數(shù)學(xué)人教八年級(jí)上冊(cè)（2013年新編）13-3-3 等邊三角形的性質(zhì)與判定（教學(xué)設(shè)計(jì)）

13.3.3等邊三角形的性質(zhì)與判定教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)：1.知道等邊三角形的定義，等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系.2.掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定方法.3.熟練地運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定方法解決問(wèn)題.二、教學(xué)重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：探索等邊三角形的性質(zhì)與判定.難點(diǎn)：等邊三角形性質(zhì)和判定的應(yīng)用.三、教學(xué)過(guò)程：復(fù)習(xí)回顧情景引入小明想制作一個(gè)三角形的相框，他有四根木條長(zhǎng)度分別為10cm，10cm，10cm，6cm，你能幫他設(shè)計(jì)出幾種形狀的三角形？知識(shí)精講等邊三角形在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底邊與腰相等，這時(shí)，三角形三邊相等.我們把三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形(正三角形).思考：把等腰三角形的性質(zhì)用于等邊三角形，能得到什么結(jié)論？一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角滿(mǎn)足什么條件才是等邊三角形？性質(zhì)探索1.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等嗎？為什么？

已知：如圖，AB=AC=BC.

∵AB=AC∴∠B=∠C同理∠A=∠C∴∠A=∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.2.等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？若是，它有幾條對(duì)稱(chēng)軸？等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有三條對(duì)稱(chēng)軸.3.等邊三角形每邊上的中線(xiàn)，高和所對(duì)角的平分線(xiàn)都三線(xiàn)合一嗎？為什么？等邊三角形的三條高線(xiàn)，三條中線(xiàn)，三條角平分線(xiàn)，分別互相重合.歸納1.等邊三角形的三邊相等.2.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并每一個(gè)角都等于60°.3.等邊三角形的三條高線(xiàn)，三條中線(xiàn)，三條角平分線(xiàn)，分別互相重合.4.等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有三條對(duì)稱(chēng)軸.判定探索1.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形嗎？為什么？

已知：如圖，∠A=∠B=∠C.∵∠A=∠B∴AC=BC同理AB=AC∴AB=AC=BC即△ABC是等邊三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.2.有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？假若AB=AC，則∠B=∠C

當(dāng)頂角∠A=60°時(shí)，

∠B=∠C=(180°-60°)÷2=60°

∴∠A=∠B=∠C=60°

∴△ABC是等邊三角形.

當(dāng)?shù)捉恰螧=60°時(shí)，∠C=60°，∠A=180°-∠B-∠C=60°

∴∠A=∠B=∠C=60°

∴△ABC是等邊三角形.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.歸納1.三邊相等的三角形是等邊三角形.2.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.3.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.典例解析例1.如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形

∴∠A=∠B=∠C

∵DE∥BC

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C

∴∠A=∠ADE=∠AED

∴△ADE是等邊三角形想一想，本題還有其它證法嗎？證明：∵△ABC是等邊三角形

∴∠A=∠B=∠C=60°

∵DE∥BC

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C

∴∠ADE=∠AED

∴AD=AE，且∠A=60°

∴△ADE是等邊三角形例2.如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，D是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.【點(diǎn)睛】等邊三角形是特殊的三角形，它的三個(gè)內(nèi)角都是60°，這個(gè)性質(zhì)常應(yīng)用在求三角形角度的問(wèn)題上，一般需結(jié)合“等邊對(duì)等角”、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì).【針對(duì)練習(xí)】如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長(zhǎng)BC到E，使得CE=CD．求證：BD=DE．證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是角平分線(xiàn)，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角對(duì)等邊）．例3.△ABC為正三角形，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是CA邊上任意一點(diǎn)，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點(diǎn)，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC為正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ【點(diǎn)睛】此題屬于等邊三角形與全等三角形的綜合運(yùn)用，一般是利用等邊三角形的性質(zhì)判定三角形全等，而后利用全等及等邊三角形的性質(zhì)，求角度或證明邊相等.例4.等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問(wèn)△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結(jié)論．解：△APQ為等邊三角形．證明如下：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°∴△APQ是等邊三角形．【點(diǎn)睛】判定一個(gè)三角形是等邊三角形有以下方法：一是證明三角形三條邊相等；二是證明三角形三個(gè)內(nèi)角相等；三是先證明三角形是等腰三角形，再證明有一個(gè)內(nèi)角等于60°.【針對(duì)練習(xí)】如圖，等邊△ABC中，D、E、F分別是各邊上的一點(diǎn)，且AD=BE=CF．求證：△DEF是等邊三角形．證明：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等邊三角形．例5.圖①、圖②中，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，△ACM與△CBN都是等邊三角形．(1)如圖①，線(xiàn)段AN與線(xiàn)段BM是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖②，AN與MC交于點(diǎn)E，BM與CN交于點(diǎn)F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.(2)△CEF是等邊三角形．證明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等邊三角形．課堂小結(jié)1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒(méi)解決的問(wèn)題嗎？【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生概括的能力。使知識(shí)形成體系，并滲透數(shù)學(xué)思想方法。達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在AC邊上，∠DBC=35°，則∠ADB的度數(shù)為()A.25°B.60°C.85°D.95°2.如圖，△ABC為等邊三角形，AD⊥BC，AE=AD則∠ADE的度數(shù)為()A.30°B.60°C.45D.75°3.下列推理中，錯(cuò)誤的是()A.因?yàn)椤螦=∠B=∠C，所以△ABC是等邊三角形B.因?yàn)锳B=AC且∠B=∠C，所以△ABC是等邊三角形C.因?yàn)椤螦=60°，∠B=60°，所以△ABC是等邊三角形D.因?yàn)锳B=AC，∠B=60°，所以△ABC是等邊三角形4.已知AD是等邊△ABC的高，且BD=1cm,那么BC的長(zhǎng)是_____cm.5.若等邊△ABC的兩條角平分線(xiàn)BD與CE交于點(diǎn)O，則∠BOC的度數(shù)為_(kāi)____.6.如圖，△ABC是周長(zhǎng)為6的等邊三角形,BD為中線(xiàn)，且BD=a,E為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，CE=CD，則△BDE的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.7.如圖，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，把△BDE沿直線(xiàn)DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，DB′，EB′分別交AC于點(diǎn)F，G，若∠ADF=80°，則∠EGC的度數(shù)為_(kāi)_____.8.如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，且點(diǎn)E在BC上.求證:AE=CD.9.如圖，△ABC是等邊三角形，∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，OM∥AB，ON∥AC.求證:BM=MN=CN.【參考答案】DDB2120°2a+380°8.證明:△ABC和△BDE都是等邊三角形.∴AB=BC，BE=BD∠ABC=∠EBD=60°在△ABE與△CBD中,∴△ABE≌△CBD(SAS)∴AE=CD9.證明:∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC=60°又∵OB平分∠ABC∴∠1=∠2=30°又∵OM//AB∴∠1=∠3∴∠2=∠3=30°∴BM=OM,∠OMN=60°同理CN=ON,∠ONM=60°∴∠OMN=∠ONM=∠MON=60°∴O