須依靠AB梁和CD梁的支承才能承受荷載并維持平衡，稱為附屬部分。

第九頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二第十頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二

在檁條梁中，AB梁是基本部分，而BC梁、CD梁則是附屬部分。為清晰起見，可將它們的支承關系分別用圖表示，這樣的圖形稱為層次圖。

第十一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二7.1.2多跨靜定梁的內力計算通過層次圖可以看出力的傳遞過程。因為基本部分直接與基礎相聯(lián)結，所以當荷載作用于基本部分時，僅基本部分受力，附屬部分不受力；當荷載作用于附屬部分時，由于附屬部分與基本部分相聯(lián)結，故基本部分也受力。第十二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二因此，多跨靜定梁的約束反力計算順序應該是先計算附屬部分，再計算基本部分。即從附屬程度最高的部分算起，求出附屬部分的約束反力后，將其反向加于基本部分即為基本部分的荷載，再計算基本部分的約束反力。當求出每一段梁的約束反力后，其內力計算和內力圖的繪制就與單跨靜定梁一樣，最后將各段梁的內力圖連在一起即為多跨靜定梁的內力圖。第十三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二【例7.1】繪制圖（a）所示多跨靜定梁的內力圖。第十四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二【解】1)繪制層次圖。

第十五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二第十六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二

梁ABC固定在基礎上，是基本部分；梁CDE固定在梁ABC上，是第一級附屬部分；梁EF固定在梁CDE上，是第二級附屬部分。根據上述分析，多跨靜定梁由三個層次構成。第十七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二2)求約束反力。在計算時，先計算EF梁，再計算CDE梁，最后計算ABC梁。第十八頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二FAyFByFCyFCyFDyFEyFEyFFy第十九頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二取EF為隔離體，由平衡方程求得EF梁的約束反力為FFy=4.5kN，F(xiàn)Ey=4.5kNFEyFFy第二十頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二將FFy的反作用力作為荷載加在CDE

梁的E處，由平衡方程求得CDE

梁的約束反力為FDy=10.5kN，F(xiàn)Cy=4kNFCyFDyFEy第二十一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二再將FCy的反作用力作為荷載加在ABC

梁上，由平衡方程求得ABC

梁的約束反力為FBy=15kN，F(xiàn)Ay=9kN

FAyFByFCy第二十二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二3)繪制內力圖。

各段梁的約束反力求出后，可以根據圖(c)計算各控制截面上的內力，并逐段繪制內力圖(此處將計算過程略去)。最后將各段梁的內力圖連接在一起就是所求的多跨靜定梁的內力圖［圖(d，e)］。

第二十三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二ADCBEF27686.755.06(d)M圖(kN·m)ADCBEF11464.54.5(e)FS

圖(kN)11464.599第二十四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二7.1.3多跨靜定梁的受力特征

上圖是多跨相互獨立的系列簡支梁及其在均布荷載q的作用下的彎矩圖，下圖是一相同跨度、相同荷載作用下的多跨靜定梁及其彎矩圖。比較兩個彎矩圖可以看出，系列簡支梁的最大彎矩大于多跨靜定梁的最大彎矩。因而，系列簡支梁雖然結構較簡單，但多跨靜定梁的承載能力大于系列簡支梁，在同荷載的情況下可節(jié)省材料。第二十五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二系列簡支梁的彎矩圖多跨靜定梁的彎矩圖第二十六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二7.2靜定平面剛架7.2.1概述

1.剛架的特點

剛架是由直桿組成的具有剛性結點的結構。第二十七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二在剛架中的剛結點處，剛結在一起的各桿不能發(fā)生相對移動和轉動，變形前后各桿的夾角保持不變，故剛結點可以承受和傳遞彎矩。由于存在剛結點，使剛架中的桿件較少，內部空間較大，比較容易制作，所以在工程中得到廣泛應用。第二十八頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二

2.剛架的分類靜定平面剛架主要有以下四種類型：

（1）懸臂剛架

懸臂剛架一般由一個構件用固定端支座與基礎連接而成。站臺雨篷

第二十九頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二（2）簡支剛架

簡支剛架一般由一個構件用固定鉸支座和活動鉸支座與基礎連接，或用三根既不全平行、又不全交于一點的鏈桿與基礎連接而成。簡支剛架常見的有門式的和T形的兩種。渡槽的槽身

第三十頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二（3）三鉸剛架三鉸剛架一般由兩個構件用鉸連接，底部用兩個固定鉸支座與基礎連接而成。屋架第三十一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二（4）組合剛架組合剛架通常是由上述三種剛架中的某一種作為基本部分，再按幾何不變體系的組成規(guī)則連接相應的附屬部分組合而成。組合剛架第三十二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二7.2.2靜定平面剛架的內力計算在一般情況下，剛架中各桿的內力有彎矩、剪力和軸力。

第三十三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二

靜定平面剛架內力計算的一般步驟是:先由整體或部分的平衡條件，求出支座反力和鉸結點處的約束力，然后可面對桿件，即使桿件在面前橫放，按單跨靜定梁的內力計算法則和內力圖的繪制方法，逐桿繪制內力圖，最后將各桿的內力圖連在一起，即得整個剛架的內力圖。第三十四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二

在剛架的內力計算中，彎矩可自行規(guī)定正負，但須注明受拉的一側，彎矩圖繪在桿的受拉一側。剪力和軸力的正負號規(guī)定同前，即剪力以使隔離體產生順時針轉動趨勢時為正，反之為負；軸力以拉力為正，壓力為負。剪力圖和軸力圖可繪在桿的任一側，但須標明正負號。第三十五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二

為了使桿件內力表達得清晰，在內力符號的右下方以兩個下標注明內力所屬的截面。第一個下標表示該內力所屬桿端的截面；第二個下標表示桿段的另一端截面。例如，桿段AB的A端的彎矩和剪力分別用MAB、FSAB表示；而B端的的彎矩和剪力分別用MBA、FSBA表示。第三十六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二【例7.2】繪制圖（a）所示懸臂剛架的內力圖。第三十七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二【解】懸臂剛架可不計算支座反力，直接計算內力。1)求各控制截面上的內力。取每個桿件的兩端為控制截面，從自由端開始，根據荷載情況按單跨靜定梁的內力計算法則，可得各控制截面上的內力為第三十八頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二FAyFAxMA第三十九頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二

MDC

=0MCD=40kN4m10kN/m4m2m=240kNm(上側受拉)FAyFAxMA第四十頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二MCA

=MCD

=240kNm(左側受拉)MAC=40kN4m10kN/m4m2m40kN2m=320kNm(左側受拉)FAyFAxMA第四十一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二FSDC

=40kNFSCD

=40kN10kN/m4m=80kNFSCA

=0FSAC

=40kNFNDC

=FNCD=0FNCA

=40kN10kN/m4m=80kNFNAC

=80kNFAyFAxMA第四十二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二2)繪制內力圖。

由區(qū)段疊加法繪制彎矩圖。在CD段，將控制截面上的彎矩值豎標按比例標出并用虛線連接，以此虛線為基線，疊加上相應簡支梁在均布荷載作用下的彎矩圖。在AC段，以連接控制截面上的彎矩值豎標的虛線為基線，疊加上相應簡支梁在跨中點受集中荷載作用下的彎矩圖。第四十三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二2402403202040ABCD(b)M圖(kN·m)第四十四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二由控制截面上的剪力值，并利用q、FS和M三者的微分關系繪制該剛架的剪力圖。在CD段，有均布荷載作用，剪力圖是一條斜直線，用直線連接兩控制截面上剪力值的豎標即是該段的剪力圖。4080CD(c)FS

圖(kN)第四十五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二在AC段，因無均布荷載作用，剪力圖應是與軸線平行的直線，在集中力作用的B點處剪力圖出現(xiàn)突變，突變值等于40kN。40408040ABCD(c)FS

圖(kN)第四十六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二由于各桿均無沿桿軸方向的荷載，所以各桿軸力為常數。根據求出的控制截面上軸力值直接繪出軸力圖。

8080ABCD(d)FN圖(kN)第四十七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二【例7.3】繪制圖（a）所示簡支剛架的內力圖。A第四十八頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二【解】1)求支座反力。FAyFAxFBA第四十九頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二由剛架整體的平衡方程，可得支座反力為FAx=60kN,FAy=－16kN,FB=76kN2)求控制截面上的內力。將剛架分為AC、CE、CD和DB四段，取每段桿的兩端為控制截面。這些截面上的內力為第五十頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二MAC=0MCA=60kN×4m－10kN/m×4m×2m=160kN·m（右側受拉）MEC=0MCE=20kN×2m=40kN·m（左側受拉）MCD=－60kN×3m+76kN×5m=200kN·m（下側受拉）MDC=MDB=76kN×2m=152kN·m（下側受拉）第五十一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二MBD=0FSAC=60kNFSCA=60kN－10kN/m×4m=20kNFSCE=FSEC=20kNFSCD=FSDC=60kN－76kN=－16kNFSDB=FSBD=－76kNFNAC=FNCA=16kNFNCE=FNEC=FNCD=FNDC=FNDB=FNBD=0第五十二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二3)繪制內力圖。根據以上求得的各控制截面上的內力，繪出剛架的內力圖如圖(b～d)所示。第五十三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二20015216040100(b)M圖(kN·m)ABDEC第五十四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二602020767616161616(d)FN圖(kN)(c)FS

圖(kN)ECBAECBAD第五十五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二7.3靜定平面桁架7.3.1概述1．桁架的特點梁和剛架在承受荷載時，主要產生彎曲內力，截面上的應力分布是不均勻的，構件的材料不能得到充分的利用。

第五十六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二桁架是由直桿組成，全部由鉸結點聯(lián)結而成的結構。在結點荷載作用下，桁架各桿的內力只有軸力，截面上應力分布是均勻的，充分發(fā)揮了材料的作用。桁架是大跨度結構中應用得非常廣泛的一種，如民用房屋和工業(yè)廠房中的屋架、托架，大跨度的鐵路和公路橋梁，起重設備中的塔架，以及建筑施工中的支架等。第五十七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二為了便于計算，通常對工程實際中平面桁架的計算簡圖作如下假設：

（1）桁架的結點都是光滑的理想鉸。

（2）各桿的軸線都是直線，且在同一平面內，并通過鉸的中心。

（3）荷載和支座反力都作用于結點上，并位于桁架的平面內。第五十八頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二符合上述假設的桁架稱為理想桁架，理想桁架中各桿的內力只有軸力。工程實際中的桁架與理想桁架有著較大的差別。

第五十九頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二ldh(a)(b)第六十頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二例如，在圖（a）所示的鋼屋架［圖（b）為其計算簡圖］中，各桿是通過焊接、鉚接而聯(lián)結在一起的，結點具有很大的剛性，不完全符合理想鉸的情況。此外，各桿的軸線不可能絕對平直，各桿的軸線也不可能完全交于一點，荷載也不可能絕對地作用于結點上。因此，實際桁架中的各桿不可能只承受軸力。第六十一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二通常把根據計算簡圖求出的內力稱為主內力，把由于實際情況與理想情況不完全相符而產生的附加內力稱為次內力。理論分析和實測表明，在一般情況下次內力可忽略不計。本書僅討論主內力的計算。第六十二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二在圖(a)、(b)中，桁架上、下邊緣的桿件分別稱為上弦桿和下弦桿，上、下弦桿之間的桿件稱為腹桿，腹桿又分為豎桿和斜桿。弦桿相鄰兩結點之間的水平距離d稱為節(jié)間長度，兩支座之間的水平距離l稱為跨度，桁架最高點至支座連線的垂直距離h稱為桁高。

第六十三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二

2.桁架的分類按桁架的幾何組成規(guī)律可把平面靜定桁架分為以下三類：

（1）簡單桁架由基礎或一個鉸接三角形開始，依次增加二元體而組成的桁架稱為簡單桁架。第六十四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二第六十五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二（2）聯(lián)合桁架

由幾個簡單桁架按照幾何不變體系的組成規(guī)則，聯(lián)合組成的桁架稱為聯(lián)合桁架。第六十六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二III第六十七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二（3）復雜桁架凡不按上述兩種方式組成的桁架均稱為復雜桁架。第六十八頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二此外，桁架還可以按其外形分為平行弦桁架、拋物線形桁架、三角形桁架、梯形桁架等。第六十九頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二平行弦桁架拋物線形桁架第七十頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二三角形桁架梯形桁架第七十一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二7.3.2平面靜定桁架的內力計算

1.內力計算的方法平面靜定桁架的內力計算的方法通常有結點法和截面法。第七十二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二

結點法是截取桁架的一個結點為隔離體，利用該結點的靜力平衡方程來計算截斷桿的軸力。由于作用于桁架任一結點上的各力（包括荷載、支座反力和桿件的軸力）構成了一個平面匯交力系，而該力系只能列出兩個獨立的平衡方程，因此所取結點的未知力數目不能超過兩個。第七十三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二結點法適用于簡單桁架的內力計算。一般先從未知力不超過兩個的結點開始，依次計算，就可以求出桁架中各桿的軸力。第七十四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二截面法是用一截面(平面或曲面)截取桁架的某一部分(兩個結點以上)為隔離體，利用該部分的靜力平衡方程來計算截斷桿的軸力。由于隔離體所受的力通常構成平面一般力系，而一個平面一般力系只能列出三個獨立的平衡方程，因此用截面法截斷的桿件數目一般不應超過三根。第七十五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二截面法適用于求桁架中某些指定桿件的軸力。另外，聯(lián)合桁架必須先用截面法求出聯(lián)系桿的軸力，然后與簡單桁架一樣用結點法求各桿的軸力。一般地，在桁架的內力計算中，往往是結點法和截面法聯(lián)合加以應用。第七十六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二在桁架的內力計算中，一般先假定各桿的軸力為拉力，若計算的結果為負值，則該桿的軸力為壓力。此外，為避免求解聯(lián)立方程，應恰當地選取矩心和投影軸，盡可能使一個平衡方程中只包含一個未知力。

第七十七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二2.零桿的判定桁架中有時會出現(xiàn)軸力為零的桿件，稱為零桿。在計算內力之前，如果能把零桿找出，將會使計算得到簡化。

第七十八頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二通常在下列幾種情況中會出現(xiàn)零桿：(1)不共線的兩桿組成的結點上無荷載作用時，該兩桿均為零桿。第七十九頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二

(2)不共線的兩桿組成的結點上有荷載作用時，若荷載與其中一桿共線，則另一桿必為零桿。

第八十頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二

(3)三桿組成的結點上無荷載作用時，若其中有兩桿共線，則另一桿必為零桿，且共線的兩桿內力相等。

第八十一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二3.比例關系的應用在列平衡方程時，經常要將桁架中斜桿的軸力FN分解成水平分力FNx和豎向分力FNy。FN、FNx、FNy構成一個三角形，桿件AB的長度l及其在水平方向的投影長度lx和豎直方向的投影長度ly也構成了一個三角形。第八十二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二由于兩個三角形相似，因而存在如下的比例關系：應用上述比例關系，可以避免計算斜桿的傾角θ及其三角函數，以減少工作量。

第八十三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二【例7.4】求圖（a）所示桁架各桿的內力。第八十四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二【解】1)求支座反力。

由整體的平衡方程，可得支座反力為FAx=0FAy=40kNFB=40kNFAyFAxFB第八十五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二2)求各桿的內力。在計算之前先找出零桿。由對結點C、G的分析，可知桿CD、GH為零桿。第八十六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二此桁架為對稱桁架，只要計算其中一半桿件的內力即可，現(xiàn)計算左半部分。第八十七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二取結點A為隔離體［圖(b)］，由∑Y=0得

FNADy=10kN－40kN=－30kNFNADyFNADFNADxFNAC第八十八頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二利用比例關系，得由∑X=0得

FNAC=－FNADx=60kNFNADyFNADFNADxFNAC第八十九頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二取結點C為隔離體［圖(c)］，由∑X=0得FNCF

=

FNAC=60kNFNCFFNAC=60kNFNCD=0第九十頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二取結點D為隔離體［圖(d)］，列出平衡方程FNADx=-60kNFNADy=-30kNFNDEyFNADFNDEFNDExFNDFFNDxFNDy第九十一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二∑X=0FNDEx+FNDFx+60kN=0∑Y=0FNDEy－FNDFy+30kN－20kN=0利用比例關系，得FNDEx=2FNDEyFNDFx=2FNDFy代入平衡方程，得2FNDEy+2FNDFy+60kN=0FNDEy－FNDFy+10kN=0解得FNDEx=－40kN，F(xiàn)NDEy=－20kN，F(xiàn)NDE=－44.7kNFNDFx=－20kN，F(xiàn)NDFy=－10kN，F(xiàn)NDF=－44.7kNFNADx=-60kNFNADy=-30kNFNDEyFNADFNDy第九十二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二取結點E為隔離體［圖(e)］，由結構的對稱性有FNEHy=FNDEy=－20kN由∑Y=0得

FNEF=2×20kN－20kN=20kN

FNDEy=-20kNFNDEy=-20kNFNEHy=-20kNFNEHxFNEHFNDEFNEF第九十三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二內力計算完成后，將各桿的軸力標在圖上，圖中軸力的單位為kN。606060600-6720-44.7-44.7-67-22.3-22.30第九十四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二【例7.5】求圖（a）所示桁架中桿a、b、c、d的內力。2m2m第九十五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二【解】1)求支座反力。

由整體平衡方程，可得支座反力為FAx=0，F(xiàn)Ay=50kN，F(xiàn)B=30kN2m2mFAyFAxFB第九十六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二2)求桿a、b、c的內力。第九十七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二2m2mII用截面Ⅰ－Ⅰ截取桁架的左半部分為隔離體，列平衡方程FNaFNbFNbxFNbyFNc第九十八頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二∑MD=0FNc×(4m)－20kN×3m－50kN×3m=0得FNc=52.5kN∑MF=0

－FNa×(4m)+20kN×3m+20kN×6m－50kN×9m=0得

FNa=－67.5kN3m3m2m2m第九十九頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二∑Fx=0

FNa+FNbx+FNc=0得FNbx=－FNa－FNc=15kN利用比例關系，得3m3m2m2m第一百頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二聯(lián)合應用結點法和截面法計算桿d的內力較為方便。

先取結點E為隔離體，由平衡方程∑X=0，得FNCE=FNc=52.5kN

2m2mFNcFNCE第一百零一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二

再用截面Ⅱ－Ⅱ截取桁架的左半部分為隔離體，列平衡方程2m2mIIIIFNdyFNdFNCE=52.5kNFNdx第一百零二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二利用比例關系，得∑MD=0

FNdx×4m+52.5kN×4m－50kN×3m=0得FNdx=－15kNFNdyFNdFNCE=52.5kNFNdx3m4m第一百零三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二●用截面法計算桁架內力所截斷的桿件一般不應超過三根。當被截斷的桿件超過三根時，其中某根桿件的軸力也可選取適當的平衡方程求出。第一百零四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二II對圖示桁架，欲求桿ED的軸力，可用Ⅰ－Ⅰ截面將桁架截開，在被截斷的五根桿件中，除桿ED外，其余四桿均匯交于結點C，由力矩方程ΣMC=0即可求得FNED。第一百零五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二II對圖示復雜桁架，欲求桿CB的軸力，可用Ⅰ－Ⅰ截面將桁架截開，在被截斷的四根桿件中，除桿CB外，其余三桿互相平行，選取y軸與此三桿垂直，由投影方程ΣY=0即可求得FNCB。第一百零六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二7.3.3梁式桁架受力性能的比較在豎向荷載作用下，支座處不產生水平反力的桁架稱為梁式桁架。常見的梁式桁架有平行弦桁架、三角形桁架、梯形桁架、拋物線形桁架和折線形桁架等。第一百零七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二桁架的外形對桁架中各桿的受力情況有很大的影響。為了便于比較，給出了同跨度、同荷載的五種常用桁架的內力數值。并對上述幾種桁架的受力性能進行對比分析，以便合理選用。第一百零八頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二1．平行弦桁架

平行弦桁架的內力分布不均勻，弦桿的軸力由兩端向中間遞增，腹桿的軸力則由兩端向中間遞減。為節(jié)省材料，各節(jié)間的桿件應該采用與其軸力相應的不同的截面，但這樣將會增加各結點拼接的困難。l=6hh第一百零九頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二在實用上，平行弦桁架通常仍采用相同的截面，并常用于輕型桁架，此時材料的浪費不至太大，如廠房中跨度在12m以上的吊車梁。平行弦桁架的優(yōu)點是桿件與結點的構造劃一，有利于標準化制作和施工，在鐵路橋梁中常被采用。第一百一十頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二2．三角形桁架

三角形桁架的內力分布也不均勻，弦桿的軸力由兩端向中間遞減，腹桿的軸力則由兩端向中間遞增。

三角形桁架l=6hh第一百一十一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二三角形桁架兩端結點處弦桿的軸力最大，而夾角又很小，制作困難。但其兩斜面外形符合屋頂構造的要求，故三角形桁架只在屋蓋結構中采用。

第一百一十二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二3．梯形桁架

梯形桁架的受力性能介于平行弦桁架和三角形桁架之間，弦桿的軸力變化不大，腹桿的軸力由兩端向中間遞減。梯形桁架l=6hh/2h第一百一十三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二梯形桁架的構造較簡單，施工也較方便，常用于鋼結構廠房的屋蓋。第一百一十四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二4．拋物線形桁架

拋物線形桁架的內力分布比較均勻，上、下弦桿的軸力幾乎相等，腹桿的軸力等于零。拋物線形桁架l=6hh第一百一十五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二拋物線形桁架的受力性能較好，但這種桁架的上弦桿在每一結點處均需轉折，結點構造復雜，施工麻煩，因此只有在大跨度結構中才會被采用，如24～30m的屋架和100～300m的橋梁。第一百一十六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二第一百一十七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二5．折線形桁架折線形桁架是拋物線形桁架的改進型，其受力性能與拋物線形桁架相類似，而制作、施工比拋物線形桁架方便得多，它是目前鋼筋混凝土屋架中經常采用的一種形式，在中等跨度（18～24m）的廠房屋架中使用得最多。hh/2l=6hh折線形桁架第一百一十八頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二7.4靜定平面組合結構在工程實際中，經常會遇到一種結構，這種結構中一部分桿件只受軸力作用，屬于鏈桿，而另一部分桿件除受軸力作用外還承受彎矩和剪力，屬于梁式桿。這種由鏈桿和梁式桿混合組成的結構通常稱為組合結構。7.4.1組合結構的概念第一百一十九頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二在組合結構中，利用鏈桿的受力特點，能較充分地利用材料，并從加勁的角度出發(fā)，改善了梁式桿的受力狀態(tài)，因而組合結構廣泛應用于較大跨度的建筑物。

第一百二十頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二下?lián)问轿褰切挝菁埽蹐D(a)］的上弦桿由鋼筋混凝土制成，主要承受彎矩，下弦桿和腹桿由型鋼制成，主要承受軸力。其計算簡圖如圖(b)所示。第一百二十一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二圖示為靜定組合式拱橋的計算簡圖，它是由若干根鏈桿組成的鏈桿拱與加勁梁用豎向鏈桿聯(lián)結而成的組合結構。第一百二十二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二組合結構的內力計算，一般是在求出支座反力后，先計算鏈桿的軸力，其計算方法與平面桁架內力計算相似，可用截面法和結點法；然后再計算梁式桿的內力，最后繪制結構的內力圖。7.4.2組合結構的內力計算第一百二十三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二【例7.6】計算圖(a)所示組合結構的內力，并繪制梁式桿的內力圖。第一百二十四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二【解】此結構為一下?lián)问浇M合屋架。其中桿AC、CB為梁式桿，桿AD、DF、DE、EG、EB為鏈桿。因為荷載和結構都是對稱的，所以支座反力和內力也是對稱的，故可只計算半個結構上的內力。1)求支座反力。第一百二十五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二由對稱性，支座反力為FAx=0，F(xiàn)By=FAy=40kN

FBFAyFAx第一百二十六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二2)計算鏈桿的內力。用Ⅰ—Ⅰ截面從C處截斷結構，取左半部分為隔離體第一百二十七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二II10kN/mFCxFCyFNDE第一百二十八頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二由平衡方程得ΣX=0FNDE－FCx=0

得FCx

=FNDE=40kNΣY=0FAy－10kN/m×4m+FCy=0

得FCy=010kN/mFCxFCyFNDE2m2m第一百二十九頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二取結點D為隔離體，由平衡方程X=0，得

FNDAx=40kNFCxFCyFNDE10kN/mFNDAFNDFFNDE2m2m第一百三十頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二利用比例關系，得由平衡方程Y=0，得

FNDF=FNDAy=40kN

FNDAy=40kNFNDAFNDFFNDE第一百三十一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二3)計算梁式桿內力。將鏈桿內力的反作用力作為荷載作用在梁式桿上，取桿AFC為隔離體。FCxFCyFNDE10kN/m10kN/mFCx=40kNFCx=0FCxFCyFNDE10kN/m2m2m第一百三十二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二以A、F、C為控制截面，控制截面上的內力為MAF

=0

MFA=MFC=20kNm（上側受拉）

MCF=0

FSAF

=0FSFA

=20kN

FSFC=20kNFSCF

=0

FNAC

=FNCA=40kN10kN/mFCx=40kNFCx=02m2m第一百三十三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二4)繪制梁式桿的內力圖。

根據梁式桿內力計算的結果，可以繪出梁式桿的內力圖。第一百三十四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二40402020ABCGFM圖（kN·m）ABCGFABCGFFS圖（kN）FN圖（kN）20202020第一百三十五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二7.5三鉸拱1.拱的特點拱是由曲桿組成的在豎向荷載作用下支座處產生水平推力的結構。水平推力是指拱兩個支座處指向拱內部的水平反力。在豎向荷載作用下有無水平推力，是拱式結構和梁式結構的主要區(qū)別。7.5.1概述第一百三十六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二在拱結構中，由于水平推力的存在，拱橫截面上的彎矩比相應簡支梁對應截面上的彎矩小得多，并且可使拱橫截面上的內力以軸向壓力為主。這樣，拱可以用抗壓強度較高而抗拉強度較低的磚、石和混凝土等材料來制造。第一百三十七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二拱結構在房屋建筑、橋梁建筑和水利建筑工程中得到廣泛應用。例如在橋梁工程中，拱橋是最基本的橋型之一；又如屋面承重結構。第一百三十八頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二在拱結構中，由于水平推力的存在，使得拱對其基礎的要求較高，若基礎不能承受水平推力，可用一根拉桿來代替水平支座鏈桿承受拱的推力，如圖（a）所示。這種拱稱為拉桿拱。

圖（a）第一百三十九頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二為增加拱下的凈空，拉桿拱的拉桿位置可適當提高,如圖（b）所示；也可以將拉桿做成折線形，并用吊桿懸掛，如圖（c）所示。

圖（b）圖（c）第一百四十頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二2.拱的分類按鉸的多少，拱可以分為無鉸拱［圖(a)］、兩鉸拱［圖(b)］和三鉸拱［圖(c)］。無鉸拱和兩鉸拱屬超靜定結構，三鉸拱屬靜定結構。

圖（a）圖（b）圖（c）第一百四十一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二按拱軸線的曲線形狀，拱又可以分為拋物線拱、圓弧拱和懸鏈線拱等。

3.拱的各部分名稱拱與基礎的聯(lián)結處稱為拱趾或拱腳。拱軸線的最高點稱為拱頂。拱頂到兩拱趾連線的高度f稱為拱高。兩個拱趾間的水平距離l稱為拱跨。第一百四十二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二

拱高與拱跨的比值f/l稱為高跨比。高跨比是影響拱的受力性能的重要的幾何參數第一百四十三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二現(xiàn)以圖(a)所示三鉸拱為例說明內力計算過程。該拱的兩支座在同一水平線上，且只承受豎向荷載。7.5.2三鉸拱的內力計算

第一百四十四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二1.求支座反力

取拱整體為隔離體FAyFAxFByFBx第一百四十五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二由平衡方程ΣMB=0，得由ΣMA=0，得由ΣY=0，得FAx=FBx=Fx（c）

（a）

（b）

FAyFAxFByFBx第一百四十六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二2.求任一截面K上的內力再取左半個拱為隔離體FCyFCx第一百四十七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二由平衡方程ΣMC=0，得（d）

FCyFCx第一百四十八頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二由平衡方程ΣMC=0，得（d）

與三鉸拱同跨度同荷載的相應簡支梁如圖(b)所示，其支座反力為FCyFCxa1b1a2b2第一百四十九頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二同時，可以計算出相應簡支梁C截面上的彎矩為（e）

（f）

a1b1a2b2第一百五十頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二比較以上諸式，可得三鉸拱的支座反力與相應簡支梁的支座反力之間的關系為（*）

第一百五十一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二利用上式，可以借助相應簡支梁的支座反力和內力的計算結果來求三鉸拱的支座反力。由上式可以看出，只受豎向荷載作用的三鉸拱，兩固定鉸支座的豎向反力與相應簡支梁的相同，水平反力Fx等于相應簡支梁截面C處的彎矩與拱高f的比值。當荷載與拱跨不變時為定值，水平反力與拱高f成反比。若f→0，則Fx→∞，此時三個鉸共線，成為瞬變體系。第一百五十二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二借助其相應簡支梁的內力計算結果，來求拱的任一截面K上的內力。取三鉸拱的K截面以左部分為隔離體［圖(c)］。設K截面形心的坐標分別為xK、yK，K截面的法線與x軸的夾角為K。K截面上的內力有彎矩MK、剪力FSK和軸力FNK。第一百五十三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二第一百五十四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二規(guī)定彎矩以使拱內側纖維受拉為正，反之為負；剪力以使隔離體產生順時針轉動趨勢時為正，反之為負；軸力以壓力為正，拉力為負（在隔離體圖上將內力均按正向畫出）。第一百五十五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二利用平衡方程，可以求出拱的任意截面K上的內力為（g）第一百五十六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二在相應簡支梁上取圖(d)所示隔離體。利用平衡方程，可以求出相應簡支梁K截面上的內力為（h）第一百五十七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二利用式（h）與式（*），式（g）可寫為（**）式（**）即為三鉸拱任意截面K上的內力計算公式。計算時要注意內力的正負號規(guī)定和夾角K的取值，在左半拱時K取正值，在右半拱時K取負值。第一百五十八頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二由式（**）可以看出，由于水平支座反力Fx的存在，三鉸拱任意截面K上的彎矩和剪力均小于其相應簡支梁的彎矩和剪力，并且存在著使截面受壓的軸力。通常軸力較大，為主要內力。第一百五十九頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二3.繪制內力圖一般情況下，三鉸拱的內力圖均為曲線圖形。為了簡便起見，在繪制三鉸拱的內力圖時，通常沿跨長或沿拱軸線選取若干個截面，求出這些截面上的內力值。然后以拱軸線的水平投影為基線，在基線上把所求截面上的內力值按比例標出，用曲線相連，繪出內力圖。第一百六十頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二【例7.7】求圖(a)所示三鉸拱截面D和E上的內力。己知拱軸線方程為。100kN10kN/m第一百六十一頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二【解】1)計算相應簡支梁的有關數據。其支座反力為

簡支梁截面C處的彎矩為三鉸拱的相應簡支梁如圖(b)所示。

100kN10kN/mFBy=100kN00FAy=100kNFAx=00第一百六十二頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二2)計算三鉸拱的支座反力。FAyFAxFByFBx第一百六十三頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二由公式，三鉸拱的支座反力為第一百六十四頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二計算所需有關數據為

3)計算D截面上的內力。第一百六十五頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二由三鉸拱的內力計算公式，算得D截面上的內力為第一百六十六頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二4)計算E截面上的內力。計算所需有關數據為

第一百六十七頁，共一百八十五頁，編輯于2023年，星期二由三鉸拱的內力計算公式，算得E截面上的