隨機(jī)過程的應(yīng)用

馬爾可夫鏈(過程)的發(fā)展與應(yīng)用孫啟明41264043金融1211.馬爾可夫過程發(fā)展1.1馬爾可夫過程簡介馬爾科夫過程(MarKovProcess)是一個典型的隨機(jī)過程。設(shè)X(t)是一隨機(jī)過程，當(dāng)過程在時刻t0所處的狀態(tài)為已知時，時刻t(t>t0)所處的狀態(tài)與過程在t0時刻之前的狀態(tài)無關(guān)，這個特性成為無后效性。無后效的隨機(jī)過程稱為馬爾科夫過程。馬爾科夫過程中的時同和狀態(tài)既可以是連續(xù)的，又可以是離散的。我們稱時間離散、狀態(tài)離散的馬爾科夫過程為馬爾科夫鏈。馬爾科夫鏈中，各個時刻的狀態(tài)的轉(zhuǎn)變由一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率矩陣控制。1.2馬爾可夫過程的發(fā)展20世紀(jì)50年代以前，研究馬爾可夫過程的主要工具是微分方程和半群理論(即分析方法)；1936年前后就開始探討馬爾可夫過程的軌道性質(zhì)， 直到把微分方程和半群理論的分析方法同研究軌道性質(zhì)的概率方法結(jié)合運用，才使這方面的研究工作進(jìn)一步深化，并形成了對軌道分析必不可少的強馬爾可夫性概念。出于擴(kuò)大極限定理應(yīng)用范圍的目的，馬爾科夫在20世紀(jì)初開始考慮相依隨機(jī)變量序列的規(guī)律，并從中選出了最重要的一類加以研究。1906年他在《大數(shù)定律關(guān)于相依變量的擴(kuò)展》一文中，第一次提到這種如同鎖鏈般環(huán)環(huán)相扣的隨機(jī)變量序列，其中某個變量各以多大的概率取什么值，完全由它前面的一個變量來決定，而與它更前面的那些變量無關(guān)。這就是被后人稱作馬爾科夫鏈的著名概率模型。也是在這篇論文里，馬爾科夫建立了這種鏈的大數(shù)定律。用一個通俗的比喻來形容，一只被切除了大腦的白鼠在若干個洞穴間的躥動就構(gòu)成一個馬爾科夫鏈。因為這只白鼠已沒有了記憶，瞬間而生的念頭決定了它從一個洞穴躥到另一個洞穴；當(dāng)其所在位置確定時，它下一步躥往何處與它以往經(jīng)過的路徑無關(guān)。這一模型的哲學(xué)意義是十分明顯的，用前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽( 1894-1959〕的話來說，就是承認(rèn)客觀世界中有這樣一種現(xiàn)象，其未來由現(xiàn)在決定的程度，使得我們關(guān)于過去的知識絲毫不影響這種決定性。這種在已知“現(xiàn)在”的條件下，“未來”與“過去”彼此獨立的特性就被稱為馬爾科夫性，具有這種性質(zhì)的隨機(jī)過程就叫做馬爾科夫過程，其最原始的模型就是馬爾科夫鏈。這既是對荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯(Ch.Huygens,1629-1659)提出的無后效原理的概率推廣，也是對法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(P.S.Laplace,1749-1827)機(jī)械決定論的否定。這里應(yīng)該指出，盡管拉普拉斯對概率論的早期發(fā)展作出過重大貢獻(xiàn)，但是他的部分哲學(xué)觀點是不利于這門學(xué)科的深入發(fā)展的。十八世紀(jì)以來，隨著牛頓力學(xué)的徹底勝利，一種機(jī)械唯物主義的決定論思潮開始在歐洲科學(xué)界蔓延，鼓吹最力者就是拉普拉斯。1759年他在巴黎高等師范學(xué)院發(fā)表了一篇題為《概率論的哲學(xué)探討》的演講，淋漓盡致地表達(dá)出了這種思想。他說：“假如有人知道了某一時刻支配自然的一切力，以及它的一切組成部分的相對位置，又假如他的智力充分發(fā)達(dá)，能把這一切數(shù)據(jù)加以充分的分析，把整個宇宙中從最巨大的天體到最微小的原子的一切運動完全包括在一個公式里面，這樣對他就沒有什么東西是不確定的了，未來也好，過去也好，他都能縱覽無遺。 ”1812年，拉普拉斯又進(jìn)一步提出“神圣計算者”的觀念，認(rèn)為這個理想的數(shù)學(xué)家只須知道世界某一時刻的初始狀態(tài)，就可以從一個無所不包的微分方程中算出過去和未來的一切狀態(tài)。換句話說，他認(rèn)為任意系統(tǒng)在t>t0時的狀態(tài)x可由其初始時刻t0和初始狀態(tài)x0唯一決定。這可真是筆判終身、細(xì)評流年，數(shù)學(xué)家可以擺個卦攤了。馬爾科夫的概率模型從根本上否定了系統(tǒng)中任一狀態(tài)x與其初始狀態(tài)x0之間的因果必然性，從而也否定了“神圣計算者”的神話。還應(yīng)該指出，馬爾科夫所建立的概率模型不但具有深刻的哲學(xué)意義，而且具有真實的物質(zhì)背景，在他的工作之前或同時，一些馬爾科夫鏈或更復(fù)雜的隨機(jī)過程的例子已出現(xiàn)在某些人的研究中，只不過這些人沒有自覺地認(rèn)識到這類模型的普遍意義或用精確的數(shù)學(xué)語言表述出來罷了。例如蘇格蘭植物學(xué)家布朗(R.Brown,1773-1858)于1827年發(fā)現(xiàn)的懸浮微粒的無規(guī)則運動、英格蘭遺傳學(xué)家高爾頓( F.Galton,1822-1911)于1889年提出的家族遺傳規(guī)律、荷蘭物理學(xué)家埃倫費斯特(P.Ehrenfest,1880-1933)于1907年關(guān)于容器中分子擴(kuò)散的實驗，以及傳染病感染的人數(shù)，謠言的傳播，原子核中自由電子的躍遷，人口增長的過程等等，都可用馬爾科夫鏈或過程來描述。也正是在統(tǒng)計物理、量子力學(xué)、遺傳學(xué)以及社會科學(xué)的若干新課題、新事實面前，決定論的方法顯得百孔千瘡、踵決肘見。有趣的是，馬爾科夫本人沒有提到他的概率模型在物理世界的應(yīng)用，但是他利用了語言文學(xué)方面的材料來說明鏈的性質(zhì)。在《概率演算》第四版中，他統(tǒng)計了長詩《葉甫蓋尼奧涅金》中元音字母和輔音字母交替變化的規(guī)律：這是長詩開頭的兩句，意為： 我不想取悅驕狂的人生，只希望博得朋友的欣賞?！痹娙四腔鹨话愕脑娖跀?shù)學(xué)家那里變成了一條冷冰冰的鎖鏈：在這條鎖鏈上只有兩種鏈環(huán)，C代表輔音、代表元音(為了使問題簡化起見，不仿把兩個無音字母算作輔音)。馬爾科夫分別統(tǒng)計了在C后面出現(xiàn)C和的概率p和1—p,以及在后出現(xiàn)C和的概率q和1—q,把結(jié)果與按照俄語拼音規(guī)則計算出的結(jié)果進(jìn)行比較，證實了語言文字中隨機(jī)的(從概率的意義上講)字母序列符合他所建立的概率模型。完成了關(guān)于鏈的大數(shù)定律的證明之后，馬爾科夫又開始在一系列論文中研究鏈的中心極限定理。1907年他在《一種不平常的相依試驗》中證明了齊次馬爾科夫鏈的漸近正態(tài)性；1908年在《一個鏈中變量和的概率計算的極限定理推廣》中作了進(jìn)一步的推廣；1910年他發(fā)表了重要的論文《成連鎖的試驗》，在其中證明了兩種情況的非齊次馬爾科夫鏈的中心極限定理。與此同時他在一些假定的前提下證明了模型的各態(tài)歷經(jīng)性，成為在統(tǒng)計物理中具有重要作用的遍歷理論中第一個被嚴(yán)格證明的結(jié)果。遍歷理論亦稱ergodic理論,是奧地利物理學(xué)家玻耳茲曼(L.Boltzmann,1844-1906)于1781年提出來的，其大意是：一個系統(tǒng)必將經(jīng)過或已經(jīng)經(jīng)過其總能量與當(dāng)時狀態(tài)相同的另外的任何狀態(tài)。馬爾科夫鏈的引入，在物理、化學(xué)、天文、生物、經(jīng)濟(jì)、軍事等科學(xué)領(lǐng)域都產(chǎn)生了連鎖性的反應(yīng)，很快地涌現(xiàn)出一系列新的課題、新的理論和新的學(xué)科，并揭開了概率論中一個重要分支--隨機(jī)過程理論蓬勃發(fā)展的序幕。2馬爾可夫過程的應(yīng)用2.1馬爾可夫應(yīng)用概述馬爾可夫隨機(jī)過程的發(fā)展史說明了理論與實際之間的密切關(guān)系。許多研究方向的提出，歸根到底是有其實際背景的。反過來，當(dāng)這些方向被深入研究后，又可指導(dǎo)實踐，進(jìn)一步擴(kuò)大和深化應(yīng)用范圍。下面簡略介紹一下馬爾可夫隨機(jī)過程本身在各方面的應(yīng)用情況。在物理學(xué)方面，高能電子或核子穿過吸收體時，產(chǎn)生級聯(lián)（或倍增）現(xiàn)象 ，在研究電了-光子級聯(lián)過程的起伏問題時，要用到隨機(jī)過程，常以泊松過程、弗瑞過程或波伊亞過程作為實際級聯(lián)的近似，有時還要用到更新過程（見點過程）的概念。當(dāng)核子穿到吸收體的某一深度時，則可用擴(kuò)散方程來計算核子的概率分布。物理學(xué)中的放射性衰變，粒子計數(shù)器，原子核照相乳膠中的徑跡理論和原子核反應(yīng)堆中的問題等的研究，都要用到泊松過程和更新理論。湍流理論以及天文學(xué)中的星云密度起伏、輻射傳遞等研究要用到隨機(jī)場的理論。探討太陽黑子的規(guī)律及其預(yù)測時，時間序列方法非常有用?；瘜W(xué)反應(yīng)動力學(xué)中，研究化學(xué)反應(yīng)的時變率及影響這些時變率的因素問題 ，自動催化反應(yīng)，單分子反應(yīng)，雙分子反應(yīng)及一些連鎖反應(yīng)的動力學(xué)模型等，都要以生滅過程（見馬爾可夫過程）來描述。隨機(jī)過程理論所提供的方法對于生物數(shù)學(xué)具有很大的重要性，許多研究工作者以此來構(gòu)造生物現(xiàn)象的模型。研究群體的增長問題時，提出了生滅型隨機(jī)模型，兩性增長模型，群體間競爭與生剋模型，群體遷移模型，增長過程的擴(kuò)散模型等等。有些生物現(xiàn)象還可以利用時間序列模型來進(jìn)行預(yù)報。傳染病流行問題要用到具有有限個狀態(tài)的多變量非線性生滅過程。在遺傳問題中，著重研究群體經(jīng)過多少代遺傳后，進(jìn)入某一固定類和首次進(jìn)入此固定類的時間，以及最大基因頻率的分布等。許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信，船舶裝卸，機(jī)器損修，病人候診，紅綠燈交換，存貨控制，水庫調(diào)度，購貨排隊，等等，都可用一類概率模型來描述。這類概率模型涉及的過程叫排隊過程，它是點過程的特例。排隊過程一般不是馬爾可夫型的。當(dāng)把顧客到