2023學(xué)年完整公開課版冪函數(shù)

2.3冪函數(shù)高一數(shù)學(xué)人教A版必修一執(zhí)教人：李冬單位：漣源一中我們先看幾個(gè)具體問題:1.如果張紅購買了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要支付y=_______元。ｙ是關(guān)于ｘ的函數(shù)；2.如果正方形的邊長(zhǎng)為ｘ，面積為ｙ,這里ｙ是關(guān)于ｘ的函數(shù);y=x

y=x23.如果正方體的棱長(zhǎng)為ｘ,正方體的體積為ｙ,這里ｙ是關(guān)于ｘ的函數(shù);4.如果一個(gè)正方形場(chǎng)地的面積為ｘ,這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為ｙ，這里ｙ是關(guān)于ｘ的函數(shù);5.如果某人ｘ秒內(nèi)騎車行駛了１ｋｍ,他騎車的平均速度是ｙ，這里ｙ是關(guān)于ｘ的函數(shù).

這些具有共同特征的函數(shù)就是這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的冪函數(shù)讓我們進(jìn)入本節(jié)的學(xué)習(xí)！(這張幻燈片不需要投出，故設(shè)為隱藏，）我們已經(jīng)明確了上述問題所涉及的函數(shù)關(guān)系，你能找出它們有什么共同的特征嗎？(1)(2)(3)(4)(5)（1）都是以自變量x為底數(shù)；（2）指數(shù)為常數(shù)；（3）冪的系數(shù)為1;x的系數(shù)為1（4）只有一項(xiàng)；（5）都是形如的函數(shù)探究1：一般地,函數(shù)

叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

中前面的系數(shù)是1，后面沒有其他項(xiàng).【歸納總結(jié)】：冪函數(shù)的定義___冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別:自變量在底數(shù)位置；指數(shù)為常數(shù).自變量在指數(shù)位置；底數(shù)為常數(shù).判斷一個(gè)函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)切入點(diǎn)看未知數(shù)x是指數(shù)還是底數(shù)指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對(duì)比例1.下列函數(shù)中，哪幾個(gè)函數(shù)是冪函數(shù)？答案:(1)（6）【變式練習(xí)】探究2：在同一坐標(biāo)系中分別作出如下函數(shù)的圖象：

xy在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出冪函數(shù)的圖象O觀察并找出各函數(shù)圖象的共同點(diǎn)常見的冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y=xy=x2y=x3定義域值域奇偶性單調(diào)性過定點(diǎn)公共點(diǎn)RR[0,+∞){x|x∈R,且x≠0}RR[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R,且y≠0}奇偶奇奇非奇非偶增x∈[0,+∞)時(shí)，增x∈(-∞,0]時(shí)，減增增x∈(0,+∞)時(shí)，減x∈(-∞,0)時(shí)，減(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1)特征(1,1)【提升總結(jié)】常見冪函數(shù)的特征xyO（1，1）（1）圖象都經(jīng)過點(diǎn)_________（1，1）α為奇數(shù)時(shí),冪函數(shù)為

,α為偶數(shù)時(shí),冪函數(shù)為

。在第一象限內(nèi)，a>0,在[0,+∞)上為

;a<0,在(0,+∞)上為

.

冪函數(shù)的圖像在x=1的右側(cè)，a的值越小，圖像越低。

冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)，必出現(xiàn)在

限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在

限內(nèi);x=1

奇函數(shù)偶函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)第一象第四象【即時(shí)訓(xùn)練】

解:設(shè)f(x)=xα,將代入,得總結(jié):

理解并掌握形如y=xα的形式就是冪函數(shù)。

例2:已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),試求出此函數(shù)的解析式.例3.證明冪函數(shù)在上是增函數(shù).證明：任取則因?yàn)樗约磧绾瘮?shù)在上是增函數(shù).掌握證明函數(shù)單調(diào)性的方法和基本模式.注意：冪函數(shù)定義五個(gè)特殊冪函數(shù)圖象基本性質(zhì)冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù)）α>0α<0性質(zhì)冪函數(shù)的圖像在x=1的右側(cè)，a的值越小，圖像越低。（1）圖象過點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（1，1）（1）圖象都過點(diǎn)（1，1）（2）在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大，即在（0，+∞)上是增函數(shù)（2）在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減少，即在（0,+∞)上是減函數(shù)（4）α是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)；

α是偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù).（5）冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)，必出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限內(nèi)為你的終極目標(biāo)而努力，你內(nèi)在的意念是外在事物成功的關(guān)鍵，專注在目標(biāo)上，全神貫注，你才會(huì)所向披靡。達(dá)標(biāo)檢測(cè)2.選做題：教材82頁復(fù)習(xí)參考題A組第10題。類型三:冪值大小的比較問題【典例3】比較大小:(1)(2)(-1.2)3,(-1.25)3.(3)5.25-1,5.26-1,5.26-2.【解題指南】?jī)缰当容^大小,底數(shù)相同指數(shù)不同時(shí),用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;底數(shù)不同指數(shù)相同時(shí),用冪函數(shù)的性質(zhì).【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=在(0,+∞)上是增函數(shù),且1.5<1.7,所以

(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=x3在R上是增函數(shù),且-1.2>-1.25,所以(-1.2)3>(-1.25)3.(3)因?yàn)楹瘮?shù)y=5.26x是增函數(shù),

且-1>-2,所以5.26-1>5.26-2.又y=x-1在(0,+∞)是減函數(shù),

且5.25<5.26,故5.25-1>5.26-1,綜上所述,5.25-1>5.26-1>5.26-2.【規(guī)律總結(jié)】比較冪值大小的三種思路(1)若指數(shù)相同,底數(shù)不同,則考慮冪函數(shù).(2)若指數(shù)不同,底數(shù)相同,則考慮指數(shù)函數(shù).(3)若指數(shù)與底數(shù)都不同,則考慮插入中間數(shù),使這個(gè)數(shù)的底數(shù)與所比較數(shù)的一個(gè)底數(shù)相同,指數(shù)與另一個(gè)數(shù)的指數(shù)相同,那么這個(gè)數(shù)就介于所比較的兩數(shù)之間,進(jìn)而比較大小.【鞏固訓(xùn)練】比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大小:【解析】(1)因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x0.5在(0,+∞)上是單調(diào)遞增的,(2)因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x-1在(-∞,0)上是單調(diào)遞減的,(3)因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)在(0,+∞)上是增函數(shù)，且【錯(cuò)解分析】CCACC6.冪函數(shù)圖象過點(diǎn)(2,4),則它的單調(diào)增區(qū)間是________.【解析】設(shè)冪函數(shù)f（x）=，則=4，解得a=2，