2022-2023學年湖南省婁底市外國語學院高三數學文模擬試題含解析

2022-2023學年湖南省婁底市外國語學院高三數學文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設，，，則的大小關系是（）A. B. C. D.參考答案：C【分析】先確定，然后將利用對數的運算，求得，從而得到的大小關系.【詳解】由于，所以為三個數中最大的.由于，而，故.綜上所述，故選C.【點睛】本小題主要考查指數式和對數式比較大小.解決的方法是區(qū)間分段法，如本題中的“和”作為分段的分段點.在題目給定的三個數中，有一個是大于的，有一個是介于和之間的，還有一個是小于的，由此判斷出三個數的大小關系.在比較過程中，還用到了對數和指數函數的性質.2.已知函數f（x）=acosx+xsinx，x∈．當1＜a＜2時，則函數f（x）極值點個數是(

)A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C考點：利用導數研究函數的極值；函數零點的判定定理．專題：計算題；數形結合法；導數的概念及應用．分析：先判定該函數為偶函數，再通過運算得出x=0為函數的一個極值點，最后再判斷函數在（0，）有一個極值點．解答：解：∵f（﹣x）=acos（﹣x）+（﹣x）sin（﹣x）=acosx+xsinx=f（x），∴f（x）為偶函數，又∵f'（x）=（1﹣a）sinx+xcosx，且f'（0）=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①所以，x=0為函數的一個極值點，而f''（x）=（2﹣a）cosx﹣xsinx，a∈（2，3），則f''（0）=2﹣a＞0，故函數f'（x）在x=0附近是單調遞增的，且f'（）=1﹣a＜0，結合①，根據函數零點的判定定理，必存在m∈（0，）使得f'（m）=0成立，顯然，此時x=m就是函數f（x）的一個極值點，再根據f（x）為偶函數，所以f（x）在（﹣，0）也必有一個極值點，綜合以上分析得，f（x）在共有三個極值，故選C．點評：本題主要考查了函數的極值，以及運用導數研究函數的單調性和函數零點的判定，屬于中檔題3.（5分）數列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），則a6=（）A．3×44B．3×44+1C．44D．44+1參考答案：A【考點】：等比數列的通項公式；等比數列的前n項和．【專題】：計算題．【分析】：根據已知的an+1=3Sn，當n大于等于2時得到an=3Sn﹣1，兩者相減，根據Sn﹣Sn﹣1=an，得到數列的第n+1項等于第n項的4倍（n大于等于2），所以得到此數列除去第1項，從第2項開始，為首項是第2項，公比為4的等比數列，由a1=1，an+1=3Sn，令n=1，即可求出第2項的值，寫出2項以后各項的通項公式，把n=6代入通項公式即可求出第6項的值．解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn﹣1（n≥2），兩式相減得：an+1﹣an=3（Sn﹣Sn﹣1）=3an，則an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此數列除去第一項后，為首項是3，公比為4的等比數列，所以an=a2qn﹣2=3×4n﹣2（n≥2）則a6=3×44．故選A【點評】：此題考查學生掌握等比數列的確定方法，會根據首項和公比寫出等比數列的通項公式，是一道基礎題．4.把函數的圖象上所有點先按向量平移，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數是（

）A.，

B.，C.，

D.，參考答案：C5.如圖，在一個上底無蓋的圓臺形容器上放置一個球體，已知圓臺上、下底面半徑分別為，，母線長，球的最低點距圓臺下底面，則球的表面積為(

)A. B. C. D.參考答案：B易求上底面圓心至球最低點距離為，則，得，，故選B．6.曲線在點（0,2）處的切線與直線和圍成的三角形的面積為（）(A)

(B)

(C)

(D)1參考答案：A7.設不等式組表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D題目中表示的區(qū)域表示正方形區(qū)域，而動點可以存在的位置為正方形面積減去四分之一的圓的面積部分，因此，故選D8.已知拋物線與雙曲線有相同的焦點F，點A是兩曲線的一個交點，且軸，則雙曲線的離心率為A．

B．

C．

D．參考答案： A9.已知定義在上的函數，滿足，若函數的圖象關于直線對稱，且，則（

）A.2

B.3

C.4

D.6參考答案：A10.已知正三棱錐A-BCD的所有頂點都在球O的球面上，其底面邊長為3，E，F，G分別為側棱AB，AC，AD的中點.若O在三棱錐A-BCD內，且三棱錐A-BCD的體積是三棱錐O-BCD體積的3倍，則平面EFG截球O所得截面的面積為（

）A. B. C. D.4π參考答案：A【分析】是底面的中心，則在上，而由得，與平面交于點，是過平面的截面圓圓心，在中由勾股定理求得，再由截面圓性質可求得截面圓半徑．【詳解】如圖，是底面的中心，則在上，而由得，設，則，又，是中心，則，∴由得，解得，設與平面交于點，∵分別是的中點，則是的中點，∴，，設平面截球所得截面圓半徑為，則，∴此圓面積為．故選A．

【點睛】本題考查棱錐與其外接球，解題關鍵首先是確定球的半徑，然后根據截面圓性質求得截面圓半徑從而得出其面積．記住結論：正棱錐的外接球球心一定在其高上．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設x，y滿足約束條件，則的最小值是______.參考答案：-3【分析】設，根據約束條件畫出可行域，可知取最小值時，在軸截距最大；由圖象可知當過時截距最大，求出點坐標，代入可得結果.【詳解】設，由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：則取最小值時，在軸截距最大由圖象可知，當過時，截距最大由得：，即本題正確結果：【點睛】本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解，關鍵是能夠將問題轉化為在軸截距的最值求解問題，根據圖象平移求得結果.12.如果把地球看成一個球體，則地球上的北緯緯線長和赤道長的比值為

；參考答案：13.若,,則的取值范圍是_________________.參考答案：

(或等14.設二次函數（為常數）的導函數為，對任意，不等式恒成立，則的最大值為__________________.參考答案：【知識點】二次函數的性質．B5

解析：由題意得，由得：在R上恒成立，等價于＞0且，可解得，則：，令，（＞0）,故最大值為.【思路點撥】由已知可得在R上恒成立，等價于＞0且，，進而利用基本不等式可得的最大值．15.已知，則=

。參考答案：516.已知函數，若實數滿足，，則的最小值為_____．參考答案：【分析】利用得到后可得的最小值.【詳解】因為，故，化簡得到，所以或，整理得到或（舍），的最小值為.填.【點睛】一般地，若，則或，；若，則或，.17.已知實數滿足，則的最大值是________.參考答案：試題分析：如圖作出所給約束條件對應的可行域，根據圖象易知當目標函數經過A點時，取得最大值-1.考點：簡單的線性規(guī)劃三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數的最小正周期和單調遞增區(qū)間.參考答案：【考點】三角函數的求值，圖象及其性質。解析： ＝119.（15分）（2015?浙江模擬）等腰梯形ABCD，AB∥CD，DE⊥AB，CF⊥AB，AE=2，沿DE，CF將梯形折疊使A，B重合于A點（如圖），G為AC上一點，FG⊥平面ACE．（Ⅰ）求證：AE⊥AF；（Ⅱ）求DG與平面ACE所成角的正弦值．參考答案：【考點】：直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關系．【專題】：空間位置關系與距離．【分析】：（I）由FG⊥平面ACE，可得FG⊥AE，由CF⊥AF，CF⊥EF，可得CF⊥平面AEF，可得CF⊥AE，AE⊥平面ACF，即可證明；（II）如圖所示，建立空間直角坐標系．則E（0，0，0），A，，D（0，0，2），G．設平面EAC的法向量為=（x，y，z），則，設DG與平面ACE所成角為θ，利用sinθ==即可得出．（I）證明：∵FG⊥平面ACE，∴FG⊥AE，∵CF⊥AF，CF⊥EF，AF∩EF=F，∴CF⊥平面AEF，∴CF⊥AE，又FG∩CF=F，∴AE⊥平面ACF，∴AE⊥AF；（II）解：如圖所示，建立空間直角坐標系．則E（0，0，0），A，，D（0，0，2），利用三角形中位線定理與等腰直角三角形的性質可得：G．∴=，=，=．設平面EAC的法向量為=（x，y，z），則，令y=﹣1，解得x=1，z=．∴=．設DG與平面ACE所成角為θ．則sinθ====．【點評】：本題考查了空間線面面面位置關系的判定及其性質、空間角的求法、等腰直角三角形的性質、三角形的中位線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20.（本小題滿分12分）已知向量，，函數．⑴求函數在區(qū)間上的最大值；⑵若的角、所對的邊分別為、，，，，求的值．ks5u參考答案：解：⑴依題意，……2分，……3分，，則，……4分，所以，函數在區(qū)間上的最大值為……5分⑵由得……6分，由得……7分，從而……8分，因為，所以……9分，由正弦定理得……11分，所以，……12分．略21.數列中，前項和滿足：.（Ⅰ）求；（Ⅱ）令,數列{}的前項和為.求證:,.參考答案：(1)當時,.

所以（）

又，

綜上,數列的