高一數(shù)學人教A版2019選擇性第1章空間向量與立體幾何（復習）課件（65張）

單元復習第1

章空間向量與立體幾何人教A版2019選修第一冊01空間向量的概念及運算02利用空間向量證明位置關系03利用空間向量計算距離04利用空間向量求空間角目錄05空間中的折疊與探究性問題

一、空間向量的概念及運算1.空間向量可以看作是平面向量的推廣，有許多概念和運算與平面向量是相同的，如模、零向量、單位向量、相等向量、相反向量等概念，加減法的三角形法則和平行四邊形法則，數(shù)乘運算與向量共線的判斷、數(shù)量積運算、夾角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐標表示是向量運算的基礎.2.向量的運算過程較為繁雜，

要注意培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力.1(2)(多選)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.下列選項中，正確的是√√又因為底面ABCD是邊長為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，因此D正確，其余兩個都不正確.空間向量的數(shù)乘運算及向量共面的充要條件(1)空間向量的數(shù)乘運算、共線向量的概念、向量共線的充要條件與平面向量的性質是一致的.(2)利用向量共面的充要條件可以判斷第三個向量是否與已知的兩個不共線的向量共面，特別地，空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序實數(shù)對(x，y)，使

.跟蹤訓練1

(1)在空間直角坐標系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，點P在z軸上，且滿足

，則P點坐標為A.(3,0,0) B.(0,3,0) C.(0,0,3) D.(0,0，－3)√解析設P(0,0，z)，則有解得z＝3.(2)如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°.〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，二、利用空間向量證明位置關系1.用空間向量判斷空間中位置關系的類型有：線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；判斷證明的基本思想是轉化為線線關系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直進行證明.2.將立體幾何的線面關系轉化為向量間的關系，可以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和數(shù)學運算能力.例2

如圖所示,已知PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點.求證:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.典例解析證明:(1)如圖所示,以A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系A-xyz.設PA=AD=a,AB=b,則有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).∵M,N分別為AB,PC的中點,

利用空間向量證明平行、垂直關系的方法(1)證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量即可.(2)證明線面平行的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;②證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線的方向向量是共線向量;③利用共面向量定理,即證明可在平面內(nèi)找到兩個不共線向量來線性表示直線的方向向量.(3)證明面面平行的方法:①證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量);②轉化為線面平行、線線平行問題.(4)證明兩條直線垂直,只需證明兩直線的方向向量垂直.(5)證明線面垂直的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量平行;②轉化為線線垂直問題.(6)證明面面垂直的方法:①證明兩個平面的法向量互相垂直;②轉化為線面垂直、線線垂直問題.歸納總結跟蹤訓練2

如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有側棱長及底面邊長都為2,D為CC1的中點.求證:AB1⊥平面A1BD.跟蹤訓練證法三:如圖,取BC,B1C1的中點O,O1,連接AO,OO1.因為△ABC為正三角形,所以AO⊥BC.因為在正三棱柱ABC-A1B1C1中,O,O1都為中點,所以OB⊥OO1.又平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1,所以AO⊥OO1.三、利用空間向量計算距離1.空間距離的計算思路2.通過利用向量計算空間的角，可以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和數(shù)學運算能力.例3

如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被平面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求BF的長;(2)求點C到平面AEC1F的距離.典例解析解:(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).設F(0,0,z).

由題意得AEC1F為平行四邊形,向量法求點面距離的步驟

歸納總結跟蹤訓練3.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CC1的中點.(1)求證:AD∥平面A1EFD1;(2)求直線AD與平面A1EFD1的距離.又D1A1?平面A1EFD1,DA?平面A1EFD1,所以DA∥平面A1EFD1.跟蹤訓練證明:(1)如圖,以點D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系D-xyz,則1.空間向量與空間角的關系(1)設異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角θ滿足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)設直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α的夾角θ滿足sinθ＝|cos〈m，n〉|.(3)設n1，n2分別是兩個平面α，β的法向量，則兩平面α，β夾角θ滿足cosθ＝|cos〈m，n〉|.2.通過利用向量計算空間的角，可以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和數(shù)學運算能力.四、利用空間向量求空間角例4.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M為B1C1上一點且B1M=2,點N在線段A1D上,A1D⊥AN.(1)求異面直線A1D與AM所成的角;(2)求直線AD與平面ANM所成角θ的正弦值;(3)求平面ANM與平面ABCD夾角的余弦值.典例解析解:以A為原點,分別以AB,AD,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(5,0,0),D(0,8,0),A1(0,0,4),M(5,2,4).

向量法求線面角、兩平面夾角的方法(1)利用空間向量求直線與平面所成的角的兩種方法:①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影所在直線的方向向量,將問題轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角);②通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,則其余角就是斜線和平面所成的角.(2)利用空間向量求兩平面夾角的兩種方法:①利用定義,分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小,再由此得兩平面的夾角;②通過平面的法向量來求:設二面角的兩個半平面的法向量分別為n1和n2,則兩平面夾角的大小等于<n1,n2>(或π-<n1,n2>),注意取銳角或直角.歸納總結跟蹤訓練4

在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=PD=2,CD=4,點E是PB的中點.(1)求異面直線AE與CP所成角的余弦值;(2)若點F∈平面ABCD,且EF⊥平面PBC,求點F的坐標;(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.跟蹤訓練解:(1)如圖所示建立空間直角坐標系D-xyz.由題意得A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,4,0).∵E為PB的中點,∴E(1,1,1),例5如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中點.(1)求證:A1B∥平面ADC1;(2)求平面ADC1與平面ABC夾角的余弦值;(3)線段A1B1上是否存在點E,使AE與DC1成60°角?若存在,確定點E的位置;若不存在,請說明理由.典例解析五、空間中的折疊與探究性問題

(1)證明:連接A1C,交AC1于點O,連接OD,如圖.由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四邊形ACC1A1為矩形,O為A1C的中點.又D為BC的中點,所以OD為△A1BC的中位線,所以A1B∥OD.因為OD?平面ADC1,A1B?平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(2)解:由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,得BA,BC,BB1兩兩垂直,以BC,BA,BB1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系B-xyz.設BA=2,則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0),(3)解:存在.假設存在滿足條件的點E.因為點E在線段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可設E(0,λ,1),其中0≤λ≤2.

解決存在性問題的基本策略假設題中的數(shù)學對象存在(或結論成立),然后在這個前提下進行邏輯推理,若能推導出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實,說明假設成立,即存在,并可進一步證明;若推導出與條件或實際情況相矛盾的結論,則說明假設不成立,即不存在.歸納總結跟蹤訓練5

如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=(1)求證:PD⊥PB.(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.跟蹤訓練(1)證明:∵平面PAD⊥平面ABCD于AD,AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD,∴PD⊥AB.又∵PD⊥PA,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB,∴PD⊥PB.(2)解:如圖,取AD中點為O,連接CO,PO.典例解析例6

如圖①,在等腰梯形ABCD中,AB=2,CD=6,AD=2,E,F分別是CD的兩個三等分點,若把等腰梯形沿虛線AF,BE折起,使得點C和點D重合,記為點P,如圖②.(1)求證:平面PEF⊥平面ABEF;(2)求平面PAE與平面PAB夾角的余弦值.典例解析(1)證明:∵四邊形ABCD為等腰梯形,AB=2,CD=6,AD=2,E,F是CD的兩個三等分點,∴四邊形ABEF是正方形,∴BE⊥EF.∵BE⊥PE,且PE∩EF=E,∴BE⊥平面PEF.又BE?平面ABEF,∴平面PEF⊥平面ABEF.(2)解:過點P作PO⊥EF于點O,過點O作BE的平行線交AB于點G,則PO⊥平面ABEF,以O為坐標原點,以OG,OE,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.

解決與折疊有關問題的方法解決與折疊有關的問題的關鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量,一般情況下,折線同一側的,線段的長度是不變量,而位置關系往往會發(fā)生變化,抓住不變量是解決問題的突破口.歸納總結跟蹤訓練(1)證明:取AD的中點O,連接OB,OP,∵BA=BD,EA=ED,即PA=PD,∴OB⊥AD且OP⊥AD,又OB∩OP=O,∴AD⊥平面BOP,而PB?平面BOP,∴PB⊥AD.(2)解:∵OP=1,OB=2,OP2+OB2=5=PB2,∴PO⊥OB,∴OP,OB,OD兩兩互相垂直,以O為坐標原點,OB,OD,OP所在的直線為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標系,高考真題1.(2018·全國Ⅱ高考)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(

)答案:C解析:以DA,DC,DD1為軸建立空間直角坐標系如圖,2.(2019·全國Ⅰ高考)已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點,PC=2,點P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為,那么P到平面ABC的距離為.解析:作PD,PE分別垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.連接CO,OD,知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,∴CD⊥平面PDO,OD?平面PDO,∴CD⊥OD.3.(2019·全國Ⅰ高考)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點.(1)證明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.解:(1)連接B1C,ME.因為M,E分別為BB1,BC的中點,因此四邊形MNDE為平行四邊形,MN∥ED.又MN?平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA.設n=(p,q,r)為平面A1MN的法向量,4.(2019·全國Ⅱ高考)如圖,長方體ABC