高中立體幾何數(shù)學組卷

高中立體幾何數(shù)學組卷一．選擇題（共15小題）1．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC=3，D為AB邊上的中點，點M在線段BD（不含端點）上，將△BCM沿CM向上折起至△B'CM，設(shè)平面B'CM與平面ACM所成銳二面角為α，直線MB'與平面AMC所成角為β，直線MC與平面B'CA所成角為γ①tanβ≤32tanα；②γ≤β；③γA．① B．①② C．②③ D．①③2．如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，E，F(xiàn)，G分別是側(cè)棱AA1，BB1，CC1上的點，且AE＞CG＞BF，設(shè)直線CA，CB與平面EFG所成的角分別為α，β，平面EFG與底面ABC所成的銳二面角為θ，則（）A．sinθ＜sinα+sinβ，cosθ≤cosα+cosβ B．sinθ≥sinα+sinβ，cosθ＜cosα+cosβ C．sinθ＜sinα+sinβ，cosθ＞cosα+cosβ D．sinθ≥sinα+sinβ，cosθ≥cosα+cosβ3．在三棱錐A﹣BCD中，P為△BCD內(nèi)一點，若S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，則AP→A．13AB→+C．13AB→4．已知點P是正方體ABCD﹣A'B'C'D'上底面A'B'C'D'上的一個動點，記面ADP與面BCP所成的銳二面角為α，面ABP與面CDP所成的銳二面角為β，若α＞β，則下列敘述正確的是（）A．∠APC＞∠BPD B．∠APC＜∠BPD C．max{∠APD，∠BPC}＞max{∠APB，∠CPD} D．min{∠APD，∠BPC}＞min{∠APB，∠CPD}5．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BB1，DD1的中點，G為側(cè)面ABB1A1內(nèi)一個動點．若D1G∥平面AEC1F，則D1G與平面ABB1A1所成角的正切值的最大值為（）A．55 B．1 C．2． D．6．已知直線BC垂直單位圓O所在的平面，且直線BC交單位圓于點A，AB＝BC＝1，P為單位圓上除A外的任意一點，l為過點P的單位圓O的切線，則（）A．有且僅有一點P使二面角B﹣l﹣C取得最小值 B．有且僅有兩點P使二面角B﹣l﹣C取得最小值 C．有且僅有一點P使二面角B﹣l﹣C取得最大值 D．有且僅有兩點P使二面角B﹣l﹣C取得最大值7．已知空間內(nèi)a→，b→，c→為三個兩兩垂直的單位向量，若x+y+z＝1，pqr＝0，則|xa→+2yb→+3zc→|+|（x+p）a→+（2y+A．255 B．31010 8．點M是棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱AB的中點，CN→=2NC1→，動點P在正方形AA1DD1（包括邊界）內(nèi)運動，且PBA．[13，19] B．[3355，199．正四面體ABCD，CD在平面α內(nèi)，點E是線段AC的中點，在該四面體繞CD旋轉(zhuǎn)的過程中，直線BE與平面α所成角不可能是（）A．0 B．π6 C．π3 10．已知長方形ABCD中，AB＞BC，現(xiàn)將△ABC沿AC翻折至△AB'C（B'與B不重合），設(shè)直線AB'與CD所成角為α，二面角A﹣B'C﹣D為β，則（）A．α＜β B．α＞β C．α＝β D．以上都不對11．在棱長為63的正四面體D﹣ABC中，過點D的平面Γ與底面ABC所成銳二面角的正切值為6，設(shè)平面Γ與底面ABC的交線為l，當平面Γ運動時，直線l在△ABCA．93+6π B．33+12π C．12．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC與△BCD均為等腰直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，BC＝2，P是線段AB上的動點，若線段CD上存在點Q，使得異面直線PQ與AC成30°的角，則線段PA長的取值范圍是（）A．（0，22] B．[12，63] C．[22，2]13．在正四面體D﹣ABC中，點E在棱AB上，滿足AE＝2EB，點F為線段AC上的動點，則（）A．存在某個位置，使得DE⊥BF B．存在某個位置，使得∠FDB=πC．存在某個位置，使得直線DE與平面DBF所成角的正弦值為714D．存在某個位置，使得平面DEF與平面DAC夾角的余弦值為314．已知矩形ABCD，M是邊AD上一點，沿BM翻折△ABM，使得平面ABM⊥平面BCDM，記二面角A﹣BC﹣D的大小為α，二面角A﹣DM﹣C的大小為β，則（）A．α＜β B．α＞β C．α+β＜π2 15．足球運動成為當今世界上開展最廣、影響最大、最具魅力、擁有球迷數(shù)最多的體育項目之一，2022年卡塔爾世界杯是第22屆世界杯足球賽．比賽于2022年11月21日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)7座城市中的12座球場舉行．已知某足球的表面上有四個點A，B，C，D滿足AB＝BC＝AD＝BD＝CD=2dm，二面角A﹣BD﹣C的大小為2πA．742π27dm3 B．352π27dm3 C．14π27二．填空題（共15小題）16．棱長為6的正四面體ABCD內(nèi)有一個內(nèi)切球O，M為CD中點，N為BM中點，連接AN交球O于P，Q兩點，PQ的長為．17．棱長為36的正四面體ABCD的外接球與內(nèi)切球的半徑之和為，內(nèi)切球球面上有一動M，則MB+13MC18．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC的中點，在平面A1B1C1D1內(nèi)，直線l∥B1D1，設(shè)二面角A﹣l﹣E的平面角為θ，當θ取最大值時，cosθ＝．19．如圖，棱長為3的正方體的頂點A在平面α上，三條棱AB、AC、AD都在平面α的同側(cè)．若頂點B，C到平面α的距離分別為1，2．建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)平面α的一個法向量為（x0，y0，z0），若x0＝1，則y0＝，z0＝，且頂點D到平面α的距離是．20．在空間直角坐標系O﹣xyz中，經(jīng)過點P（2，1，1）且與直線x?3y+z+1=03x?2y?2z+1=0垂直的平面方程為21．如圖，點A在銳二面角α﹣MN﹣β的棱MN上，在面α內(nèi)引射線AP，使AP與MN所成的∠PAM為45°，與面β所成的角為30°，求二面角α﹣MN﹣β的大小°．22．△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，它所在平面外一點P到△ABC三個頂點的距離是14，那么點P到平面ABC的距離是：．23．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，則AC1的長為．24．在正三棱錐P﹣ABC中，M、N分別是側(cè)棱PB，PC的中點，若截面AMN⊥側(cè)面PBC，則此三棱錐的側(cè)面與底面所成的角的正切值是．25．如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，則二面角C1﹣AB﹣C的余弦值為．26．已知菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=π3．現(xiàn)將菱形沿對角線AC折成空間幾何體ABCD'．設(shè)空間幾何體ABCD'的外接球為球O，若球O的表面積為8π，則二面角B﹣AC﹣D'的余弦值為27．已知四面體有五條棱長為3，且外接球半徑為2．動點P在四面體的內(nèi)部或表面，P到四個面的距離之和記為s．已知動點P在P1，P2兩處時，s分別取得最小值和最大值，則線段P1P2長度的最小值為．28．在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P是正方體棱上一點，|PB|+|PC1|＝λ．①若λ＝4，則滿足條件的點P的個數(shù)為；②若滿足|PB|+|PC1|＝λ的點P的個數(shù)為6，則λ的取值范圍是．29．如圖，圓柱W的底面半徑為1，高為2，平面MNFE是軸截面，點G，G1分別是圓弧ME，NF的中點，H在劣弧NG1上（異于N，G1），H，G，G1在平面MNFE的同側(cè)，記二面角G﹣NH﹣F，G﹣FH﹣N的大小分別為α，β，則tanα﹣tanβ的取值范圍為30．如圖，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝32，F(xiàn)為線段BC上的點，CF＝2，E為線段AB上的點，現(xiàn)將四邊形AEFC沿EF折起，使點A在平面BEF上的射影Q在直線BF上，且二面角A﹣EF﹣B的大小為60°，則此時線段AE的長度為．三．解答題（共30小題）31．如圖，DA和CB都垂直于平面ABE，F(xiàn)是DA上一點，且CB＝4，AF＝2，△ABE為等腰直角三角形，且O是斜邊AB的中點，CE與平面ABE所成的角為45°．（1）證明：FO⊥平面OCE；（2）求二面角F﹣EC﹣O的平面角的正切值；（3）若點P是平面ADE內(nèi)一點，且OC⊥OP，設(shè)點P到平面ABE的距離為d1，PA＝d2，求d1+d2的最小值．32．在四棱錐P﹣ABCD中，E為棱AD的中點，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ADC＝90°，ED＝BC＝2，EB＝3，F(xiàn)為棱PC的中點．（Ⅰ）求證：PA∥平面BEF；（Ⅱ）若二面角F﹣BE﹣C為60°，求直線PB與平面ABCD所成角的正切值．33．如圖所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝2，四邊形EDCF為矩形，CF=3，平面EDCF⊥平面ABCD（Ⅰ）求證：DF∥平面ABE；（Ⅱ）求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值．（Ⅲ）在線段DF上是否存在點P，使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為34？若存在，求出線段BP34．如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜邊AB＝4．Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角，動點D在斜邊（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；（Ⅱ）求CD與平面AOB所成角的正弦的最大值．35．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動點．（1）證明：△PBC是直角三角形；（2）若PA＝AB＝2，且當直線PC與平面ABC所成角正切值為2時，直線AB與平面PBC所成角的正弦值．36．如圖，四棱錐A'﹣BCDE是由直角△ABC沿其中位線DE翻折而成，且∠ABC=π2，PC＝2PA'，設(shè)AB＝1，（Ⅰ）若∠A'EB=π3，求二面角A'﹣BD﹣（Ⅱ）若二面角C﹣A'D﹣E的大小為5π6，求三棱錐P﹣A'ED37．在①OH∥平面PAB，②平面PAB⊥平面OHC，③OH⊥PC，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題．問題：如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，AC＝16，PA＝PC＝10，O為AC中點，H為△PBC內(nèi)的動點（含邊界）．（1）求點O到平面PBC的距離；（2）若_____，求直線PH與平面ABC所成角的正弦值的取值范圍．38．中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載：“芻（chú）甍（méng）者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條樓．芻字面意思為茅草屋頂．”現(xiàn)有一個芻如圖所示，四邊形ABCD為正方形，四邊形ABFE，CDEF為兩個全等的等腰梯形，AB＝4，EF∥AB，AB＝2EF，EA＝ED＝FB＝FC=17（1）求二面角A﹣EF﹣C的大?。唬?）求三棱錐A﹣BDF的體積；（3）點N在直線AD上，滿足AN＝mAD（0＜m＜1），在直線CF上是否存在點M，使NF∥平面BDM？若存在，求出CMMF39．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB＝2BC，E是CD的中點．將△ADE沿AE折起到△AD'E的位置．（Ⅰ）若M為棱BD'上動點，問在棱AE上是否存在定點N，使BC⊥MN？若存在，求ANAE（Ⅱ）若平面AD'E⊥平面ABCE，求二面角A﹣BD'﹣C的余弦值．40．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為梯形，平面PAD⊥平面ABCD，BC∥AD，PA⊥PD，AB⊥AD，∠PDA＝60°，E為側(cè)棱PD的中點，且AD＝2BC．（1）求證：CE∥平面PAB；（2）若點D到平面PAB的距離為2，且AD＝2AB，求點A到平面PBD的距離．41．如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB＝2，AC=6（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求O點到平面ACD的距離；（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣D的余弦值．42．如圖所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四邊形ABCD為矩形，四邊形BCEF為直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2．（Ⅰ）求證：AF∥平面CDE；（Ⅱ）求直線BE與平面ADE所成角的余弦值；（Ⅲ）求點B到平面ADE的距離．43．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA＝PD＝2，BC=12AD=1（1）求證：平面MQB⊥平面PAD；（2）若滿足BM⊥PC，求異面直線AP與BM所成角的余弦值；（3）若二面角M﹣BQ﹣C大小為30°，求QM的長．44．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面是以O(shè)為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD=π3，M為BC上一點，且BM=12，（1）求PO的長；（2）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．45．如圖，在等腰梯形PDCB中，PB＝3，DC＝1，PD＝BC=2，AD⊥PB，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD（Ⅰ）若M是側(cè)棱PB中點，求證：CM∥平面PAD；（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．46．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AB＝2，E為PC中點．（1）求證：DE⊥平面PCB；（2）求點C到平面DEB的距離；（3）求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．47．如圖，已知矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，將矩形沿對角線BD把△ABD折起，使A移到A1點，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．（1）求證：BC⊥A1D；（2）求證：平面A1BC⊥平面A1BD；（3）求二面角A1﹣BD﹣C的余弦值．48．如圖，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝AA1，BC=2AB，點D是（Ⅰ）求證：AD⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求證：A1B∥平面ADC1；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣D的余弦值．49．四邊形ABCD是菱形，ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AB＝2AF＝2，∠BAD＝60°，G是BE的中點．（Ⅰ）證明：CG∥平面BDF；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣D的余弦值．50．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（1）求證：AA1⊥平面ABC；（2）求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（3）求點C到平面A1BC1的距離．51．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上移動．（Ⅰ）證明：D1E⊥A1D；（Ⅱ）當E為AB的中點時，求異面直線AC與D1E所成角的余弦值；（Ⅲ）AE等于何值時，二面角D1﹣EC﹣D的大小為π452．如圖所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC=12AP＝2，D是AP的中點，E，F(xiàn)，G分別為PD，PC，CB的中點，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面（1）求證：AP∥平面EFG；（2）求二面角G﹣EF﹣D的大小．53．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC．（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在點E使得二面角A﹣DE﹣P為直二面角？并說明理由．54．如圖：長為3的線段PQ與邊長為2的正方形ABCD垂直相交于其中心O（PO＞OQ）．（1）若二面角P﹣AB﹣Q的正切值為﹣3，試確定O在線段PQ的位置；（2）在（1）的前提下，以P，A，B，C，D，Q為頂點的幾何體PABCDQ是否存在內(nèi)切球？若存在，試確定其內(nèi)切球心的具體位置；若不存在，請說明理由．55．如圖所示的長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點，BB1=2，M是線段B（Ⅰ）求證：BM∥平面D1AC；（Ⅱ）求證：D1O⊥平面AB1C；（Ⅲ）求二面角B﹣AB1﹣C的大?。?6．如圖，已知AB是⊙O的直徑，PA垂直于平面ABC，C是⊙O上一點，且AC＝BC，E是PC的中點，F(xiàn)是PB的中點，PA=6，AB（文科）（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC；（Ⅱ）求證：EF⊥平面PAC；（理科）（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC；（Ⅱ）請找出二面角A﹣BC﹣P的平面角，并求出它的度數(shù)．57．在棱長為1的正方體ABCD﹣A'B'C'D'中，M、N分別是AB'、BC'的中點．（Ⅰ）求證：直線MN∥平面ABCD．（Ⅱ）求B'到平面A'BC'的距離．58．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝90°．（Ⅰ）求證：BA⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求直線BC1和平面ACC1A1所成的角的正切值．59．在四棱錐P﹣ABCD中，△PAD為正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E為AD的中點，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4．（Ⅰ）求證：平面PCD⊥平面PAD；（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CD上是否存在點M，使得AM⊥平面PBE？若存在，求出DMDC60．如圖，四邊形ABCD為菱形，將△CBD沿BD翻折到△EBD的位置．（1）求證：直線BD⊥平面ACE；（2）若二面角E﹣BD﹣C的大小為60°，∠DBE＝60°，求直線CE與平面ABE所成角的正弦值．

高中立體幾何數(shù)學組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共15小題）1．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC=3，D為AB邊上的中點，點M在線段BD（不含端點）上，將△BCM沿CM向上折起至△B'CM，設(shè)平面B'CM與平面ACM所成銳二面角為α，直線MB'與平面AMC所成角為β，直線MC與平面B'CA所成角為γ①tanβ≤32tanα；②γ≤β；③γA．① B．①② C．②③ D．①③【解答】解：如圖，設(shè)直線BN與直線CM垂直相交于點N，在折疊圖里，線段B'T與平面ACM垂直相交于點T，∠BCM＝θ，θ∈（0°，30°），由圖象知∠B'NT＝α，∠B'MT＝β，B′N=BN=3B′T=3NT=3sinθcosα，CM=3①tanβ=B′TMN所以tanβ≤3②SΔACM設(shè)∠ACB'＝δ，則cosδ＝cosθcos（90°﹣θ）+sinθsin（90°﹣θ）cosα＝cos2（0.5α）sin2θ，sinδ=1?co由13B′TSsinγ=d則sinγsinβ由sinγ≤sinβ，得γ≤β；③sinγ=sin2θsinα則sinγsinα≤sin2θ所以sinγ＜sinα，則γ＜α．故選：B．2．如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，E，F(xiàn)，G分別是側(cè)棱AA1，BB1，CC1上的點，且AE＞CG＞BF，設(shè)直線CA，CB與平面EFG所成的角分別為α，β，平面EFG與底面ABC所成的銳二面角為θ，則（）A．sinθ＜sinα+sinβ，cosθ≤cosα+cosβ B．sinθ≥sinα+sinβ，cosθ＜cosα+cosβ C．sinθ＜sinα+sinβ，cosθ＞cosα+cosβ D．sinθ≥sinα+sinβ，cosθ≥cosα+cosβ【解答】解：如圖，延長EF，AB交于M，延長EG，AC交于N，延長FG，BC交于D，易得MN為平面ABC和平面EFG的交線，又D在平面ABC和平面EFG上，則D在直線MN上，即M，N，D三點共線，由外角定理可得∠ANM+∠CDN=π過A作AP⊥面EFG，垂足為P，過A作AQ⊥MN，垂足為Q，連接PQ，PN，易得∠ANP即為直線CA與平面EFG所成的角α，則sinα=APAN，又AP⊥面EFG，MN?面EFG，則AP⊥MN，又AQ⊥MN，AP，AQ?面APQ，AP∩AQ＝所以MN⊥面APQ，PQ?面APQ，則MN⊥PQ，則∠AQP即為平面EFG與底面ABC所成的銳二面角θ，則sinθ=AP又sin∠ANM=AQAN，則sinα＝sinθ?sin∠ANM，同理可得sinβ＝sinθ?sin∠CDN，則sinα+sinβ＝sinθ?（sin∠ANM+sin∠又由sin∠ANM=sin(=sin(∠ANM+∠CDNsin∠CDN=sin(∠ANM+∠CDN=sin(∠ANM+∠CDN則sin∠ANM+sin∠CDN=2sin(≤2sin(∠ANM+∠CDN故sinα+sinβ＝sinθ?（sin∠ANM+sin∠CDN）≤sinθ，A，C錯誤；故cos2θ＝1﹣sin2θ≤1﹣（sinα+sinβ）2，由α，β∈[0，π2]所以1+2cos（α﹣β）＞0，即1+2cosαcosβ+2sinαsinβ＞0，整理可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2cosαcosβ+2sinαsinβ﹣1＞0，即（sinα+sinβ）2+（cosα+cosβ）2﹣1＞0，即（cosα+cosβ）2＞1﹣（sinα+sinβ）2，故cos2θ＝1﹣sin2θ≤1﹣（sinα+sinβ）2＜（cosα+cosβ）2，又cosα，cosβ，cosθ≥0，故cosθ＜cosα+cosβ，B正確，D錯誤．故選：B．3．在三棱錐A﹣BCD中，P為△BCD內(nèi)一點，若S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，則AP→A．13AB→+C．13AB→【解答】解：三棱錐A﹣BCD中，P為△BCD內(nèi)一點，如圖所示：延長PB至B1，使得PB1＝2PB，延長PC至C1，使得PC1＝3PC，連接DB1，B1C1，C1D，因為S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，所以S△所以P為△B1C1D的重心，所以PD→即PD→+2PB→所以（AD→?AP→）+2（AB→所以AP→故選：C．4．已知點P是正方體ABCD﹣A'B'C'D'上底面A'B'C'D'上的一個動點，記面ADP與面BCP所成的銳二面角為α，面ABP與面CDP所成的銳二面角為β，若α＞β，則下列敘述正確的是（）A．∠APC＞∠BPD B．∠APC＜∠BPD C．max{∠APD，∠BPC}＞max{∠APB，∠CPD} D．min{∠APD，∠BPC}＞min{∠APB，∠CPD}【解答】解：如圖，取正方體的下底面的各邊中點E，F(xiàn)，G，H，上底面的中心為O，下底面的中心為O'，面ADP與面BCP所成的銳二面角為α，面ABP與面CDP所成的銳二面角為β，且α＞β，等價于點P到HF的距離比到EG的距離大，所以點P在如圖所示的范圍內(nèi)，在△APC和△BPD中，AC＝BD，PQ為公共邊，Q為公共的中點，∠APC，∠BPD的大小由PQ與AC，BD所成的角的大小所確定，所成的角越小，則對應(yīng)的角越大，因為PQ與AC和BD所成的角的大小關(guān)系不確定，當點P在靠近A'時，PQ與直線AC所成的角較小，與直線BD所成的角接近90°，此時∠BPD＞∠APC，同樣當點P接近于點D'時，∠APC＞∠BPD，故選項A錯誤，選項B錯誤；∠APD與∠BPD的大小關(guān)系看點P是在EG的左側(cè)還是右側(cè)，若是在左側(cè)，則∠APD＞∠BPC，若是在右側(cè)，則∠APD＜∠BPC，若是在EG上，則∠APD＝∠BPC；同樣，點P在HF的前面，則∠APB＞∠CPD，點P在HF上，則∠APB＝∠CPD，點P在HF的后面，則∠APB＜∠CPD，所以當點P在A'OH內(nèi)時，max{∠APD，∠BPC}＝∠APD，min{∠APD，∠BPC}＝∠BPC，max{∠APB，∠CPD}＝∠APB，min{∠APB，∠CPD}＝∠CPD，因為PH＜PE，則∠APD＞∠APB，因為PG＜PF，故∠BPC＜∠CPD，故選項C正確，選項D錯誤；根據(jù)對稱性可知，在其余范圍內(nèi)，具有相同的結(jié)論．故選：C．5．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BB1，DD1的中點，G為側(cè)面ABB1A1內(nèi)一個動點．若D1G∥平面AEC1F，則D1G與平面ABB1A1所成角的正切值的最大值為（）A．55 B．1 C．2． D．【解答】解：如圖，取AA1中點M，連結(jié)D1M，B1M，∵D1M∥AF，B1D1∥EF，∴平面B1D1M∥平面AEC1F，由平面平行性質(zhì)得G必在線段B1M上，∵D1A1⊥平面ABB1A1，∴∠D1GA1是直線D1G與平面ABB1A1所成角，只要D1G最小，則此角的正切值最大，只要D1G⊥MB1，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為2，則MD1＝MB1=5，B1D1＝22，由面積法得D1G=∴A1G=(∴D1G與平面ABB1A1所成角的正切值的最大值為：tan∠D1GA1=A故選：D．6．已知直線BC垂直單位圓O所在的平面，且直線BC交單位圓于點A，AB＝BC＝1，P為單位圓上除A外的任意一點，l為過點P的單位圓O的切線，則（）A．有且僅有一點P使二面角B﹣l﹣C取得最小值 B．有且僅有兩點P使二面角B﹣l﹣C取得最小值 C．有且僅有一點P使二面角B﹣l﹣C取得最大值 D．有且僅有兩點P使二面角B﹣l﹣C取得最大值【解答】解：過A作AM⊥l于M，連接MB、MC，因為直線BC垂直單位圓O所在的平面，且直線BC交單位圓于點A，所以AC⊥l，所以l⊥平面AMC，所以l⊥MC，l⊥MB，所以∠BMC是二面角B﹣l﹣C的平面角，設(shè)∠BMC＝θ，∠AMC＝α，∠AMB＝β，AM＝t，則θ＝α﹣β，由已知得t∈（0，2]，AB＝BC＝1，tanα=2t，tanβ=1t，tanθ＝tan（α﹣令f（t）=tt2+2，則f'（當t∈（0，2）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當t∈（2，2]時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以當t=2時，f（t）取最大值，即tanθ取最大值，從而θ由對稱性知當t=2時，對應(yīng)P所以有且僅有兩點P使二面角B﹣l﹣C取得最大值．故選：D．7．已知空間內(nèi)a→，b→，c→為三個兩兩垂直的單位向量，若x+y+z＝1，pqr＝0，則|xa→+2yb→+3zc→|+|（x+p）a→+（2y+A．255 B．31010 【解答】解：令m＝2y，n＝3z，x+m故原式等價于|x=|xa令OC=x因為x+m2+所以C在x+m2+P為xOm，xOn，mOn平面內(nèi)任意一點，所以問題等價于求|OC→|+|PC→可分三種情況求解：①當P在平面xOm內(nèi)時，作AB的垂面EOD，作OC⊥ED，P為C投影在OD上投影，得OD=255△ODE≌△O′DE，此時，OE＝3，∠EDO＞45°，所以∠ODO′＞90°，所以O(shè)C+PC＝OC+CP′≥OP′≥OD，所以當C在D點時|OC→|+|同理②當P在平面xOn內(nèi)時，D在AE上，可得平面圖：此時，OD=31010，OB所以O(shè)C+PC＝OC+CP′≥OP′≥OD=3同理③當P在平面mOn內(nèi)時，OD=613，OA＝1，∠當OP′⊥O′D時，|OC所以cos∠ADO=67，sin∠ADO=137，OP′=綜上：|OC→|+|故選：A．8．點M是棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱AB的中點，CN→=2NC1→，動點P在正方形AA1DD1（包括邊界）內(nèi)運動，且PBA．[13，19] B．[3355，19【解答】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，面DMN截正方體ABCD﹣A1B1C1D1的截面為梯形DMEN，其中ME∥DN，BE＝1，取C1D1中點F，在DD1上取點H，使DH＝2，在AA1取點G，使AG＝1，則平面DMEN∥平面B1FHG，∵動點P在正方形AA1DD1（包括邊界）內(nèi)運動，且PB1∥面DMN，∴P點的軌跡是線段GH，G（3，0，1），H（0，0，2），C（0，3，0），GH→=（﹣3，0，1），∴點C到線段GH的距離d＝|GC→|?1?[cos＜∴PC的長度的最小值為335GC=19，HC=13，∴PC長度的最大值為∴PC的長度范圍為[335故選：B．9．正四面體ABCD，CD在平面α內(nèi)，點E是線段AC的中點，在該四面體繞CD旋轉(zhuǎn)的過程中，直線BE與平面α所成角不可能是（）A．0 B．π6 C．π3 【解答】解：由正四面體ABCD，可得所有棱長都相等．①∵點E是線段AC的中點，∴BE⊥AC．在該四面體繞CD旋轉(zhuǎn)的過程中，直線BE與平面α所成角不可能是π2反證法：若直線BE與平面α所成角是π2，則BE⊥平面α則在某一過程必有BE⊥CD．事實上，在該四面體繞CD旋轉(zhuǎn)的過程中，BE與CD是不可能垂直的，因此假設(shè)錯位，于是直線BE與平面α所成角不可能是90°．②在該四面體繞CD旋轉(zhuǎn)的過程中，當BE∥α時，可得直線BE與平面α所成角為0．③如圖所示的正四面體B﹣ABC．作BO⊥平面ACD，垂足為O．則E，O，D三點在同一條直線上．設(shè)直線BE與平面ACD所成的角為θ，可得cosθ=1∴θ＞π3．于是可得在該四面體繞CD旋轉(zhuǎn)的過程中，可得直線BE與平面α所成角為π6綜上可得：直線BE與平面α所成角不可能是π2故選：D．10．已知長方形ABCD中，AB＞BC，現(xiàn)將△ABC沿AC翻折至△AB'C（B'與B不重合），設(shè)直線AB'與CD所成角為α，二面角A﹣B'C﹣D為β，則（）A．α＜β B．α＞β C．α＝β D．以上都不對【解答】解：根據(jù)題意，作圖如下：因為AB'⊥B'C，∠AB'D不小于二面角A﹣B'C﹣D，當∠AB'D恰為二面角A﹣B'C﹣D的平面角，此時DB'⊥B'C，從而可得B'C⊥平面AB'D，即AD⊥B'C，因為AD⊥DC，所以AD⊥平面CB'D，即得AD⊥B'D，所以sin∠AB'D=AD過點B'作B'M⊥AB于點M，過點M作MM'⊥DC于點M'，因為AB∥CD，所以AB'與CD所成角為∠BAB'或其補角，因為sin∠BAB'=B′M所以∠BAB'＞∠AB'D，故直線AB'與CD所成角大于二面角A﹣B'C﹣D，即α＞β．故選：B．11．在棱長為63的正四面體D﹣ABC中，過點D的平面Γ與底面ABC所成銳二面角的正切值為6，設(shè)平面Γ與底面ABC的交線為l，當平面Γ運動時，直線l在△ABCA．93+6π B．33+12π C．【解答】解：正四面體的棱長為63，設(shè)D在底面的射影為O，則O是△ABC∴底邊三角形ABC的中線AG＝63×32=9，則OG＝9﹣6＝3，則正四面體的高DO=AD2設(shè)直線l∥BC，延長OG交l于K，連接DK，則∠DKO是點D的平面Γ與底面ABC所成銳二面角的平面角，設(shè)∠DKO＝θ，則tanθ=DOOK=62即O到直線l的距離d＝OK＝23，∴直線l在△ABC內(nèi)的部分形成的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為23的圓的外部，在底面△ABC中，∵OG＝3，OE＝OK＝23，∴EF＝23，即△OEF是正三角形，由對稱性值圓內(nèi)含有3個與△OEF全等的三角形，則還有三個與扇形OEH相同的扇形，則3∠EOH＝360°﹣3×60°＝180°，即∠EOH＝60°，則三個扇形的面積之和為半圓的面積S=12×π×（23）2三個正三角形的面積S＝3×12×（23）2×則面積之和為93+6π△ABC的面積為S=12×6則所求，面積為273?（93+6π）＝183故選：D．12．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC與△BCD均為等腰直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，BC＝2，P是線段AB上的動點，若線段CD上存在點Q，使得異面直線PQ與AC成30°的角，則線段PA長的取值范圍是（）A．（0，22] B．[12，63] C．[22，2]【解答】解：如圖，由題可知，平面ABC⊥平面BCD，△BAC與BCD均為等腰直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，作BC中點為O，連接OA，則OA⊥BC，則OA⊥平面BCD，再作y軸方向平行于CD，則OH⊥BC，故可以O(shè)為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，O（0，0，0），A（0，0，1），B（﹣1，0，0），C（1，0，0），設(shè)P（s，0，t），Q（1，m，0），（s≤0，t≥0，m≥0），則PQ→=(1?s，m，?t)，AC由于PA→與BA→共線，故s＝t﹣1，所以所以PQ→?AC→=|化簡得3m2＝4t（1﹣s）﹣（1﹣s）2﹣t2≥0，又s＝t﹣1，代入化簡可得：4（1﹣s2）≥2+2s2，即3s2≤1，所以|s|≤13，則|PA故選：D．13．在正四面體D﹣ABC中，點E在棱AB上，滿足AE＝2EB，點F為線段AC上的動點，則（）A．存在某個位置，使得DE⊥BF B．存在某個位置，使得∠FDB=πC．存在某個位置，使得直線DE與平面DBF所成角的正弦值為714D．存在某個位置，使得平面DEF與平面DAC夾角的余弦值為3【解答】解：如圖所示，設(shè)正四面體D﹣ABC的底面中心為點O，連接DO，則DO⊥平面ABC，以點O為坐標原點，OB、OD所在直線分別為x、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)正四面體D﹣ABC的棱長為2，則A(?33，?1，0)，B(233，0，0)設(shè)F(?33，λ，0)對于A，若存在某個位置使得DE⊥BF，DE→=(3所以DE→?BF→=?1?對于B，若存在某個位置使得∠FDB=π4，DF→則cos?DF→，對于C，設(shè)平面DBF的一個法向量為u→又DB→=(2由u→?DB若存在某個位置，使得直線DE與平面DBF所成角的正弦值為714，又DE∴714整理得λ2+4λ＝0，解得λ＝0或λ＝﹣4（舍去），∴存在F(?33，0，0)，即F為AC對于D，設(shè)平面DAC的一個法向量為m→又DA→=(?3由m→?DA設(shè)平面DEF的一個法向量為n→又DE→=(3由n→?DE若存在某個位置，使得平面DEF與平面DAC夾角的余弦值為32則32整理得47λ2﹣42λ+279＝0，∴Δ＝422﹣4×47×279＜0，∴該方程無解，∴D錯誤．故選：C．14．已知矩形ABCD，M是邊AD上一點，沿BM翻折△ABM，使得平面ABM⊥平面BCDM，記二面角A﹣BC﹣D的大小為α，二面角A﹣DM﹣C的大小為β，則（）A．α＜β B．α＞β C．α+β＜π2 【解答】解：過點A在平面ABM內(nèi)作AH⊥BM，垂足為點H，過點H作EF∥CD分別交直線BC、DM于點E、F，連接AE、AF，設(shè)AB＝a，∠AMB＝γ，則γ為銳角，因為平面ABM⊥平面BCDM，平面ABM∩平面BCDM＝BM，AH⊥BM，AH?平面ABM，所以，AH⊥平面BCDM，∵BC?平面BCDM，∴AH⊥BC，因為CD⊥BC，則HE⊥BC，∵HE∩AH＝H，∴BC⊥平面AHE，∵AE?平面AHE，∴AE⊥BC，故二面角A﹣BC﹣D的平面角為∠AEH＝α，且tanα=AH同理tanβ=AH在Rt△BAM中，∠BAM=π又因為AH⊥BM，則∠BAH=π∴AH=acosγ，BH=asinγ，MH=AH∵DF∥BC，則∠HBE＝∠HMF＝γ，所以，EH＝BHsinγ＝asin2γ，F(xiàn)H＝MHsinγ＝acos2γ，tanα=AH無法比較sin2γ和cos2γ的大小關(guān)系，故無法比較tanα、tanβ的大小關(guān)系，即α、β的大小無法確定，因為0＜α＜π2，0＜β＜π2，則0＜α因為tan(α+β)=tanα+tanβ所以，α+β＞π故選：D．15．足球運動成為當今世界上開展最廣、影響最大、最具魅力、擁有球迷數(shù)最多的體育項目之一，2022年卡塔爾世界杯是第22屆世界杯足球賽．比賽于2022年11月21日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)7座城市中的12座球場舉行．已知某足球的表面上有四個點A，B，C，D滿足AB＝BC＝AD＝BD＝CD=2dm，二面角A﹣BD﹣C的大小為2πA．742π27dm3 B．352π27dm3 C．14π27【解答】解：根據(jù)題意，三棱錐A﹣BCD如圖所示，圖中點O為線段BD的中點，N，M分別是線段AO，CO上靠近點O的三等分點，因為AB=BC=AD=BD=CD=2所以△ABD和△CBD均為等邊三角形，因為點O為線段BD的中點，所以AO⊥BD，CO⊥BD，所以∠AOC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，所以∠AOC=2π因為△ABD和△CBD均為等邊三角形，點O為線段BD的中點，所以AO，CO分別為△ABD和△CBD的中線，因為N，M分別是線段AO，CO靠近點O的三等分點，所以N，M分別為△ABD和△CBD的外心，過N，M分別作平面ABD和平面CBD的垂線EN，EM，交于點E，則點E為三棱錐A﹣BCD外接球的球心，即為足球的球心，所以線段EB為球的半徑，因為AO⊥BD，CO⊥BD，AB=BC=AD=BD=CD=2所以AO=CO=62dm因為AO＝CO，EO＝EO，∠ENO＝∠EMO＝90°，所以△ENO?△EMO，所以∠EON=∠EMO=1在直角△EMO中，EM=OMtanπ因為EM⊥平面BCD，BM?平面BCD，所以BM⊥EM，因為M是△CBD的外心，所以BM=6所以EB=E所以V=4所以足球的體積為742故選：A．二．填空題（共15小題）16．棱長為6的正四面體ABCD內(nèi)有一個內(nèi)切球O，M為CD中點，N為BM中點，連接AN交球O于P，Q兩點，PQ的長為43311【解答】解：把這個正四面體補成正方體，四面體的棱就是棱長為32的正方體的面對角線，四面體內(nèi)切球球心為正方體中心．記球心為正方體對角線AE中點O．AE交平面BDC于點O1，則O1為等邊三角形BDC的中心，O1在BM上，AE⊥平面BDC．OO1為正四面體ABCD內(nèi)切球半徑，記為R．過點O作OG⊥PQ，垂足為G，則PG＝GQ，連接OP、OB，可知OA＝OB=123×(32)2=3∴R＝OO1=(362)2?(23)2=62．在Rt△AO1∵Rt△AGO∽Rt△AO1N，∴AOAN=OGNO1，即362故答案為：43317．棱長為36的正四面體ABCD的外接球與內(nèi)切球的半徑之和為126，內(nèi)切球球面上有一動M，則MB+13MC的最小值為【解答】解：將正四面體ABCD放入如圖的正方體，則正四面體ABCD的外接球與該正方體的外接球為同一球，半徑為362設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為r，根據(jù)等體積法有(36解得r=36所以外接球與內(nèi)切球的半徑之和為96由阿波羅尼斯球得內(nèi)切球球心O是線段CH上以C，E為定點，空間中滿足PCPE=λ(λ≠1)的點連結(jié)CO并延長交平面ABD于點H，交內(nèi)切球上方的點設(shè)為K，過M作ME⊥CH，交CH于點E，連結(jié)BM，CM，設(shè)OE＝x，由（1）空可知，CO=966636?x=所以MCME所以13所以MB+1在△BOE中，BO=CO=96，OE=6所以BE=(9所以MB+13MC故答案為：126；418．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC的中點，在平面A1B1C1D1內(nèi)，直線l∥B1D1，設(shè)二面角A﹣l﹣E的平面角為θ，當θ取最大值時，cosθ＝2341【解答】解：如圖，設(shè)正方體的棱長為1，l與A1B1，A1D1分別交于I，H兩點，取CD的中點F，連接EF，則EF∥BD，又因為BD∥B1D1，∴EF∥B1D1，又因為直線l∥B1D1，∴直線l∥EF，即EFHI在同一平面內(nèi)，設(shè)平面EFHI與AC交于G，在正方形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1，又知道AA1⊥B1D1，AA1∩A1C1．所以B1D1⊥平面AA1C1C，又因為HI∥B1D1，所以HI⊥平面AA1C1C，設(shè)HI∩A1C1＝O，連接OA，OG，則∠AOG即為二面角A﹣l﹣E的平面角θ，且θ為銳角．因為EF為三角形BCD的中位線，故G是AC的四等分點，即AG=3取出截面AA1C1C如圖，以A為坐標原點，AC為x軸，建立如圖坐標系，設(shè)O點坐標為（x，1），x∈（0，2）．直線OA的斜率為kOA=1x，直線OG的斜率kOG=∴tanθ=kOG?kOA故當x=328時，tanθ最大，即O∴OA＝OG=(所以由余弦定理cosθ=O故填：234119．如圖，棱長為3的正方體的頂點A在平面α上，三條棱AB、AC、AD都在平面α的同側(cè)．若頂點B，C到平面α的距離分別為1，2．建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)平面α的一個法向量為（x0，y0，z0），若x0＝1，則y0＝2，z0＝6，且頂點D到平面α的距離是6．【解答】解：如圖所示，連結(jié)BC、CD、BD，則四面體A﹣BCD為直角四面體；作平面α的法線AH，作BB1⊥平面α于B1，CC1⊥平面α于C1，DD1⊥平面α于D1；連結(jié)AB1，AC1，AD1，令A(yù)H＝h，DA＝a，DB＝b，DC＝c，由V三棱錐A﹣BCD的體積相等，∴13×S△BCD?h=∴a2+b2?b2+c2?可得1?∴?2令∠BAB1＝α，∠CAC1＝γ，∠DAD1＝β，可得sin2α+sin2β+sin2γ＝1，設(shè)DD1＝m，∵BB1＝1，CC1=2∴(1解得m=6；即所求點D到平面α的距離為6又α的法向量為n→=（x0，y0，z＝（hcos（π2?α），hcos（π2?γ），h＝（hsinα，hsinγ，hsinβ），由hsinα＝1，得hsinγ=2，hsinβ=∴n→=（1，2，故答案為：2，6，6．20．在空間直角坐標系O﹣xyz中，經(jīng)過點P（2，1，1）且與直線x?3y+z+1=03x?2y?2z+1=0垂直的平面方程為8x+5y+7z﹣28＝0【解答】解：由題意可得，兩個平面的法向量分別為（1，﹣3，1），（3，﹣2，﹣2），設(shè)平面的法向量為（x，y，z），則由x?3y+z=03x?2y?2z=0得到一法向量為（1，58，所以與直線x?3y+z+1=03x?2y?2z+1=0垂直的平面方程為（x﹣2）×1+58（y﹣1）+整理得8x+5y+7z﹣28＝0，故答案為：8x+5y+7z﹣28＝0．21．如圖，點A在銳二面角α﹣MN﹣β的棱MN上，在面α內(nèi)引射線AP，使AP與MN所成的∠PAM為45°，與面β所成的角為30°，求二面角α﹣MN﹣β的大小45°．【解答】解：過點P作平面β的垂線PB，垂足為B，過點B作BC垂直于MN，連接PC∵PB⊥β，MN?β，∴PB⊥MN∵MN⊥BC，∴∠PCB為二面角α﹣MN﹣β的平面角設(shè)PB＝1，在△PBA中，∠PAB＝30°，∴PA＝2在△PCA中，∠PAC＝45°，∴PC=在△PCB中，PB＝1，PC=2，∴∠PCB故答案為45°22．△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，它所在平面外一點P到△ABC三個頂點的距離是14，那么點P到平面ABC的距離是：7．【解答】解析：記P在平面ABC上的射影為O，∵PA＝PB＝PC∴OA＝OB＝OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA（△ABC的外接圓的半徑），記為R，在△ABC中由余弦定理知：BC＝21，在由正弦定理知：2R=21sin120°=143，∴OA＝73故答案為：7．23．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，則AC1的長為23．【解答】解：以AB→，AD→，可得AC由AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，可得AB→?AD→=0，AB→?AA1→=1×3所以AC1→2=AB→2+AD→2+AA1→2+2＝1+4+9+0+3+6＝23，則|AC1→故答案為：23．24．在正三棱錐P﹣ABC中，M、N分別是側(cè)棱PB，PC的中點，若截面AMN⊥側(cè)面PBC，則此三棱錐的側(cè)面與底面所成的角的正切值是5．【解答】解：如圖，取MN中點O，連接AO，PO，延長PO交BC于點D，連接AD，則BD＝DC∵三棱錐P﹣ABC為正三棱錐∴AM＝AN∴AO⊥MN∵截面AMN⊥側(cè)面PBC∴AO⊥側(cè)面PBC∴AO⊥PD，又PO＝OD∴PA＝AD，且∠ADO就是側(cè)面與底面所成的二面角的平面角設(shè)AB＝a，則AD=32a∵PD=∴OD=24a在Rt△AOD中，tan∠ADO=∴三棱錐的側(cè)面與底面所成的角的正切值是5故答案為525．如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，則二面角C1﹣AB﹣C的余弦值為5719【解答】解：如圖建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），ACAB→=（32設(shè)n＝（x，y，z）為平面ABC1的法向量則32x+12y=0取m＝（0，0，1），作為平面ABC的法向量．則cos＜m，n＞=?1∴二面角C1﹣AB﹣C的余弦值為5719故答案為：5726．已知菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=π3．現(xiàn)將菱形沿對角線AC折成空間幾何體ABCD'．設(shè)空間幾何體ABCD'的外接球為球O，若球O的表面積為8π，則二面角B﹣AC﹣D'的余弦值為?【解答】解：設(shè)球的半徑為R，由表面積4πR2＝8π，得R=2．如圖（1），設(shè)△ABC、△D'AC的外心分別為O1，O2過O1，O2分別做平面ABC，平面D'AC的垂線，兩條垂線的交點即為球心O．如圖（2），設(shè)AC中點為E，由對稱性知∠D'EO＝∠BEO，設(shè)為θ，則2θ為二面角B﹣AC﹣D'所成平面角的大?。烧叶ɡ淼肙1B=12所以tanθ=OO1故答案為?127．已知四面體有五條棱長為3，且外接球半徑為2．動點P在四面體的內(nèi)部或表面，P到四個面的距離之和記為s．已知動點P在P1，P2兩處時，s分別取得最小值和最大值，則線段P1P2長度的最小值為9714【解答】解：四面體ABCD，其中AD＝BD＝BC＝AB＝AC＝3，設(shè)CD＝2x，取CD，AB的中點分別為E，F(xiàn)，連接DF，CF，如圖．在等腰三角形ABD，ABC中，有FD⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，∴AB⊥平面CDF，又F為AB的中點，則四面體ABCD的外接球的球心O一定在平面CDF上，同理可得四面體ABCD的外接球的球心O一定在平面ABE上，∴四面體ABCD外接球的球心O一定在EF上，連接OC，OB，設(shè)∠EFC＝θ，在直角三角形OBF中，OF=O在△OCF中，cosθ=O在直角三角形EFC中，EF＝CF?cosθ=9714，即EF根據(jù)條件有S△ACD＝S△BCD，設(shè)為S1，S△ABD＝S△CAB，設(shè)為S2．設(shè)點P到四個面ACD，BCD，DAB，CAB的距離分別為d1，d2，d3，d4，設(shè)四面體ABCD的體積為V（為定值），由等體積法有：V=1∴d3∴s=d當點P在CD上時，d1+d2＝0最小，當點P遠離CD時，d1+d2的值增大，由等體積法可得，當點P在AB上時，d1+d2的值相等且此時d1+d2的值最大，∴當點P在CD或AB上時，s取得最值，故線段P1P2長度的最小值為CD，AB上兩點間距離的最小值．由上可知，EF⊥CD，EF⊥AB．∴CD，AB上兩點間距離的最小值為EF=9故答案為：9728．在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P是正方體棱上一點，|PB|+|PC1|＝λ．①若λ＝4，則滿足條件的點P的個數(shù)為4；②若滿足|PB|+|PC1|＝λ的點P的個數(shù)為6，則λ的取值范圍是(22，4)∪(2+2【解答】解：（1）正方體的棱長為2，∴BC∵|PB|+|PC1|＝4，∴P是以2c=22為焦距，以a∵P在正方體的棱上，∴P應(yīng)是橢圓與正方體與棱的交點，結(jié)合正方體的性質(zhì)可得，滿足條件的點為B1，C，以及棱AB，C1D1各有一點滿足條件，故滿足條件的點P的個數(shù)為4．（2）|PB|+|PC1|＝λ＞|BC1|=22當橢圓短半軸b＜2時，橢圓與棱BC，CC1，C1B1，B1B，AB，C1D各有一個交點與其它棱無交點，滿足題意；由b2=λ24當b=2時，a＝2，λ當b＞2，λ≤2+2當λ＞2+23，b＜6時，橢圓與棱AD，DD1，D1A1，A1A，A1B1，由b2=λ24當b≥6綜上，λ的取值范圍為(22，4)?故答案為：4；(22，4)?29．如圖，圓柱W的底面半徑為1，高為2，平面MNFE是軸截面，點G，G1分別是圓弧ME，NF的中點，H在劣弧NG1上（異于N，G1），H，G，G1在平面MNFE的同側(cè)，記二面角G﹣NH﹣F，G﹣FH﹣N的大小分別為α，β，則tanα﹣tanβ的取值范圍為【解答】解：以點O2為坐標原點，分別以O(shè)2G，O2E，O2O1為x、y、z軸建立空間坐標系O2﹣xyz，所以N（0，﹣1，2），G（1，0，0），F(xiàn)（0，1，2），設(shè)H（m，n，2），0＜m＜1，﹣1＜n＜0，且m2+n2＝1，NH→設(shè)平面NHG的法向量m→=(x，y，z)，GN由m→?GN→=0設(shè)平面GFH的法向量n→=(a，b，c)，F(xiàn)H由n→?FH→=0設(shè)平面FNH的法向量為k→cosα＝|cos＜m→，k→＞|=﹣cosβ＝|cos＜n→，k→＞|=∴tanα﹣tanβ=2m2+(n+1)2m?(n+1)+2故答案為：（4，+∞）．30．如圖，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝32，F(xiàn)為線段BC上的點，CF＝2，E為線段AB上的點，現(xiàn)將四邊形AEFC沿EF折起，使點A在平面BEF上的射影Q在直線BF上，且二面角A﹣EF﹣B的大小為60°，則此時線段AE的長度為532【解答】解：如圖所示，在△ABC中，作AM⊥EF交BC于點Q，M點為垂足．∵點A在平面BEF上的射影Q在直線BF上，且二面角A﹣EF﹣B的大小為60°，在折疊圖中，∠AMQ為二面角A﹣EF﹣B的平面角，大小為60°．∴AM＝2MQ．在△ABC中，BC邊所在直線為x軸，其垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．O點為坐標原點．BC＝32×則O（0，0），F(xiàn)（1，0），A（0，3），B（﹣3，0）．設(shè)Q（t，0），∵QM→∴OM→=OQ→+13QA→∵AQ⊥MF，∴AQ→?MF→=（t，﹣3）?（23t﹣1，3）＝t化為：2t2﹣3t﹣9＝0，t＜0．解得t=?32．∴直線EF的方程為：y=1?1?1（x﹣1），化為：x+2直線AB的方程為：﹣x+y＝3．聯(lián)立為：?x+y=3x+2y?1=0，解得x=?53，∴E（?53，∴AE=(?故答案為：53三．解答題（共30小題）31．如圖，DA和CB都垂直于平面ABE，F(xiàn)是DA上一點，且CB＝4，AF＝2，△ABE為等腰直角三角形，且O是斜邊AB的中點，CE與平面ABE所成的角為45°．（1）證明：FO⊥平面OCE；（2）求二面角F﹣EC﹣O的平面角的正切值；（3）若點P是平面ADE內(nèi)一點，且OC⊥OP，設(shè)點P到平面ABE的距離為d1，PA＝d2，求d1+d2的最小值．【解答】解：（1）證明：CB⊥平面ABE，∴CE與平ABE所成的角為∠CEB＝45°．∵CB＝4，∴EB＝4，∴在等腰Rt△ABE中，AE＝4，AO＝OB=22又CB＝4，AF＝2，∴AOAF=CBOB=2，∴△AOF∽△所以∠AOF+∠BOC＝∠AOF+∠AFO=π2，即∠FOC=π2，即∵CB⊥平面ABE，OE?平面ABE，∴CB⊥OE．∵EO⊥AB，AB∩CB＝B，AB?平面ABCD，CD?平面ABCD．∴OE⊥平面ABCD．∵FO?平面ABCD，∴EO⊥FO．∵EO∩OC＝O，∴FO⊥平面OCE．（2）過點F作FH⊥CE，連接OH，如圖所示．∵FO⊥平面OCE，CE?平面OCE，∴FO⊥CE．又∵FH⊥CE，F(xiàn)H∩FO＝F，∴CE⊥平面OFH．∵OH?平面OFH，∴OH⊥CE．根據(jù)二面角的定義可知，∠OHF為平面角．在Rt△OAF中，AF＝2，AO＝22，∴OF=23∵OE⊥平面ABCD，OC?平面ABCD，∴OE⊥OC．在Rt△EOC中，OC＝26，OE＝22．∴OH=OE?OC∴tan∠OHF=OF（3）由（1）知，F(xiàn)O⊥OC，又OC⊥OP，F(xiàn)O∩OP＝O．∴OC⊥平面OPF．同理OC⊥平面OPE，∴平面OPE與平面OPF重合，即點P∈平面OEF．而P∈平面ADE，∴P∈平面OEF∩平面ADE＝EF．∵DA⊥平面ABE，∴點P到平面ABE的距離轉(zhuǎn)化為點P到AE的距離．在平面ADE內(nèi)作點A關(guān)于直線EF對稱點A′，作PH⊥AE于H．當A′，P，H三點共線時，d1+d2為最小，如圖所示，則A′H⊥AE．在Rt△AEF中，AA′=2AE×AFEF=85，sin∠A′∴A′H＝A′A?sin∠A′AE=16∴d1+d2的最小值為16532．在四棱錐P﹣ABCD中，E為棱AD的中點，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ADC＝90°，ED＝BC＝2，EB＝3，F(xiàn)為棱PC的中點．（Ⅰ）求證：PA∥平面BEF；（Ⅱ）若二面角F﹣BE﹣C為60°，求直線PB與平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：（Ⅰ）證明：連接AC交BE于點M，連接FM，∵AD∥BC，且BC＝AE，∴AM＝MC，又PF＝FC，∴線段FM是△PAC的中位線，∴FM∥AP，∵FM?面BEF，PA?面BEF，∴PA∥面BEF；（Ⅱ）∵AD∥BC，ED＝BC，∴四邊形BCDE是平行四邊形，又∵∠ADC＝90°，∴四邊形BCDE是矩形，∴AD⊥BE；又PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BE，PE⊥ED；以E為坐標原點，EB，ED，EP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)PE＝m，則E（0，0，0），B（3，0，0），P（0，0，m），C（3，2，0），F(xiàn)（32，1，m∴EB→=（3，0，0），EF→=（設(shè)平面BEF的一個法向量為n→=（x，y，由n→?EB令z＝1，得n→=（0，?取平面ABCD的一個法向量為a→∴cos＜n→，由二面角F﹣BE﹣C為60°，得1m24+1=∵PE⊥平面ABCD，∴∠PBE就是直線PB與平面ABCD所成角，在Rt△PBE中，tan∠PBE=PE∴直線PB與平面ABCD所成角的正切值為2333．如圖所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝2，四邊形EDCF為矩形，CF=3，平面EDCF⊥平面ABCD（Ⅰ）求證：DF∥平面ABE；（Ⅱ）求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值．（Ⅲ）在線段DF上是否存在點P，使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為34？若存在，求出線段BP【解答】解：（Ⅰ）證明：取D為原點，DA所在直線為x軸，DE所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示；則A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，0，3），F(xiàn)（﹣1，2，3），BE→=（﹣1，﹣2，3），設(shè)平面ABE的法向量為n→=（x，y，∴?x?2y+3不妨設(shè)n→=（又DF→=（﹣1，2，∴DF→?n→=?∴DF→⊥n又∵DF?平面ABE，∴DF∥平面ABE；（Ⅱ）∵BE→=（﹣1，﹣2，3），BF→設(shè)平面BEF的法向量為m→=（x，y，∴?x?2y+3則m→=（23，∴|cosθ|＝|m→∴平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值是531（Ⅲ）設(shè)DP→=λDF→=λ（﹣1，2，3）＝（﹣λ，2λ，3∴P（﹣λ，2λ，3λ），BP→=（﹣λ﹣1，2λ﹣2，3又平面ABE的法向量為n→=（∴sinθ＝|cos＜BP→，＝|BP→=|=3化簡得8λ2﹣6λ+1＝0，解得λ=12或λ當λ=12時，BP→=（?3當λ=14時，BP→=（?54，綜上，|BP→34．如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜邊AB＝4．Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角，動點D在斜邊（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；（Ⅱ）求CD與平面AOB所成角的正弦的最大值．【解答】解：（I）證明：由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C的平面角；又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角，∴CO⊥BO，又∵AO∩BO＝O，∴CO⊥平面AOB，又CO?平面COD，∴平面COD⊥平面AOB；（II）由（I）知，CO⊥平面AOB，∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角；在Rt△CDO中，CO＝BO＝ABsinπ6=4∴sin∠CDO=CO當CD最小時，sin∠CDO最大，此時OD⊥AB，垂足為D，由三角形的面積相等，得12CD?AB=12BC解得CD=2∴CD與平面AOB所成角的正弦的最大值為2735．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動點．（1）證明：△PBC是直角三角形；（2）若PA＝AB＝2，且當直線PC與平面ABC所成角正切值為2時，直線AB與平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）證明：∵C在圓O上，∴BC⊥AC，∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，∵PC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形．（2）解：如圖，過A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，∴AH⊥平面PBC，則∠ABH就是要求的角．…（8分）∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是PC與平面ABC所成角，…（9分）∵tan∠PCA=PAAC=2，又PC∴在Rt△PAC中，AH=PA?AC∴在RtABH中，sin∠ABH=2故AC與平面PBC所成角正弦值為3336．如圖，四棱錐A'﹣BCDE是由直角△ABC沿其中位線DE翻折而成，且∠ABC=π2，PC＝2PA'，設(shè)AB＝1，（Ⅰ）若∠A'EB=π3，求二面角A'﹣BD﹣（Ⅱ）若二面角C﹣A'D﹣E的大小為5π6，求三棱錐P﹣A'ED【解答】解：（Ⅰ）因為∠A'EB=π3，則△A'取分別BE，CD的中點O，F(xiàn)，連接OF，以點O為坐標原點，分別以O(shè)B，OF，OA′為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖：則B(14，0，0)，C(14由題意可知，OP→=1所以BD→=(?12，設(shè)平面A′BD的一個法向量為n1所以BD→?n1→=0A′B設(shè)平面PBD的法向量n2所以BD→?n→=0BP→所以cos＜n所以二面角A'﹣BD﹣P的余弦值1935（Ⅱ）過點E作EM⊥A′D于M，再過點M在平面AA′D內(nèi)作A′D的垂線MN交AA′于N，連接NE．∠NME為二面角E﹣A′D﹣A的平面角，∵二面角C﹣A'D﹣E的大小為5π6，∴∠NME=在Rt△ABC中，由AB＝1，AC＝3，所以BC＝22，DE=2，A′E=AE=由折疊知DE⊥AA′E，所以DE⊥EN，由作輔助線過程知A′D⊥面MNE，所以NE⊥A′D，又A′D∩DE＝D，所以EN⊥A′DE，所以EN⊥A′E，由Rt△A′ED，容易求得A′D=32，又12A′D?EM=在Rt△MNE中，又∠NME=π6，所以EN在Rt△A′EN中，由勾股定理得A′N=10518，所以sin∠NA′E=2所以sin∠AEA′=2×2所以A′到面BCDE的距離為6635，PC＝2所以點P到面BCDE的距離為4635，即三棱錐P﹣A'ED的高為又S△AED所以三棱錐P﹣A'ED的體積=137．在①OH∥平面PAB，②平面PAB⊥平面OHC，③OH⊥PC，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題．問題：如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，AC＝16，PA＝PC＝10，O為AC中點，H為△PBC內(nèi)的動點（含邊界）．（1）求點O到平面PBC的距離；（2）若_____，求直線PH與平面ABC所成角的正弦值的取值范圍．【解答】解：（1）在三棱錐P﹣ABC中，連接OB，OP，因為△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，PA＝PC，O為AC中點，所以O(shè)P⊥OC，OB⊥OC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，OP?平面PAC，所以O(shè)P⊥平面ABC，又OB?平面ABC，所以O(shè)P⊥OB，所以O(shè)B，OC，OP兩兩垂直，VO﹣PBC＝VP﹣OBC=13?PO?S△OBC又S△PBC=12?BC?PB2?(所以d=V所以點O到就平面PBC的距離為1234（2）在三棱錐P﹣ABC中，以O(shè)為坐標原點，{OB→，OC→，OP→}為正交基底建立空間直角坐標系O則O（0，0，0），P（0，0，6），A（0，﹣8，0），C（0，8，0），B（8，0，0），設(shè)H（x，y，z），則OH→=（x，y，z），PH→=（x，y，z﹣6），PA→設(shè)平面PAB的法向量為n1→=（x1，y1，則n1→?PA→不妨令y1＝﹣3，則n1同理可求得平面PBC的法向量n2選條件①，因為OH∥平面PAB，PH?PBC，所以O(shè)H→?n即z=3?34xy=4，所以H（x又0≤x≤80≤3?34x≤6，所以0≤x≤4，所以PH→=又OP⊥平面ABC，所以n3→=設(shè)直線PH與平面ABC所成角為θ，則sinθ＝|cos＜n3→，PH令t=x4+1，t∈[1，2]，1t所以sinθ=3t令f（1t）=3225?1所以f（1t）∈[1725，1]．所以1f(1所以sinθ∈[35，3所以直線PH與平面ABC所成角的正弦值的取值范圍為[35，3選條件②，條件③結(jié)果相同．38．中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載：“芻（chú）甍（méng）者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條樓．芻字面意思為茅草屋頂．”現(xiàn)有一個芻如圖所示，四邊形ABCD為正方形，四邊形ABFE，CDEF為兩個全等的等腰梯形，AB＝4，EF∥AB，AB＝2EF，EA＝ED＝FB＝FC=17（1）求二面角A﹣EF﹣C的大小；（2）求三棱錐A﹣BDF的體積；（3）點N在直線AD上，滿足AN＝mAD（0＜m＜1），在直線CF上是否存在點M，使NF∥平面BDM？若存在，求出CMMF【解答】解：（1）過點E分別作EG⊥EF，EH⊥EF，分別交AB，CD于G，H，連接GH，則∠GEH為二面角A﹣EF﹣C的平面角，因為四邊形ABCD為正方形，EF∥AB，所以EG⊥AB，EH⊥CD，由已知得EG＝GH＝EH＝4，所以∠GEH＝60°．（2）過點E作EO⊥GH，垂足為O．因為EF∥AB，EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD．因為AB∥CD，EH⊥CD，所以AB⊥EH．因為EG∩EH＝E，所以AB⊥平面EGH．因為EO?平面EGH，所以AB⊥EO．因為AB∩GH＝G，AB，GH?平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，所以EO為三棱錐F﹣ABD的高，EO=23因為S△ABD＝8，所以VA?BDF（3）方法一：假設(shè)存在點M．①當點N在線段AD上時，連接CN交BD于R，則△DNR∽△BCR，所以CRRN因為FN∥平面BDM，F(xiàn)N?平面CFN，平面CFN∩平面BDM＝MR，所以FN∥MR，所以CMMF②當點N在DA延長線上時，連接CN交BD于S，則△DNS∽△BCS，所以CSSN因為FN∥平面BDM，F(xiàn)N?平面CFN，平面CFN∩平面BDM＝MS，所以FN∥MS，所以CMMF綜上，在直線CF上存在點M，使NF∥平面BDM，CMMF的值為11?m或方法二：當點N在線段AD上時，過點N作NT∥BD交CD于T，連接TF，過點D作TF∥DM交CF于點M，因為TF∩TN＝T，所以平面FTN∥平面BDM．因為NF?平面FTN，所以NF∥平面BDM．因為FN?平面CFN，平面CFN∩平面BDM＝MR，所以FN∥MR．因為NT∥BD，DT∥AB，所以△ABD∽△DTN，所以ADDN所以CDDT所以CMMF當點N在線段DA延長線上時，過點N作NT∥BD交CD于T，連接TF，過點D作TF∥DM交CF于點M．因為TF∩TN＝T，所以平面FTN∥平面BDM．因為NF?平面FTN，所以NF∥平面BDM．因為FN?平面CFN，平面CFN∩平面BDM＝MS，所以FN∥MS．因為NT∥BD，DT∥AB，所以△ABD∽△DTN，所以ADDN所以CDDT所以CMMF綜上，在CF上存在點M使得NF∥平面BDM，此時CMMF=139．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB＝2BC，E是CD的中點．將△ADE沿AE折起到△AD'E的位置．（Ⅰ）若M為棱BD'上動點，問在棱AE上是否存在定點N，使BC⊥MN？若存在，求ANAE（Ⅱ）若平面AD'E⊥平面ABCE，求二面角A﹣BD'﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）當N為AE中點時，BC⊥MN，證明如下：取AE的中點N，連結(jié)D'N，BN，MN，如圖所示，因為AB∥CD，且CD＝2AB＝2BC，所以四邊形ABED和四邊形ABCE均為菱形，因為D'A＝D'E，N為AE的中點，所以D'N⊥AE，因為AB＝EB，N為AE的中點，所以BN⊥AE，又D'N∩BN＝N，所以AE⊥平面D'NB，又因為AE∥BC，所以BC⊥平面D'NB，因為MN?平面D'NB，所以BC⊥MN，此時ANAE故存在定點N，使BC⊥MN，且ANAE（Ⅱ）因為平面AD'E⊥平面ABCE，平面AD'E∩平面ABCE＝AE，D'N⊥AE，所以D'N⊥平面ABCE，以N為坐標原點，NA，NB，ND'分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)AB＝2，則A（1，0，0），B(0，3所以AB→設(shè)平面ABD