高考數(shù)學壓軸難題歸納總結(jié)培優(yōu)專題2.7 欲證不等恒成立結(jié)論再造是利器 (含解析)

高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。專題2.7欲證不等恒成立結(jié)論再造是利器【題型綜述】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的策略：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解決導(dǎo)數(shù)壓軸題，謹記兩點：（Ⅰ）利用常見結(jié)論，如：，SKIPIF1<0，等；（Ⅱ）利用同題上一問結(jié)論或既得結(jié)論．【典例指引】例1．已知，直線與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點的橫坐標為1．（I）求直線的方程及m的值；（II）若，求函數(shù)的最大值．（III）當時，求證：，取最大值，其最大值為2．（III）證明，當時，例2．設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0R，SKIPIF1<0…為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍；（Ⅱ）求證：SKIPIF1<0(參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0)．【思路引導(dǎo)】（1）先構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，再對其求導(dǎo)得到SKIPIF1<0然后分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情形分類討論進行分析求解：（2）借助（1）的結(jié)論，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，再令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0即SKIPIF1<0；又由(Ⅰ)知，當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞減，在SKIPIF1<0遞增，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0．點評：解答本題的第一問時，先構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，再對其求導(dǎo)得到SKIPIF1<0然后分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情形分類討論進行分析求解；證明本題的第二問時，充分借助（1）的結(jié)論及當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0即SKIPIF1<0；進而由(Ⅰ)知，當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞減，在SKIPIF1<0遞增，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0．從而使得問題巧妙獲證．例3．設(shè)．（l）若對一切恒成立，求的最大值；（2）是否存在正整數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）即在時，，從而求的參數(shù)的范圍，，所以函數(shù)，所以．（2）由（1）可知當時，即，取，，得，即．累加可證到．所以．（2）設(shè)，則，令得．在時，遞減；在時，遞增．∴最小值為，故，取，，得，即．累加得．∴．故存在正整數(shù)，使得．當時，取，有，不符合．故．【同步訓(xùn)練】1．已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為自然對數(shù)的底數(shù)，SKIPIF1<0……）．（1）令SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的值；（2）在（1）的條件下，設(shè)SKIPIF1<0為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．【思路引導(dǎo)】（1）由SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，即可得到實數(shù)SKIPIF1<0的值；（2）由（1）知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求和后利用放縮法可得SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0的最小值．所以SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．2．設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0．（1）當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；（2）若SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍；（3）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【思路引導(dǎo)】（1）當SKIPIF1<0時，求出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得增區(qū)間，由SKIPIF1<0可得減區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由SKIPIF1<0，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得SKIPIF1<0，從而確定SKIPIF1<0的范圍；（3）當SKIPIF1<0時，先證明SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則疊加得化簡即可得結(jié)果．（3）令SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則疊加得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．3．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個不同的零點，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；（2）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立的SKIPIF1<0的取值范圍，并證明SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【思路引導(dǎo)】(1)函數(shù)SKIPIF1<0有兩個不同的零點，等價于SKIPIF1<0=SKIPIF1<0在（SKIPIF1<0，+SKIPIF1<0）上有兩實根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象即可得結(jié)果；（2）結(jié)合(1)可得SKIPIF1<0<SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，各式相加，化簡即可得結(jié)果．點評：不等式證明問題是近年高考命題的熱點，命題主要是和導(dǎo)數(shù)、絕對值不等式及柯西不等式相結(jié)合，導(dǎo)數(shù)部分一旦出該類型題往往難度較大，要準確解答首先觀察不等式特點，結(jié)合已解答的問題把要證的不等式變形，并運用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡或者進一步利用導(dǎo)數(shù)證明．4．已知函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0．（1）若曲線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0恰好相切于點SKIPIF1<0，求實數(shù)SKIPIF1<0的值；（2）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；（3）求證：SKIPIF1<0【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得SKIPIF1<0，即得實數(shù)SKIPIF1<0的值；（2）利用分參法將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題SKIPIF1<0（x>1）最大值，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)性：單調(diào)遞減，最后根據(jù)洛必達法則求最大值，即得實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍(3)先根據(jù)和的關(guān)系轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項的關(guān)系：SKIPIF1<0，再利用（2）的結(jié)論SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則代入放縮得證方法二：（先找必要條件）注意到SKIPIF1<0時，恰有SKIPIF1<0令SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立的必要條件為SKIPIF1<0即SKIPIF1<0（3）不妨設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項和，則SKIPIF1<0要證原不等式，只需證SKIPIF1<0而由（2）知：當SKIPIF1<0時恒有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0時取等號取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0成立，從而原不等式獲證．點評：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決．但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法．5．已知函數(shù)，．（Ⅰ）若函數(shù)與的圖像在點處有相同的切線，求的值；（Ⅱ）當時，恒成立，求整數(shù)的最大值；（Ⅲ）證明：．【思路引導(dǎo)】(Ⅰ)求出與，由且解方程組可求的值；（Ⅱ）恒成立等價于恒成立，先證明當時恒成立，再證明時不恒成立，進而可得結(jié)果；（Ⅲ））由，令，即，即，令，各式相加即可得結(jié)果．（Ⅲ）由，令，即，即由此可知，當時，，當時，，當時，，……當時，．綜上：．即．6．已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是自然對數(shù)的底數(shù)），SKIPIF1<0（1）求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程；（2）求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)，證明：對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【思路引導(dǎo)】（1）對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，SKIPIF1<0，代入x=1，可求得SKIPIF1<0，切點坐標SKIPIF1<0再點斜式可求切線方程．(2)定義域SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0又SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，可得單調(diào)區(qū)間．（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等價于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時恒成立，由（2）知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最大值SKIPIF1<0，即證．（Ⅲ）證明：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等價于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時恒成立，由（Ⅱ）知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最大值SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．7．設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）當SKIPIF1<0時，求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程；（2）討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；（3）當SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時證明不等式：SKIPIF1<0【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）代入SKIPIF1<0時，求得SKIPIF1<0，求得切線的斜率，即可求解切線的方程；（Ⅱ）求得SKIPIF1<0的表達式，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0和SKIPIF1<0三種情況分類討論，即可求解函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）先由SKIPIF1<0時，證得SKIPIF1<0，再取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，進而可證明上述不等式．（Ⅲ）證明：當SKIPIF1<0-1時，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒正，所以，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當SKIPIF1<0時，恒有SKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，對任意正整數(shù)SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0點評：本題主要考查了函數(shù)的綜合問題，其中解答中涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解在某點的切線方程的求解、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不等關(guān)系的證明等知識點的綜合考查，試題有一定的難度，屬于中檔試題，其中解得中對導(dǎo)數(shù)的合理分類討論和根據(jù)題設(shè)合理變換和換元是解答的難點．8．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）當SKIPIF1<0時，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）當SKIPIF1<0時，若SKIPIF1<0，證明：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的圖象恒在SKIPIF1<0的圖象上方；（3）證明：SKIPIF1<0．【思路引導(dǎo)】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出SKIPIF1<0恒成立，由此能證明SKIPIF1<0的圖象恒在SKIPIF1<0圖象的上方；（3）由SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，從而證明結(jié)論成立即可．（3）由（2）知，即，令，則，即，點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，由SKIPIF1<0，得函數(shù)單調(diào)遞增，SKIPIF1<0得函數(shù)單調(diào)遞減；考查將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段．通過分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即可，利用導(dǎo)數(shù)知識結(jié)合單調(diào)性求出SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即得解，此題最大的難點在于構(gòu)造法證明不等式．9．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上遞增，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；（2）求證：SKIPIF1<0．【思路引導(dǎo)】SKIPIF1<0對函數(shù)求導(dǎo)，可知其導(dǎo)數(shù)在SKIPIF1<0大于SKIPIF1<0，利用分離變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)求恒成立問題，可得SKIPIF1<0的取值范圍；SKIPIF1<0利用SKIPIF1<0中結(jié)論可得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，利用累加和裂項可證不等式．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，．．．．，，，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得證．10．已知函數(shù)SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)．(1)若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)當SKIPIF1<0時，求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值和最小值；(3)當SKIPIF1<0時，求證：對于任意大于1的正整數(shù)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．【思路引導(dǎo)】（1）先求出函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0，由題意可知：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，解出SKIPIF1<0的取值范圍即可；（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，比較端點的函數(shù)值，即可求得結(jié)論；（3）利用（2）的結(jié)論，只要令SKIPIF1<0，利用放縮法證明即可．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一的極小值點，也是最小值點，SKIPIF1<0又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有的最大值是SKIPIF1<0綜上所述，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有的最大值是SKIPIF1<0，最小值是011．已知函數(shù)SKIPIF1<0(Ⅰ)若SKIPIF1<0有唯一解，求實數(shù)SKIPIF1<0的值；（Ⅱ）證明：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（附：SKIPIF1<0）【思路引導(dǎo)】(Ⅰ）使SKIPIF1<0有唯一解,只需滿足SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0的解唯一，求導(dǎo)研究函數(shù)，注意分類討論利用極值求函數(shù)最大值；（Ⅱ）只需證即證SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，利用單調(diào)性，極值求其最小值，證明其大于零即可．②當SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0有唯一的一個最大值為SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，故SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，故令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0有唯一的一個最大值為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，符合題意；綜上，可得SKIPIF1<0（Ⅱ）要證當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0即證當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,即證SKIPIF1<0由（Ⅰ）得，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0,故只需證SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時成立；令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，即SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，即SKIPIF1<0單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0,由零點存在定理，可知SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故當SKIPIF1<0時，所以SKIPIF1<0,原不等式成立．點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強，難度大，屬于難題．處理導(dǎo)數(shù)大題時，注意分層得分的原則，力爭第一二問答對，第三問爭取能寫點，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時，比較容易入手，求導(dǎo)后注意分類討論，對于恒成立問題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對于含有不等式的函數(shù)問題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會．12．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（Ⅰ）若函數(shù)SKIPIF1<0有極值，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；（Ⅱ）當SKIPIF1<0有兩個極值點（記為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0）時，求證：SKIPIF1<0．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由已知得x>0，且有SKIPIF1<0，，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當函數(shù)f（x）存在極值時，實數(shù)a的取值范圍是a>4．

（Ⅱ）x1，x2是x2+（2-a）x+1=0的兩個解，從而x1x2=1，欲證原不等式成立，只需證明f（x）-lnx≥f（x）-x+1成立，即證lnx-x+1≤0成立，由此利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證．（Ⅱ）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0