立體幾何中的空間距離問題

立體幾何中的空間距離問題第一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一一、空間距離1.兩點(diǎn)間的距離:連接兩點(diǎn)的①

的長(zhǎng)度.2.點(diǎn)到直線的距離：從直線外一點(diǎn)向直線引垂線，②

的長(zhǎng)度.3.點(diǎn)到平面的距離：自點(diǎn)向平面引垂線，③

的長(zhǎng)度.4.平行直線間的距離：從兩條平行線中的一條上任意取一點(diǎn)向另一條直線引垂線,④___

的長(zhǎng)度.線段點(diǎn)到垂足間線段點(diǎn)到垂足間線段到垂足間線段點(diǎn)第二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一5.異面直線間的距離:兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的⑤

的長(zhǎng)度.6.直線與平面間的距離:如果一條直線和一個(gè)平面平行,從這條直線上任意一點(diǎn)向平面引垂線,⑥

的長(zhǎng)度.7.兩平行平面間的距離：夾在兩平行平面之間的⑦

的長(zhǎng)度.線段這點(diǎn)到垂足間線段公垂線段第三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一二、求距離的一般方法1.兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線的距離和兩平行線間的距離其實(shí)是平面幾何中的問題，可用平面幾何方法求解.2.直線與平面間的距離、平行平面間的距離可歸結(jié)為求⑧

的距離.點(diǎn)面間第四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一

與異面直線都垂直且相交的直線有且只有一條，它叫兩異面直線的公垂線.兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度是兩條異面直線的距離.一異面直線的距離ABCDA’B’C’D’如圖所示：線段__為異面直線AA’與BC的距離。AB第五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°.點(diǎn)D是BB1中點(diǎn)，則異面直線DA1與B1C1的距離是________.練習(xí)1第六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一

例：如圖

8-7-4，S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，且SA⊥平面ABC，SA＝3a，求點(diǎn)A到平面SBC的距離. 圖8-7-4二點(diǎn)面距離的求法第七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一解：方法一：如圖8-7-5，作AD⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接SD.圖8-7-5∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又SA∩AD＝A，∴BC⊥平面SAD.又BC?平面SBC，第八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一

∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.

過點(diǎn)A作AH⊥SD于H，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理，可知：AH⊥平面SBC.于是AH即為點(diǎn)A到平面SBC的距離.第九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一第十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一于是h＝第十一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一

方法三：如圖8-7-6，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC，AS所在直線為y軸，z軸，以過A點(diǎn)且垂直于yOz平面的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.圖8-7-6第十二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一∵在△ABC中，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，第十三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一第十四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一線面距離、面面距離通常情況下化歸為點(diǎn)面距離求解，求空間點(diǎn)面距離，若利用傳統(tǒng)構(gòu)造法，關(guān)鍵是“找射影”，一般是應(yīng)用垂面法求射影，或等積法間接求.若利用向量法，建系和求平面法向量是關(guān)鍵.第十五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)2如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB=BC=AD=1,PA⊥平面ABCD,且PA=1，點(diǎn)F在AD上，且CF⊥PC.

(1)求點(diǎn)A到平面PCF的距離；(2)求AD與平面PBC間的距離.第十六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一

（1）通過論證平面PAC⊥平面PCF，找到點(diǎn)A在平面PCF上的射影H位于PC上，然后解三角形求AH的長(zhǎng).（2）由于AD∥平面PBC，可考慮依據(jù)問題情境在AD上選擇具備特殊位置的點(diǎn)A，然后推理過A點(diǎn)的平面PAD⊥平面PBC，找到過點(diǎn)A的垂線.第十七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一(1)連接AC.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CF.又CF⊥PC，PA∩PC=P，所以CF⊥平面PAC，所以平面PFC⊥平面PAC.過點(diǎn)A作AH⊥PC于H，所以PH⊥平面PCF，即AH為點(diǎn)A到平面PCF的距離.由已知AB=BC=1，所以AC=,PC=.在Rt△PAC中，得AH=.第十八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一(2)因?yàn)锽C∥AD，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC.過A作AE⊥PB于E，又AE⊥BC,PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC,所以AE的長(zhǎng)度即為所求的距離.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=1,所以AE=.第十九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一1.對(duì)于空間中的距離，我們主要研究點(diǎn)到平面的距離、直線和平面的距離及兩個(gè)平行平面之間的距離，其重點(diǎn)是點(diǎn)到平面的距離.點(diǎn)到平面的距離要注意其作法，一般要利用面面垂直的性質(zhì)來做.求點(diǎn)到平面的距離也可以用等體積法.2.求距離傳統(tǒng)的方法和步驟是“一作、二證、三計(jì)算”，即先作出表示距離的線段，再證明它是所求的距離，然后再計(jì)算.其中第二步證明易被忽略，應(yīng)當(dāng)引起重視.第二十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一3.在求距離時(shí)，要注意各種距離的轉(zhuǎn)化；在選擇