高中數(shù)學(xué)-冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

PAGE8PAGE2.3冪函數(shù)整體設(shè)計教學(xué)分析冪函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型,是學(xué)生在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)之后研究的又一類基本的初等函數(shù).學(xué)生已經(jīng)有了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷,冪函數(shù)概念的引入以及圖象和性質(zhì)的研究便水到渠成.因此,學(xué)習(xí)過程中,引入冪函數(shù)的概念之后,嘗試放手讓學(xué)生自己進(jìn)行合作探究學(xué)習(xí).本節(jié)通過實例,讓學(xué)生認(rèn)識到冪函數(shù)同樣也是一種重要的函數(shù)模型,通過研究y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x-1,y＝x等函數(shù)的性質(zhì)和圖象,讓學(xué)生認(rèn)識到冪指數(shù)大于零和小于零兩種情形下,冪函數(shù)的共性：當(dāng)冪指數(shù)α＞0時,冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（0,0）和（1,1）,且在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)冪指數(shù)α＜0時,冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（1,1）,且在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減且以兩坐標(biāo)軸為漸近線.在方法上,我們應(yīng)注意從特殊到一般地去進(jìn)行類比研究冪函數(shù)的性質(zhì),并注意與指數(shù)函數(shù)進(jìn)行對比學(xué)習(xí).將冪函數(shù)限定為五個具體函數(shù),通過研究它們來了解冪函數(shù)的性質(zhì).其中,學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了y=x,y=x2,y=x-1等三個簡單的冪函數(shù),對它們的圖象和性質(zhì)已經(jīng)有了一定的感性認(rèn)識.現(xiàn)在明確提出冪函數(shù)的概念,有助于學(xué)生形成完整的知識結(jié)構(gòu).學(xué)生已經(jīng)了解了函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和圖象,研究了兩個特殊函數(shù)：指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù),對研究函數(shù)已經(jīng)有了基本思路和方法.因此,教材安排學(xué)習(xí)冪函數(shù),除內(nèi)容本身外,掌握研究函數(shù)的一般思想方法是另一目的,另外,應(yīng)讓學(xué)生了解利用信息技術(shù)來探索函數(shù)圖象及性質(zhì)是一個重要途徑.學(xué)習(xí)中學(xué)生容易將冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)混淆,因此在引出冪函數(shù)的概念之后,可以組織學(xué)生對兩類不同函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行辨析.三維目標(biāo)1.通過生活實例引出冪函數(shù)的概念,會畫冪函數(shù)的圖象,通過觀察圖象,了解冪函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì),加深學(xué)生對研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法和流程的經(jīng)驗,培養(yǎng)學(xué)生概括抽象和識圖能力,使學(xué)生體會到生活中處處有數(shù)學(xué),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.2.了解幾個常見的冪函數(shù)的性質(zhì),通過這幾個冪函數(shù)的性質(zhì),總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì),通過畫圖比較,使學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想,利用計算機(jī)等工具,了解冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)差別,使學(xué)生充分認(rèn)識到現(xiàn)代技術(shù)在人們認(rèn)識世界的過程中的作用,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望.3.應(yīng)用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)簡單問題,培養(yǎng)學(xué)生觀察分析歸納能力,了解類比法在研究問題中的作用,滲透辯證唯物主義觀點和方法論,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用具體問題具體分析的方法去分析和解決問題的能力.重點難點教學(xué)重點:從五個具體的冪函數(shù)中認(rèn)識冪函數(shù)的概念和性質(zhì).教學(xué)難點:根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同指數(shù)的指數(shù)式的大小.課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課通過例題檢驗預(yù)習(xí)來引入新課【例題】下列函數(shù)中，是冪函數(shù)的有？（適當(dāng)引導(dǎo)：從自變量所處的位置這個角度）（引入新課,書寫課題:冪函數(shù)）.思路2.我們前面學(xué)習(xí)了三類具體的初等函數(shù):二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù),這一節(jié)課我們再學(xué)習(xí)一種新的函數(shù)——冪函數(shù),教師板書課題:冪函數(shù).推進(jìn)新課新知探究提出問題問題①:冪函數(shù)的定義問題②:我們前面學(xué)習(xí)指對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時,用了什么樣的思路?研究冪函數(shù)的性質(zhì)呢?問題③:畫出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五個函數(shù)圖象,完成下列表格.函數(shù)性質(zhì)y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定義域值域奇偶性單調(diào)性特殊點圖象分布問題⑤:通過對以上五個函數(shù)圖象的觀察,哪個象限一定有冪函數(shù)的圖象？哪個象限一定沒有冪函數(shù)的圖象？哪個象限可能有冪函數(shù)的圖象,這時可以通過什么途徑來判斷？問題⑥:通過對以上五個函數(shù)圖象的觀察和填表,你能類比出一般的冪函數(shù)的性質(zhì)嗎?活動：考慮到學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù),對函數(shù)的學(xué)習(xí)、研究有了一定的經(jīng)驗和基本方法,所以教學(xué)流程又分兩條線,一條以內(nèi)容為明線,另一條以研究函數(shù)的基本內(nèi)容和方法為暗線,教學(xué)過程中同時展開,學(xué)生相互討論,必要時,教師將解析式寫成指數(shù)冪形式,以啟發(fā)學(xué)生歸納,學(xué)生作圖,教師巡視,學(xué)生小組討論,得到結(jié)論,必要時,教師利用幾何畫板演示.討論結(jié)果：①通過觀察發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的變量在底數(shù)位置,解析式右邊都是冪,因為它們的變量都在底數(shù)位置上,不符合指數(shù)函數(shù)的定義,所以都不是指數(shù)函數(shù).②由于函數(shù)的指數(shù)是一個常數(shù),底數(shù)是變量,類似于我們學(xué)過的冪的形式,因此我們稱這種類型的函數(shù)為冪函數(shù),如果我們用字母α來表示函數(shù)的指數(shù),就能得到一般的式子,即冪函數(shù)的定義:一般地,形如y=xα（x∈R）的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).如y=x2,y=x,y=x3等都是冪函數(shù),冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣,都是基本初等函數(shù).③我們研究指對數(shù)函數(shù)時,根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì),由具體到一般;一般要考慮函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性;有時也通過畫函數(shù)圖象,從圖象的變化情況來看函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì),研究冪函數(shù)的性質(zhì)也應(yīng)如此.④學(xué)生用描點法,也可應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、定義域等,畫出函數(shù)圖象.利用描點法,在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x,y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的圖象.列表:x…-3-2-10123…y=x…-3-2-10123…y=x…011.411.73…y=x2…9410149…y=x3…-27-8-101827…y=x-1…--11…描點、連線.畫出以上五個函數(shù)的圖象如圖2-3-1.圖2-3-1讓學(xué)生通過觀察圖象,分組討論,探究冪函數(shù)的性質(zhì)和圖象的變化規(guī)律,教師注意引導(dǎo)學(xué)生用類比研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的方法研究冪函數(shù)的性質(zhì).通過觀察圖象,完成表格.函數(shù)性質(zhì)y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇奇奇非奇非偶奇單調(diào)性在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞減特殊點(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)圖象分布第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ、Ⅱ象限第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ象限第Ⅰ、Ⅲ象限⑤第一象限一定有冪函數(shù)的圖象；第四象限一定沒有冪函數(shù)的圖象；而第二、三象限可能有,也可能沒有圖象,這時可以通過冪函數(shù)和定義域和奇偶性來判斷.⑥冪函數(shù)y=xα的性質(zhì).（1）所有的冪函數(shù)在（0,+∞）都有定義,并且圖象都過點（1,1）（原因：1x=1）；（2）當(dāng)α＞0時,冪函數(shù)的圖象都通過原點,并且在\[0,+∞)上是增函數(shù)（從左往右看,函數(shù)圖象逐漸上升）.特別地,當(dāng)α＞1時,x∈（0,1）,y=x2的圖象都在y=x圖象的下方,形狀向下凸,α越大,下凸的程度越大.當(dāng)0＜α＜1時,x∈（0,1）,y=x2的圖象都在y=x的圖象上方,形狀向上凸,α越小,上凸的程度越大.（3）當(dāng)α＜0時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間（0,+∞）上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng)x向原點靠近時,圖象在y軸的右方無限逼近y軸正半軸,當(dāng)x慢慢地變大時,圖象在x軸上方并無限逼近x軸的正半軸.應(yīng)用示例【例1】判例1.已知冪函數(shù)的圖象過點（2,），試求出此函數(shù)的解析式.變式訓(xùn)練：如果函數(shù)是冪函數(shù)，求實數(shù)m的值.【例2】比較下列各組數(shù)的大小.【例3】證明冪函數(shù)f(x)=在［0,+∞)上是增函數(shù).活動：學(xué)生先思考或討論,再回答,教師根據(jù)實際,可以提示引導(dǎo).證明函數(shù)的單調(diào)性一般用定義法,有時利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.證明：任取x1,x2∈［0,+∞),且x1＜x2,則f(x1)-f(x2)===,因為x1-x2＜0,x1+x2＞0,所以＜0.所以f(x1)<f(x2),即f(x)=在［0,+∞)上是增函數(shù).點評：證明函數(shù)的單調(diào)性要嚴(yán)格按步驟和格式書寫,利用作商的方法比較大小,f(x1)與f(x2)的符號要一致.課堂小結(jié)1.冪函數(shù)的概念.2.冪函數(shù)的性質(zhì).3.冪函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.作業(yè)必做題：課本P79習(xí)題2.3第1題設(shè)計感想冪函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型,是學(xué)生在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)之后研究的又一類基本的初等函數(shù),課本內(nèi)容較少,但高考內(nèi)容不少,應(yīng)適當(dāng)引申,所以設(shè)計了一些課本上沒有的題目類型,以擴(kuò)展同學(xué)們的視野,同時由于作圖的內(nèi)容較多,建議抓住關(guān)鍵點作圖,要會熟練地運(yùn)用計算機(jī)或計算器作圖,強(qiáng)化對知識的理解.學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)接觸過函數(shù)，已經(jīng)確立了利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性研究一個函數(shù)的意識，已初步形成對數(shù)學(xué)問題的合作探究能力。雖然前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)會用描點列表連線的畫圖的方法來繪制指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖象，但是對于冪函數(shù)圖象的畫法仍然缺乏感性認(rèn)識。學(xué)生層次參差不齊，個體差異比較明顯。效果分析通過課堂的整理、總結(jié)與反思，使學(xué)生對冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)有了更深的學(xué)習(xí)。提升了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，設(shè)計研究型學(xué)習(xí)活動，誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性的想象，同時教會學(xué)生如何開展研究型學(xué)習(xí)。本節(jié)內(nèi)容之后，將把指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)科學(xué)的組織起來，提現(xiàn)充滿在整個數(shù)學(xué)中的組織化，系統(tǒng)化的精神，讓學(xué)生了解系統(tǒng)研究一類函數(shù)的方法，以便能將該方法遷移到對其他函數(shù)的研究。評測練習(xí)1.下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ2.下列函數(shù)在上為減函數(shù)的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｂ3.下列冪函數(shù)中定義域為的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ4．函數(shù)y＝（x2－2x）的定義域是（）A．{x|x≠0或x≠2}B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）］［2，＋∞］D．（0，2）解析：函數(shù)可化為根式形式，即可得定義域．答案：B5．函數(shù)y＝（1－x2）的值域是（）A．［0，＋∞］B．（0，1）C．（0，1）D．［0，1］解析：這是復(fù)合函數(shù)求值域問題，利用換元法，令t＝1－x2，則y＝．∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1．答案：D課后反思本節(jié)課，主要研究冪函數(shù)，用過圖象特征來研究其性質(zhì)。前面學(xué)生學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)，現(xiàn)在接觸冪函數(shù)，在圖象上可能會與指數(shù)函數(shù)混淆，于是可通過計算機(jī)演示冪函數(shù)的圖象來研究冪函數(shù)，加深學(xué)生對新知識的理解。本節(jié)課的難點是冪函數(shù)圖象隨指數(shù)變化的規(guī)律，學(xué)生通過計算機(jī)上的演示和操作，對大量的圖象進(jìn)行分類，歸納，對掌握函數(shù)性質(zhì)