1.1變化率與導(dǎo)數(shù)

1.1.1變化率問(wèn)題問(wèn)題1氣球膨脹率

我們都吹過(guò)氣球回憶一下吹氣球的過(guò)程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?氣球的體積V與半徑r之間的函數(shù)關(guān)系是將半徑r表示為體積V的函數(shù)當(dāng)V從0增加到1時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為當(dāng)V從1增加到2時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為顯然0.62>0.16

隨著氣球體積逐漸變大,它的平均膨脹率逐漸變小。思考?當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?問(wèn)題2高臺(tái)跳水

在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

hto請(qǐng)計(jì)算htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10

計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度,并思考下面的問(wèn)題:探究:(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎?(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎?在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,平均速度不能準(zhǔn)確反映他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài).平均變化率定義:設(shè)Δx=x2-x1,Δf=f(x2)-f(x1)上述問(wèn)題中的變化率可用式子表示稱(chēng)為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率思考?觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直線AB的斜率1、已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1+Δx,-2+Δy),則Δy/Δx=()A、3B、3Δx-(Δx)2C、3-(Δx)2D、3-ΔxD2、求y=x2在x=x0附近的平均速度.

2x0+Δx練習(xí)4.物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng),求在4s附近的平均變化率.A1.1.2導(dǎo)數(shù)瞬時(shí)速度高臺(tái)跳水高臺(tái)跳水ΔtΔt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-13.0099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001-13.100049

一般地，函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是我們你它為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作或

導(dǎo)數(shù)的概念由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的步驟:（1）求函數(shù)的增量:；（2）求平均變化率:；．（3）取極限，得導(dǎo)數(shù):例1:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),求下列各極限值:練習(xí)1:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),求下列各極限值:練習(xí)2:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo),試用a、f(a)和例2:高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，秒時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度是（單位：），求運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度，并解釋此時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);在呢?

同理，

運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度為，上升下落這說(shuō)明運(yùn)動(dòng)員在附近，正以大約的速率。例3、將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果第時(shí)，原油的溫度（單位：℃）為計(jì)算第2h和第6h，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義.例3.在自行車(chē)比賽中，運(yùn)動(dòng)員的位移s與比賽時(shí)間t存在的函數(shù)關(guān)系

s=10t+5t2，求（1）t=20，

t=0.1時(shí)的

s與

s/

t；（2）求t=20的速度.

作直線運(yùn)動(dòng)的物體，位移s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系

s=3t-t2，

(1).求物體的初速度；

(2).求物體在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度；

(3).求t=0到t=2時(shí)的平均速度.練習(xí)3.若f,

(x

0)=-2，則

=

.14.若f,

(x

0)=，則=

.-f,

(a)2.設(shè)函數(shù)f(x)在x=x0可導(dǎo)，則等于

.A練習(xí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義一般地，已知函數(shù)y=f(x)的圖象是如圖所示的曲線C，P(xo,yo），Q(xo＋Δx,yo＋Δx)是曲線上的兩點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無(wú)限接近于點(diǎn)P，即Δx0時(shí)，如果割線PQ無(wú)限趨近于一個(gè)極限位置PT，那么直線PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線.此時(shí)，割線PQ的斜率無(wú)限趨近于切線PT的斜率k，也就是說(shuō)，當(dāng)Δx0時(shí)，割線PQ的斜率的極限為k.切線導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)f1(x)的幾何意義,是曲線y=f(x)在(x0,f(x0)))點(diǎn)處的斜率,即:例題3、判斷曲線y=2x2在點(diǎn)P(1,2)處是否有切線，如果有，求出切線的方程.1、設(shè)函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量由xo改變到xo+Δx時(shí)，函數(shù)的改變量Δy=()

A、f(xo+Δx)B、f(xo)-f(Δx)C、f(x