線性相關(guān)與回歸

線性相關(guān)與回歸第1頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸2在前面的章節(jié)中，我們討論了單個(gè)連續(xù)性變量的部分統(tǒng)計(jì)分析方法，主要是統(tǒng)計(jì)描述與同一變量的不同處理組間的比較。但在大量的醫(yī)學(xué)研究中，還需要對(duì)兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系進(jìn)行量化的研究，一是確定兩個(gè)變量間是否有聯(lián)系及聯(lián)系程度如何，二是定量地確定它們之間的互依關(guān)系。第2頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸3醫(yī)學(xué)上，許多現(xiàn)象之間都相互聯(lián)系，例如：某年齡兒童的身高與體重的關(guān)系、凝血時(shí)間與凝血酶濃度的關(guān)系、尿鉛排出量與血鉛含量的關(guān)系、血壓與年齡、體溫與脈搏、療效與藥物劑量、血藥濃度與時(shí)間、產(chǎn)前檢查與嬰兒體重、乙肝病毒與乙肝等。在這些有關(guān)系的現(xiàn)象中，它們之間聯(lián)系的程度和性質(zhì)也各不相同。這里，體溫和脈搏的關(guān)系就比產(chǎn)前檢查與嬰兒體重之間的關(guān)系密切得多，而體重和身高的關(guān)系則介與二者之間。另外，可以說(shuō)乙肝病毒感染是前因，得了乙肝是后果，乙肝病毒和乙肝之間是因果關(guān)系；但是，有的現(xiàn)象之間因果不清，只是伴隨關(guān)系，例如丈夫的身高和妻子的身高之間，就不能說(shuō)有因果關(guān)系。相關(guān)與回歸就是用于研究和解釋兩個(gè)變量之間相互關(guān)系的。

第3頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸4變量間關(guān)系問(wèn)題：兩個(gè)關(guān)系：(1)數(shù)量依存關(guān)系：應(yīng)變量(dependentvariable)Y隨自變量(independentvariable)X變化而變化?！貧w分析(2)相關(guān)關(guān)系或互依關(guān)系：應(yīng)變量Y與自變量X間的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱及方向

——

相關(guān)分析第4頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸5

第一節(jié)

直線相關(guān)第二節(jié)直線回歸第三節(jié)線性相關(guān)與回歸的區(qū)別與聯(lián)系第四節(jié)Spearman等級(jí)相關(guān)

第5頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸6直線相關(guān)LinearCorrelation第6頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸7適用資料類型和散點(diǎn)圖適用于雙變量正態(tài)分布的資料為了確定相關(guān)變量之間的關(guān)系，首先應(yīng)該收集一些數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)應(yīng)該是成對(duì)的。例如，每人的身高和體重。然后在直角坐標(biāo)系上描述這些點(diǎn)，這一組點(diǎn)集稱為散點(diǎn)圖。第7頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸8為了研究父親與成年兒子身高之間的關(guān)系，卡爾.皮爾遜測(cè)量了1078對(duì)父子的身高。把1078對(duì)數(shù)字表示在坐標(biāo)上，如圖。用水平軸X上的數(shù)代表父親身高，垂直軸Y上的數(shù)代表兒子的身高，1078個(gè)點(diǎn)所形成的圖形是一個(gè)散點(diǎn)圖。它的形狀象一塊橄欖狀的云，中間的點(diǎn)密集，邊沿的點(diǎn)稀少，其主要部分是一個(gè)橢圓。

第8頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸9圖12-3

相關(guān)系數(shù)示意圖

散點(diǎn)呈橢圓形分布，X、Y同時(shí)增減---正相關(guān)（positivecorrelation)；

X、Y此增彼減---負(fù)相關(guān)(negativecorrelation)。

散點(diǎn)在一條直線上，

X、Y變化趨勢(shì)相同----完全正相關(guān);反向變化----完全負(fù)相關(guān)。第9頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸10圖12-3

相關(guān)系數(shù)示意圖

X、Y變化互不影響----零相關(guān)(zerocorrelation)第10頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸11一、

相關(guān)系數(shù)概念

相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient)，又稱積差相關(guān)系數(shù)（coefficientofproduct–momentcorrelation），或Pearson相關(guān)系數(shù)（軟件中常用此名稱）

說(shuō)明相關(guān)的密切程度和方向的指標(biāo)。

r

——樣本相關(guān)系數(shù)第11頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸12r無(wú)單位，-1≤

r≤1。r值為正——正相關(guān)，為負(fù)——負(fù)相關(guān)；（與回歸系數(shù)b的符號(hào)相同）|r|=1---完全相關(guān)，|r|=0---零相關(guān)。二、相關(guān)系數(shù)的意義第12頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸13例10.1從男青年總體中隨機(jī)抽取11名男青年的身高和前臂長(zhǎng)，身高和前臂長(zhǎng)均以cm為單位，測(cè)量結(jié)果如表10-1所示，試計(jì)算身高與前臂長(zhǎng)之間的相關(guān)系數(shù)？是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？第13頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸14

表10-111例男青年身高與前臂長(zhǎng)的測(cè)量結(jié)果

編號(hào)身高（cm）前臂長(zhǎng)（cm）11704721734231604441554151734761885071784781834691804610165431116644第14頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸15

第15頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸16∑X=1891∑Y=500∑X2=89599∑Y2=22810∑XY=86185N=11第16頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸17計(jì)算結(jié)果從計(jì)算結(jié)果可以知道，11例男青年身高與前臂長(zhǎng)之間呈正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)是0.8012。第17頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸18問(wèn)題：我們能否得出結(jié)論說(shuō)明男青年身高與前臂長(zhǎng)之間呈正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)是0.8012。

為什么？第18頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸19相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

上例中的相關(guān)系數(shù)r等于0.8012，說(shuō)明了11例樣本中身高與前臂長(zhǎng)之間之間存在正相關(guān)關(guān)系。但是，這31例只是總體中的一個(gè)樣本，由此得到的相關(guān)系數(shù)會(huì)存在抽樣誤差。因?yàn)?，總體相關(guān)系數(shù)（）為零時(shí)，由于抽樣誤差，從總體抽出的11例，其r可能不等于零。所以，要判斷該樣本的r是否有意義，需與總體相關(guān)系數(shù)=0進(jìn)行比較，看兩者的差別有無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。這就要對(duì)r進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，判斷r不等于零是由于抽樣誤差所致，還是兩個(gè)變量之間確實(shí)存在相關(guān)關(guān)系。

第19頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸20對(duì)相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)，常用t檢驗(yàn)，選用統(tǒng)計(jì)量t的計(jì)算公式如下：

=n-2

第20頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸21H0：

=0

H1：

≠0=0.05r=0.8012,n=11,代入公式t==n-2=11-2=9

t=4.017查t值表，t0.05(9)=2.262

上述計(jì)算t=4.017>2.262，由t所推斷的P值小于0.05，按=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1,認(rèn)為男青年身高與前臂長(zhǎng)之間有正相關(guān)關(guān)系。

第21頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸22

也可以選擇直接查表法

H0：

=0

H1：

≠0=0.05r=0.8012,n=11，=n-2=11-2=9

直接查附表11，r0.05(9)=0.602

，因?yàn)?.8012>0.602，所以P值小于0.05，按=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1,認(rèn)為男青年身高與前臂長(zhǎng)之間有正相關(guān)關(guān)系。第22頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸23直線相關(guān)的應(yīng)用

前面我們已經(jīng)講過(guò)，相關(guān)是研究?jī)蓚€(gè)變量間的相互關(guān)系，而且這種相互關(guān)系是用相關(guān)系數(shù)反應(yīng)的。在確實(shí)存在相關(guān)關(guān)系的前提下，如果r的絕對(duì)值越大，說(shuō)明兩個(gè)變量之間的關(guān)聯(lián)程度越強(qiáng)，那么，已知一個(gè)變量對(duì)預(yù)測(cè)另一個(gè)變量越有幫助；如果r絕對(duì)值越小，則說(shuō)明兩個(gè)變量之間的關(guān)系越弱，一個(gè)變量的信息對(duì)猜測(cè)另一個(gè)變量的值無(wú)多大幫助。第23頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸24直線相關(guān)的應(yīng)用一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)樣本量較大（n>100），并對(duì)r進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義時(shí)，r的絕對(duì)值大于0.7，則表示兩個(gè)變量高度相關(guān)；r的絕對(duì)值大于0.4，小于等于0.7時(shí)，則表示兩個(gè)變量之間中度相關(guān)；r的絕對(duì)值大于0.2，小于等于0.4時(shí)，則兩個(gè)變量低度相關(guān)。

第24頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸25

前面我們討論了男青年身高與前臂長(zhǎng)之間的關(guān)系，知道了二者之間呈正相關(guān)。那么，如果我們知道了一位男青年的身高，能推斷出他的前臂長(zhǎng)？或他的前臂長(zhǎng)可能在什么范圍內(nèi)呢？還有，隨著身高的增加，體重也在增大，它們之間也成正相關(guān)關(guān)系。那么，身高每增加1厘米，體重增加多少克呢？上面的相關(guān)關(guān)系分析不能提供給我們需要的答案。這些要用直線回歸的方法來(lái)解決。第25頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸26直線回歸SimpleRegression第26頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸27當(dāng)我們知道了兩個(gè)變量之間有直線相關(guān)關(guān)系，并且一個(gè)變量的變化會(huì)引起另一個(gè)變量的變化，這時(shí)，如果它們之間存在準(zhǔn)確、嚴(yán)格的關(guān)系，它們的變化可用函數(shù)方程來(lái)表示，叫它們是函數(shù)關(guān)系，它們之間的關(guān)系式叫函數(shù)方程。第27頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸28但在實(shí)際生活當(dāng)中，由于其它因素的干擾，許多雙變量之間的關(guān)系并不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，不能用函數(shù)方程反映，為了區(qū)別于兩變量間的函數(shù)方程，我們稱這種關(guān)系式為直線回歸方程，這種關(guān)系為直線回歸.第28頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸29直線回歸就是用來(lái)研究?jī)蓚€(gè)連續(xù)性變量x和y之間的數(shù)量依存關(guān)系。其中x為自變量，y為因變量，它依賴于x。直線回歸適用于單變量正態(tài)分布資料，即y為隨機(jī)正態(tài)變量，x為可以精確測(cè)量的值。第29頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸30一、

直線回歸方程

一般表達(dá)式：a：截距(intercept)，直線與Y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。b：斜率(slope)，回歸系數(shù)(regressioncoefficient)。意義：X每改變一個(gè)單位，Y平均改變b個(gè)單位。

b>0，Y隨X的增大而增大（減少而減少）——斜上；

b<0，Y隨X的增大而減?。p少而增加）——斜下；

b=0，Y與X無(wú)直線關(guān)系——

水平。

｜b｜越大，表示Y隨X變化越快，直線越陡峭。第30頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸31二、回歸方程參數(shù)的計(jì)算

最小二乘法原則(leastsquaremethod)：使各散點(diǎn)到直線的縱向距離的平方和最小，即使最小。因?yàn)橹本€一定經(jīng)過(guò)“均數(shù)”點(diǎn)第31頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸32根據(jù)上例的數(shù)據(jù)，求男青年身高與前臂長(zhǎng)之間的回歸方程。從相關(guān)系數(shù)的計(jì)算中，已經(jīng)求得：∑X=1891∑Y=500∑X2=89599∑Y2=22810∑XY=86185N=11第32頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸33這就是我們求得的二者關(guān)系的回歸方程第33頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸34回歸直線的描繪

根據(jù)求得的回歸方程，可以在自變量X的實(shí)測(cè)范圍內(nèi)取一個(gè)x1(較小值)和x2（較大值）兩值，代入回歸方程中，求得相應(yīng)的兩個(gè)Y值，以這兩對(duì)數(shù)據(jù)找出對(duì)應(yīng)的兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，將兩點(diǎn)連接為一條直線，就是該方程的回歸直線?；貧w直線一定經(jīng)過(guò)（）。可以用來(lái)核對(duì)圖線繪制是否正確。第34頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸35

第35頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸36與直線相關(guān)一樣，直線回歸方程也是從樣本資料計(jì)算而得的，同樣也存在著抽樣誤差問(wèn)題。所以，需要對(duì)樣本的回歸系數(shù)b進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，以判斷b是否從回歸系數(shù)為零的總體中抽得。為了判斷抽樣誤差的影響，需對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)?？傮w的回歸系數(shù)一般用β表示。

第36頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸371.方差分析

F=MS回歸/MS誤差2.t檢驗(yàn)

回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)H0：β=0H1：β≠0α=0.05選擇合適的假設(shè)檢驗(yàn)方法，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量計(jì)算概率值P做出推論：統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論和專業(yè)結(jié)論第37頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸38三、回歸參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)b≠0原因：①由于抽樣誤差引起，總體回歸系數(shù)β=0②存在回歸關(guān)系，總體回歸系數(shù)β≠0公式

，υ＝n－2Sb為回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤

SY|X為Y的剩余標(biāo)準(zhǔn)差——扣除X的影響后Y的變異程度。

（一）t檢驗(yàn)；（二）方差分析第38頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸39剩余（殘差）標(biāo)準(zhǔn)差SY|X

度量了實(shí)際散點(diǎn)遠(yuǎn)離回歸直線的離散程度，反映了模型的可靠性。越小模型越好。

tb檢驗(yàn)，區(qū)間的計(jì)算均需要使用這一值。第39頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸40斜率b的假設(shè)檢驗(yàn)H0:=0H1:

0

0.05自由度

11-2=9

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:按=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)，P<0.05,拒絕H0，認(rèn)為男青年身高與前臂長(zhǎng)之間存在線性回歸關(guān)系。注意：對(duì)于同一資料，tb＝tr，檢驗(yàn)完全等價(jià)第40頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸41X第41頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸42Y的離均差平方和的分解第42頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸43幾個(gè)平方和的意義第43頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸44再看公式：第44頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸45表1回歸效應(yīng)的整體方差分析表變異來(lái)源νSSMSF值P值回歸147.04247.04214.7020.005

殘差927.1643.018

總變異1069.636按=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)，P<0.05,拒絕H0，認(rèn)為男青年身高與前臂長(zhǎng)之間存在線性回歸關(guān)系。第45頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸46直線回歸的應(yīng)用

描述兩變量之間的依存關(guān)系：通過(guò)回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),若認(rèn)為兩變量之間存在直線回歸關(guān)系,則可用直線回歸來(lái)描述。例如上例回歸方程：就是男青年身高與前臂長(zhǎng)之間的定量表達(dá)式。利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)：把自變量代入回歸方程，對(duì)應(yīng)變量進(jìn)行估計(jì)，可求出應(yīng)變量的波動(dòng)范圍。例如，已知某男青年的身高，代入回歸方程，再用區(qū)間估計(jì)的方法，即可知道男青年前臂長(zhǎng)的范圍。

利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制

利用多元回歸描述多因素的影響

第46頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸473.利用散點(diǎn)圖對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先做散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無(wú)關(guān)系、關(guān)系的密切程度、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析。4.變量范圍相關(guān)分析和回歸方程僅適用于樣本的原始數(shù)據(jù)范圍之內(nèi)，出了這個(gè)范圍，我們不能得出兩變量的相關(guān)關(guān)系和原來(lái)的回歸關(guān)系。第47頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸48區(qū)別：

第三節(jié)直線回歸與相關(guān)的

區(qū)別與聯(lián)系1.適用資料類型：

回歸：

Y正態(tài)隨機(jī)變量，X為可以精確測(cè)量的值相關(guān)：X、Y服從雙變量正態(tài)分布

2.應(yīng)用：

回歸——數(shù)量依存關(guān)系，由一個(gè)變量值推算另一個(gè)變量值，

相關(guān)——只反映兩變量間相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱及方向

3.

回歸系數(shù)有單位,相關(guān)系數(shù)無(wú)單位4.回歸系數(shù)的取值范圍為：-∞～+∞

相關(guān)系數(shù)的取值范圍為-1～+1第48頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸49聯(lián)系1.方向一致:r與b的正負(fù)號(hào)一致。

2.假設(shè)檢驗(yàn)等價(jià):tr=tb3.

4.用回歸解釋相關(guān)決定系數(shù)(coefficientofdetermination)

第49頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸50直線回歸與相關(guān)的應(yīng)用注意事項(xiàng)

⑴要有實(shí)際意義

⑵不能任意“外延”⑶繪制散點(diǎn)圖

第50頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸51第三節(jié)

等級(jí)相關(guān)

rankcorrelation

適用資料：⑴不服從雙變量正態(tài)分布⑵總體分布類型未知⑶原始數(shù)據(jù)用等級(jí)表示

等級(jí)相關(guān)系數(shù)rs（即SpearmanCorrelationCoefficient）——反映兩變量間相關(guān)的密切程度與方向。第51頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸52

二Spearman等級(jí)相關(guān)系數(shù)等級(jí)相關(guān)系數(shù)

式（10-18）例題10.4見(jiàn)P119.第52頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸53