誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差

誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差教學目的和要求通過本章內(nèi)容的教學，使學生對誤差的概念有一個感性的了解。要求學生清楚為什么所有的測量均存在誤差,了解誤差公理，明確學習本課程的目的和意義。通過本章內(nèi)容的教學，使學生對隨機誤差的產(chǎn)生原因、特點及處理方法有一個整體的認識。要求學生清楚隨機誤差的產(chǎn)生原因、特征，服從正態(tài)分布隨機誤差的特征；掌握隨機誤差特征值的確定方法；了解隨機誤差的分布；正確求解極限誤差。誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差重點和難點誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差

主要內(nèi)容誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差隨機誤差系指測量結果與在重復條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差。隨機誤差等于誤差減去系統(tǒng)誤差。因為測量只能進行有限次數(shù)，故可能確定的只是隨機誤差的估計值。第一節(jié)隨機誤差概述誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差

隨機誤差是由人們不能掌握，不能控制，不能調(diào)節(jié)，更不能消除的微小因素造成。這些因素中，有的是尚未掌握其影響測量準確的規(guī)律；有的是在測量過程中對其難以完全控制的微小變化，而這些微小變化又給測量帶來誤差。第一節(jié)隨機誤差概述誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差例題舉例：用測長機測量1m長的鋼桿制件，測量溫度的允許范圍為（20±2）℃。為此，測量在恒溫室內(nèi)進行，恒溫室溫度控制能力達到（）℃，滿足測量要求。但在測量時，恒溫室的溫度必然處在不斷地變化中，圍繞平均溫度20℃有微小的波動，溫度時高時低，變化速度時快時慢。溫度的微小變化引起鋼桿制件長度和測量儀器示值的微小變化，且它們受溫度的影響又不一致，有快慢之別，大小之分。這種影響又無法確定，因此造成隨機誤差。誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差隨機誤差性質(zhì)上屬隨機變量，其處理方法的理論依據(jù)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計。具體參量可用隨機變量的數(shù)學期望（算術平均值）、方差（標準偏差）和置信概率等三個特征量來描述。誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差服從正態(tài)分布隨機誤差的特征誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差第二節(jié)隨機誤差的分布

一、正態(tài)分布隨機誤差概率分布密度函數(shù)表達式為：

圖2－4數(shù)學期望

E（δ）＝0方

差

D（δ）＝σ2標準偏差

誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差均勻分布又稱等概率分布，其概率密度函數(shù)為：

當|δ|≤a當|δ|＞a它的數(shù)學期望為：

E（δ）＝0

它的方差為：

它的標準偏差為：

二、均勻分布誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差三、三角分布

三角分布的概率密度函數(shù)為：

數(shù)學期望：

E（δ）＝0

它的方差為：

它的標準偏差為：

誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差四、反正弦分布

它的概率密度為：

數(shù)學期望：E（δ）＝0方差為：標準偏差為：

誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差五、χ2分布

設隨機變量X1，X2，…，Xυ相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布N（0，1），則隨機變量的概率密度為

特征量為：

誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差六、t分布

設隨機變量X與Y相互獨立，X服從標準正態(tài)分布N（0，1），Y服從自由度為的χ2分布，則隨機變量的概率密度t分布的主要分布特征量為：

（2－32）

（2－33）

誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差七、F分布

設隨機變量X與Y相互獨立，分別服從自由度為與的χ2分布，則隨機變量的概率密度為

誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差第三節(jié)算術平均值原理在等權測量條件下，對某被測量進行多次重復測量，得到一系列測量值,常取算術平均值作為測量結果的最佳估計。一、算術平均值誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差算術平均值原理若測量次數(shù)無限增多，且無系統(tǒng)誤差下，由概率論的大數(shù)定律知，算術平均值以概率為1趨近于真值因為根據(jù)隨機誤差的抵償性，當n充分大時，有誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差最佳估計的意義若測量次數(shù)有限，由參數(shù)估計知，算術平均值是該測量總體期望的一個最佳的估計量，即滿足無偏性、有效性、一致性滿足最小二乘原理在正態(tài)分布條件下，滿足最大似然原理該所有測量值對其算術平均值之差的平方和達到最小該測量事件發(fā)生的概率最大

誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差二、殘余誤差由算術平均值原理可知，算術平均值是真值的最佳估計值，用算術平均值代替真值計算得到的誤差稱為殘余誤差。

在規(guī)定測量條件下，同一被測量的測量列x1，x2，…，xn有算術平均值：

則稱為殘余誤差。誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差殘余誤差可求，又稱實用誤差公式。殘余誤差具有兩個重要特性。

（一）殘余誤差具有低償性――殘余誤差代數(shù)和等于零

（二）殘余誤差平方和為最小

二、殘余誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差一、單次測量的標準偏差定理：同一被測量，在相同條件下，測量列xi（x＝1，2，…，n）中單次測量的標準偏差（也稱單次測量的標準不確定度）是表征同一被測量值n次測量所得結果的分散性參數(shù)，并按下式計算：

式中：n――測量次數(shù)（充分大）；δi――測量結果xi的隨機誤差。誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差第四節(jié)測量的標準偏差例題誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差單次測量的標準偏差≈μm

誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差二、標準偏差的基本估計——貝塞爾公式

定理：對同一被測量，在相同測量條件下，進行有限次測量得測量列xi

（i＝1，2，…，n），則單次測量標準偏差的估計值為：誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差實驗標準偏差s的標準差

設在同一條件下，對被測量進行n1次等精度測量，得測量列xi（i＝1，2，…，n）。用貝塞爾公式即可求得單次測量標準偏差要s1。仍在該條件下，再進行n2次測量，同樣又可得到單次測量標準偏差s2。我們發(fā)現(xiàn)，無論兩次的測量次數(shù)n1和n2是否相等，而s1和s2不一定相等，這說明由貝塞爾公式計算所得的測量標準偏差，也存在誤差。標準偏差s的標準偏差ss由下式確定，即誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差三、算術平均值標準偏差

如果在相同條件下對同一量值作多組重復的系列測量，每一系列測量都有一個算術平均值，由于誤差的存在，各個測量列的算術平均值也不相同，它們圍繞著被測量的真值有一定的分散，此分散說明了算術平均值的不可靠性，而算術平均值的標準差則是表征同一被測量的各個獨立測量列算術平均值分散性的參數(shù)，可作為算術平均值不可靠性的評定標準。

誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差最佳測量次數(shù)確定當n＞10以后，已減少得非常緩慢。由于測量次數(shù)愈大，也愈難保證測量條件的恒定，從而帶來新的誤差，因此一般情況下取n＝10以內(nèi)較為適宜。總之，要提高測量精度，應采用適當精度的儀器，選取適當?shù)臏y量次數(shù)。

誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差例題已知測量的單次測量標準偏差s＝（略去單位）。問在不改變測量條件的情況下，使被測量估計值的標準偏差達到，需測量多少次？解：以算術平均值作為被測量的估計值，適當增加測量次數(shù)，以滿足測量精密度的需要?？傻茫杭礈y量次數(shù)：（次）即對被測量進行9次以上重復測量，它們的算術平均值的精密度便可達到要求。

誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差四、標準差的其他估計方法1、極差法若等精度多次測量測得值x1，x2，…，xn服從正態(tài)分布，在其中選取最大值xmax與最小值xmin，則兩者之差稱為極差ωn＝xmax－xmin根據(jù)極差的分布函數(shù)，可求出極差的數(shù)學期望為：

誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差標準差的其他估計方法故可得s的無偏差估計值，若仍以s表示，則有

特點：極差法可簡單迅速算出標準差，并具有一定精度，一般在n＜10時均可采用。因誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章：判定隨機誤差2、最大誤差法測量誤差服從正態(tài)分布時，估計標準差的計算公式估算時的相對誤差

在已知被測量的真值的情形，多次