第四講近代數(shù)學(xué)的興起與解析幾何誕生

第四講近代數(shù)學(xué)的興起與解析幾何誕生第1頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月一、文藝復(fù)興的前奏大學(xué)：波隆尼亞大學(xué)（1088）、巴黎大學(xué)（1160）、牛津大學(xué)（1167）——搖籃文藝復(fù)興運動——資產(chǎn)階級文化的興起斐波那契（1170-1250），著作《算經(jīng)》（《算盤書》）內(nèi)容：前七章為十進制整數(shù)及分數(shù)的計算問題；8—11章涉及商業(yè)計算的比例、利息、等差級數(shù)及等比級數(shù)，還有賺賠、合股、折扣、復(fù)利等應(yīng)用問題；12、13章為求一次方程的整數(shù)解問題；14章是求平方根、立方根的法則；15章是幾何度量及代數(shù)問題。第2頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250):<算經(jīng)>(1202)第3頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月某人養(yǎng)了一對小兔子，假定每對兔子每月生一對小兔子，而小兔子出生后兩個月就能生育，問從這對兔子開始，一年內(nèi)能繁殖成多少對兔子？裴波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，……Un=Un-1+Un-2(n≥3)著名的裴波那契數(shù)列——第4頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月自然現(xiàn)象中的裴波那契數(shù)：向日葵花瓣依兩個相反的螺旋形排列，朝一個螺旋方向生長的花瓣數(shù)同朝相反螺旋方向生長的花瓣數(shù)，幾乎總等于裴波那契序列中兩個相鄰的數(shù)。菠蘿、冬表、球花、牛眼菊和許多植物的花也有類似的情形。一些花的花瓣數(shù)構(gòu)成裴波那契序列中的一串數(shù)字電子學(xué)專門設(shè)計的電路也能產(chǎn)生裴波那契序列第5頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月歐洲數(shù)學(xué)真正的復(fù)蘇,要到15-16世紀.在文藝復(fù)興的高潮中,數(shù)學(xué)的發(fā)展與科學(xué)的革新緊密結(jié)合在一起,數(shù)學(xué)在認識自然和探索真理方面的意義被文藝復(fù)興的代表人物高度強調(diào).達?芬奇(1452-1519)就這樣說過:“一個人若懷疑數(shù)學(xué)的極端可靠性就是陷入混亂,他永遠不能平息詭辯科學(xué)中只會導(dǎo)致不斷空談的爭辯.……因為人們的探討不能稱為科學(xué)的,除非通過數(shù)學(xué)上的說明和論證.”伽利略干脆認為宇宙“這本書是用數(shù)學(xué)的語言寫成的”.科學(xué)中數(shù)學(xué)化趨勢的增長促使數(shù)學(xué)本身走向繁榮.第6頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月二、近代數(shù)學(xué)的興起三次及以上的方程的根式解問題：巴巧利認為x3+mx=n，x3+n=mx無根式解，就象解化圓為方一樣。費羅（1465-1526）發(fā)現(xiàn)了形如x3+mx=n（m,n>0）的解法。尼古拉·豐丹納（綽號塔塔里亞）（1499-1557），1535年宣布發(fā)現(xiàn)了三次方程的代數(shù)解法。第7頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月（一）代數(shù)學(xué)1.三次方程根式求解的成功費羅（1515年）

x3+mx=n(m,n>0)塔塔利亞x3+mx2=n(m,n>0)第8頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月卡爾丹（1501-1576）醫(yī)生、數(shù)學(xué)家、預(yù)言家。《大法》——公布了三次方程的解法。第9頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月《大法》（ArsMagna）p,q>0

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第10頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月2.四次方程求解費拉里（1522-1565），卡爾丹的學(xué)生，獲得解一般四次方程的解法。x4+ax3+bx2+cx+d=0基本思想是通過配方、因式分解后降次。第11頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于四次方程的解法，以后韋達和笛卡爾都作過研究，并取得成果，由此引發(fā)探求五次方程根式解的嘗試，經(jīng)拉格朗日、阿貝爾、伽羅瓦的努力，阿貝爾首先證明了一般的五次及以上方程無根式解，伽羅瓦在此基礎(chǔ)上創(chuàng)造了群論，將代數(shù)研究推向縱深。第12頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）代數(shù)符號體系與代數(shù)運算韋達(F.Vieta):<分析引論>(1591)近代數(shù)學(xué)的開始最重大的事莫過于符號代數(shù)的引進韋達是第一個有意識地、系統(tǒng)地使用字母第13頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月韋達（1540-1603），法國數(shù)學(xué)家，創(chuàng)立符號代數(shù)；發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系。第14頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月對韋達所使用的代數(shù)符號的改進工作是由笛卡兒于1637年完成的,他用拉丁字母的前幾個(a,b,c,…)表示已知量,后幾個(x,y,z,…)表示未知量,成為今天的習慣.另外,我們現(xiàn)在所使用的代數(shù)符號都是這一時期發(fā)明的,如“+”

、“-”來自于德國,“=”來自于英國.第15頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）三角學(xué)航海、歷法推算以及天文觀測的需要,推動了三角學(xué)的發(fā)展.早期三角學(xué)總是與天文學(xué)密不可分的,這樣在1450年以前,三角學(xué)主要是球面三角,后來由于間接測量、測繪工作的需要而出現(xiàn)了平面三角.15、16世紀,德國人開始對三角學(xué)作出新的推進,他們從意大利獲得了阿拉伯天文學(xué)著作中的三角學(xué)知識.游學(xué)意大利、后來定居維也納的波伊爾巴赫(G.Peurbach,1423-1461,德國)曾經(jīng)把托勒枚的《大匯編》譯成拉丁文,并且編制了十分精確的正弦表.第16頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月在歐洲,第一部脫離天文學(xué)的三角學(xué)專著是波伊爾巴赫的學(xué)生雷格蒙塔努斯(J.Regiomontanus,1436-1476)的《論各種三角形》.該書分五卷,前兩卷論平面三角,后三卷論球面三角,給出了球面三角的正弦定理和關(guān)于邊的余弦定理.雷格蒙塔努斯在其另一部著作《方位表》中,制定了多達五位的三角函數(shù)表,除正弦、余弦表外,還有正切表.在1450年以前,希臘、阿拉伯人著作中的三角方法很不嚴謹,雷格蒙塔努斯首次對三角學(xué)作出完整、獨立的闡述,使其開始在歐洲廣泛傳播.第17頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月三、從透視學(xué)到射影幾何布努雷契(F.Brunelleschi,1377-1446)阿爾貝蒂(L.B.Alberti,1404-1472)<論繪畫>迪勒(A.Dürer,1471-1528)<線面體的尺規(guī)測量法>第18頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月英國畫家柯爾比<泰勒博士透視方法淺說>(1754)

卷首插圖第21頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月中世紀油畫第22頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月文藝復(fù)興時代的油畫第23頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月出發(fā)點透視畫的天才阿爾貝蒂提出一個很重要的問題：如果眼睛和景物之間插立一張直立的玻璃屏板，設(shè)想光線從眼睛出發(fā)射在景物上，那么這些光線形成投影錐，投影錐經(jīng)過屏板上的點便形成截景，截景給眼睛的印象和物景本身一樣。如果在眼睛與物景之間再插另一張屏板，那么兩個截景都傳達原來的形象，但它們具有何數(shù)學(xué)關(guān)系？第24頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月眼物景截景第25頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月德沙格的工作德沙格（1591-1661），法國陸軍軍官，德沙格定理。德沙格發(fā)表了一本關(guān)于圓維曲線的很有獨創(chuàng)性的小冊子《試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿》，從開普勒的連續(xù)性原理開始，導(dǎo)出了許多關(guān)于對合、調(diào)和變程、透射、極軸、極點以及透視的基本原理。第26頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月1、兩投影三角形對應(yīng)邊交點共線，反之，對應(yīng)邊共點的兩三角形，對應(yīng)頂點的連線共點（德沙格定理）第27頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月2、交比在投影下的不變性；3、對合、調(diào)合點組關(guān)系不變性。對任一直線上的定點O，稱直線上的兩對點A，B和A’，B’是對合的，如果成立：OA·OB=OA’·OB’第28頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月帕斯卡（1623-1662），著作《圓錐曲線論》（1640），帕斯卡定理。拉伊爾（1640-1718），著作《圓錐曲線》，獲得定理：若一點Q在直線p上移動，則該點Q的極帶將繞直線p的極點P移動。第29頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月四、計算技術(shù)與對數(shù)納皮爾（1550-1617），利用兩種不同的運動之間的關(guān)系，建立了“對數(shù)”關(guān)系。稱為納皮爾對數(shù)。布里格斯（1561-1631），建立了以10為底的常用對數(shù)，制出第一張常用對數(shù)表。岡特（1581-1626），算出三角函數(shù)的常用對數(shù)表。比爾吉（1552-1632），也獨立發(fā)明了對數(shù)。穆尼閣（1611-1656），把對數(shù)傳入中國第30頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月納皮爾布里格斯第31頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月這一時期計算技術(shù)的最大改進是對數(shù)的發(fā)明和應(yīng)用,它的產(chǎn)生主要是由于天文、航海方面所遇到的繁雜數(shù)值計算,自然希望將乘除法歸結(jié)為簡單的加減法,這種設(shè)想受到人們熟知的三角公式(積化和差)的啟示——或許還受到德國數(shù)學(xué)家斯蒂弗爾的啟示——第32頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月德國數(shù)學(xué)家斯蒂弗爾（約1487-1567）在他的《綜合算術(shù)》中指出：幾何數(shù)列：1,r,r2,r3,……算術(shù)數(shù)列：0,1,2,3,……指數(shù)與算術(shù)級數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。第33頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月蘇格蘭貴族數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Napier,1550-1617)正是在球面天文學(xué)的三角學(xué)研究中發(fā)明對數(shù)方法的.

1614年,他在題為《奇妙的對數(shù)定理說明書》的小書中,闡述了他的對數(shù)方法.他考察一個點P沿直線AB(長度為107單位)的運動,其速度在每一點P處正比于剩余距離PB=y;再假定另一個點Q沿無窮直線CD勻速運動,其速度等于P點在A處的速度,CQ=x;令P與Q同時分別從A、C出發(fā),那么定義x是y的對數(shù).第34頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月五、解析幾何的誕生

16世紀，機械的廣泛運用，建筑業(yè)的興起，造船業(yè)的發(fā)展，顯微鏡、望遠鏡的使用，要求數(shù)學(xué)確定各種復(fù)雜的曲線、曲面。航海業(yè)向天文學(xué)和數(shù)學(xué)提出精確測定經(jīng)緯度要求，槍炮制造要求研究拋射體軌跡，這些都需有一種新思想、新方法來解決問題，這是解析幾何產(chǎn)生的外部原因。第38頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月其次，代數(shù)學(xué)的充分發(fā)展，使過去依賴幾何方法解決代數(shù)問題的局面被打破，反過來利用代數(shù)方法研究幾何的思想已成熟，這是內(nèi)部原因。第三，形數(shù)結(jié)合思想歷來有之，古希臘阿波羅尼奧斯研究圓錐曲線時，偶爾引用正交直線來顯示一種“坐標”，依巴谷在天文、地理的研究中曾明確指出一點的位置由經(jīng)緯度來決定.到14世紀,奧雷斯姆(1323-1382)在其書中直接陳述過一種“坐標”幾何。格塔拉底(1566-1627)繼承韋達用代數(shù)研究幾何的思想，寫成《阿波羅尼奧斯著作的現(xiàn)代闡釋》，對幾何問題的代數(shù)解法作了系統(tǒng)的研究。1630年又在《數(shù)學(xué)的分析與綜合》中更詳細地討論了這個問題，1631年哈里奧特在《實用分析學(xué)》中把格塔拉底的思想引伸并系統(tǒng)化。第39頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月最后，更為重要的是天體運動和物體運動的研究，啟發(fā)數(shù)學(xué)家思考用運動觀點來研究幾何問題。在德沙格和帕斯卡開辟了射影幾何的同時，笛卡兒和費爾馬開始構(gòu)思現(xiàn)代解析幾何的概念，并各自獨立地創(chuàng)立了解析幾何。這兩項研究之間存在一個根本區(qū)別：前者是幾何學(xué)的一個分支，后者是幾何學(xué)的一種方法。第40頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月笛卡爾(R.Descartes,1596-1650):

<幾何學(xué)>(1637)第41頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月費馬(P.deFermat,1601-1665)<論平面和立體的軌跡引論>(1629)第42頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月笛卡兒(1596-1650)，法國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家。1637年，發(fā)表了《方法論》及其三個附錄，他對解析幾何的貢獻，就在第三個附錄《幾何學(xué)》中，其中心思想是要把代數(shù)與幾何繼往開來起來，由方程自變量變化，函數(shù)值變化形成動點，得到方程曲線，他提出了幾種由機械運動生成的新曲線。費馬(1601-1665)，法國人業(yè)余數(shù)學(xué)家，數(shù)論方面是承前啟后的人物，幾何方面又是一個創(chuàng)造性人物。在《平面和立體軌跡導(dǎo)論》中，引進動點成線思想，利用坐標，把曲線用一個方程表示出來，解析地定義了許多新的曲線，然后進行研究。在很大程度上，笛卡兒從軌跡開始，然后求它的方程；費爾馬則從方程出發(fā)，然后來研究軌跡。這正是解析幾何基本原則的兩個相反的方面，“解析幾何”的名稱是以后才定下來的。第43頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月笛卡爾在另一部較早的哲學(xué)著作《指導(dǎo)思維的法則》中稱自己設(shè)想的一般方法為“通用數(shù)學(xué)”,并概述了這種通用數(shù)學(xué)的思路.在這里,笛卡兒提出了一種大膽的計劃,即:任何問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程求解.第44頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有幾個傳說.一個傳說(能與牛頓看見蘋果落地的故事相媲美)講,笛卡兒終身保持著在耶穌會學(xué)校讀書期間養(yǎng)成的“晨思”習慣.他在一次“晨思”時,看見一只蒼蠅正在天花板上爬,他突然想到,如果知道了蒼蠅與相鄰兩個墻壁的關(guān)系,就能描述它的路線,這使他頭腦中產(chǎn)生了解析幾何的最初閃念.另一個傳說(能與門捷列夫夢見元素周期表的故事相媲美)是,1619年冬天,笛卡兒隨軍隊駐扎在多瑙河畔的一個村莊,在圣馬丁節(jié)的前夕(11月10日),他作了三個連貫的夢.笛卡兒后來說,正是這三個夢向他揭示了“一門奇特的科學(xué)”和“一項驚人的發(fā)現(xiàn)”.雖然他從未說過這門奇特的科學(xué)和這項驚人的發(fā)現(xiàn)是什么,但這三個夢從此成為后來每本介紹解析幾何誕生的著作必提的佳話,它給解析幾何的誕生蒙上了一層神秘的面紗.人們在苦心思索之后的睡夢中獲得靈感與啟示不是不可能的.但事實上笛卡兒之所以能創(chuàng)立解析幾何,主要是他艱苦探索、潛心思考,運用科學(xué)的方法,同時批判地繼承前人的成就的結(jié)果.第45頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月解析幾何開辟高等數(shù)學(xué)新紀元解析幾何徹底改變了數(shù)學(xué)的研究方法。

——M.克萊茵“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變書，運動進入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，……”——恩格斯第46頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月恩格斯在《自然辨證法》中指出納皮爾的對數(shù)發(fā)現(xiàn)，笛卡兒的解析幾何學(xué)，牛頓-萊布尼茲的微積分并列為“17世紀最重要的數(shù)學(xué)方法”。

17世紀最重要的數(shù)學(xué)方法

第47頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月解析幾何的創(chuàng)始人——笛卡兒第48頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月

“笛卡兒，歐洲文藝復(fù)興以來，為人類爭取并保證理性權(quán)利的第一人”。

恩格斯評論笛卡兒：“數(shù)學(xué)由于研究變數(shù)而進入辯證法的領(lǐng)域，而且很明顯正式辯證哲學(xué)家笛卡兒是數(shù)學(xué)有了這種進步?！钡?9頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月笛卡爾的哲學(xué)格言是：“我思故我在”。

數(shù)學(xué)格言是：“一切問題可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，一切數(shù)學(xué)問題，可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，一切代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化成方程求解的問題。第50頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月最具水準的情書情書內(nèi)容：R=a(1-sinx)芙蓉樓送辛漸——王昌齡寒雨連江夜入?yún)?，平明送客楚山孤。洛陽親友如相問，一片冰心在玉壺。第51頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月笛卡爾笛卡兒1596年3月31日生于法國土倫省萊耳市的一個貴族之家，笛卡兒的父親是布列塔尼地方議會的議員，同時也是地方法院的法官,笛卡兒在豪華的生活中無憂無慮地度過了童年。他幼年體弱多病，母親病故后就一直由一位保姆照看。他對周圍的事物充滿了好奇，父親見他頗有哲學(xué)家的氣質(zhì)，親昵地稱他為“小哲學(xué)家”。父親希望笛卡兒將來能夠成為一名神學(xué)家，于是在笛卡兒八歲時，便將他送入拉弗萊什的耶穌會學(xué)校，接受古典教育。校方為照顧他的孱弱的身體，特許他可以不必受校規(guī)的約束，早晨不必到學(xué)校上課，可以在床上讀書。因此，他從小養(yǎng)成了喜歡安靜，善于思考的習慣。第52頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月笛卡兒1612年到普瓦捷大學(xué)攻讀法學(xué)，四年后獲博士學(xué)位。1616年笛卡兒結(jié)束學(xué)業(yè)后，便背離家庭的職業(yè)傳統(tǒng)，開始探索人生之路。他投筆從戎，想借機游歷歐洲，開闊眼界。這期間有幾次經(jīng)歷對他產(chǎn)生了重大的影響。第53頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月一次，笛卡兒在街上散步，偶然間看到了一張數(shù)學(xué)題懸賞的啟事。兩天后，笛卡兒竟然把那個問題解答出來了，引起了著名學(xué)者伊薩克·皮克曼的注意。皮克曼向笛卡兒介紹了數(shù)學(xué)的最新發(fā)展，給了他許多有待研究的問題。與皮克曼的交往，使笛卡兒對自己的數(shù)學(xué)和科學(xué)能力有了較充分的認識，他開始看到了傳統(tǒng)的幾何過分依賴圖形和形式演繹的缺陷，同時也深感代數(shù)過分受法則和公式的限制而缺乏活力，于是認真探尋是否存在一種類似于數(shù)學(xué)的、具有普遍使用性的方法，以期獲取真正的知識。1、與數(shù)學(xué)結(jié)緣第54頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)與幾何的各自為政、劃地為牢的狀況抑制了數(shù)學(xué)的發(fā)展，怎樣才能擺脫這種狀況，架起溝通代數(shù)與幾何的橋梁呢？笛卡兒分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點，表示要去“尋求另外一種包含這兩門科學(xué)的好處，而沒有它們的缺點的方法”。第55頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月?lián)f，笛卡兒曾在一個晚上做了三個奇特的夢。第一個夢是，笛卡兒被風暴吹到一個風力吹不到的地方；第二個夢是他得到了打開自然寶庫的鑰匙；第三個夢是他開辟了通向真正知識的道路。這三個奇特的夢增強了他創(chuàng)立新學(xué)說的信心。這一天是笛卡兒思想上的一個轉(zhuǎn)折點，有些學(xué)者也把這一天定為解析幾何的誕生日。

2、夢境與靈感第56頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)在，他的思緒又回到了這個問題上……抬頭望著天花板，一只小小的蜘蛛從墻角慢慢地爬過來，吐絲結(jié)網(wǎng)，忙個不停。從東爬到西，從南爬到北。要結(jié)一張網(wǎng)，小蜘蛛該走多少路??！笛卡爾突發(fā)奇想，算一算蜘蛛走過的路程。他先把蜘蛛看成一個點，這個點離墻角多遠？離墻的兩邊多遠？……他思考著，計算著，病中的他睡著了……夢中他繼續(xù)在數(shù)學(xué)的廣闊天地中馳騁，好像悟出了什么，又看到了什么，大夢醒來的笛卡爾茅塞頓開，一種新的思想初露端倪：在互相垂直的兩條直線下，一個點可以用到這兩條直線的距離，也就是兩個數(shù)來表示，這個點的位置就被確定了。第57頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月

用數(shù)形結(jié)合的方式將代數(shù)與幾何的橋梁聯(lián)起來了。這就是解析幾何學(xué)誕生的曙光，沿著這條思路前進，在眾多數(shù)學(xué)家的努力下數(shù)學(xué)的歷史發(fā)生了重要的轉(zhuǎn)折，建立了解析幾何學(xué)。第58頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月3、解析幾何的創(chuàng)立（1）笛卡兒的主要數(shù)學(xué)成果集中在他的“幾何學(xué)”中。笛卡兒站在方法論的自然哲學(xué)的高度，認為希臘人的幾何學(xué)過于依賴于圖形，束縛了人的想象力。對于當時的代數(shù)學(xué)，覺得它完全從屬于法則和公式，不能成為一門改進智力的科學(xué)。因此他提出必須把幾何與代數(shù)的優(yōu)點結(jié)合起來，建立一種“真正的數(shù)學(xué)”。笛卡兒的思想核心是：把幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)學(xué)的方法進行計算、證明，從而達到最終解決幾何問題的目的。

第59頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月

1637年，笛卡兒發(fā)表了《幾何學(xué)》，創(chuàng)立了直角坐標系。他用平面上的一點到兩條固定直線的距離來確定點的位置，用坐標來描述空間上的點。他進而又創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來實現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何分離的趨向，把相互對立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。笛卡兒的這一天才創(chuàng)見，更為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，從而開拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。第60頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月最為可貴的是，笛卡兒用運動的觀點，把曲線看成點的運動的軌跡，不僅建立了點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，而且把形（包括點、線、面）和“數(shù)”兩個對立的對象統(tǒng)一起來，建立了曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系。這種對應(yīng)關(guān)系的建立，不僅標志著函數(shù)概念的萌芽，而且標明變數(shù)進入了數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)在思想方法上發(fā)生了偉大的轉(zhuǎn)折--由常量數(shù)學(xué)進入變量數(shù)學(xué)的時期。正如恩格斯所說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辨證法進入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了。笛卡兒的這些成就，為后來牛頓、萊布尼茲發(fā)現(xiàn)微積分，為一大批數(shù)學(xué)家的新發(fā)現(xiàn)開辟了道路。第61頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月

1637年，法國的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)表了他的著作《方法論》，這本書的后面有三篇附錄，一篇叫《折光學(xué)》，一篇叫《流星學(xué)》，一篇叫《幾何學(xué)》。當時的這個“幾何學(xué)”實際上指的是數(shù)學(xué)，就像我國古代“算術(shù)”和“數(shù)學(xué)”是一個意思一樣。笛卡爾的《幾何學(xué)》共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線的性質(zhì)；第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實際是代數(shù)問題，探討方程的根的性質(zhì)。后世的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史學(xué)家都把笛卡爾的《幾何學(xué)》作為解析幾何的起點。

從笛卡爾的《幾何學(xué)》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學(xué)，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他設(shè)想，把任何數(shù)學(xué)問題化為一個代數(shù)問題，在把任何代數(shù)問題歸結(jié)到去解一個方程式。第62頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）解析幾何的基本思想：

為了實現(xiàn)上述的設(shè)想，笛卡爾從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點和實數(shù)對(x,y)的對應(yīng)關(guān)系。x,y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的基本思想。第63頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點：第一，在平面建立坐標系，一點的坐標與一組有序的實數(shù)對相對應(yīng)；第二，在平面上建立了坐標系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個變數(shù)的一個代數(shù)方程來表示了。從這里可以看到，運用坐標法不僅可以把幾何問題通過代數(shù)的方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來。

第64頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月在解析幾何中，首先是建立坐標系。取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平面上的一個直角坐標系oxy。利用坐標系可以把平面內(nèi)的點和一對實數(shù)(x,y)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系。除了直角坐標系外，還有斜坐標系、極坐標系、空間直角坐標系等等。在空間坐標系中還有球坐標和柱面坐標。（5）解析幾何的基本內(nèi)容第65頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月坐標系將幾何對象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。用這種方法研究幾何學(xué)，通常就叫做解析法。這種解析法不但對于解析幾何是重要的，就是對于幾何學(xué)的各個分支的研究也是十分重要的。解析幾何的創(chuàng)立，引入了一系列新的數(shù)學(xué)概念，特別是將變量引入數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進入了一個新的發(fā)展時期，這就是變量數(shù)學(xué)的時期。解析幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中起了推動作用。第66頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。在平面解析幾何中，除了研究直線的有關(guān)直線的性質(zhì)外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關(guān)性質(zhì)。在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關(guān)性質(zhì)外，主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面。橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質(zhì)，在生產(chǎn)或生活中被廣泛應(yīng)用。比如電影放映機的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個焦點上，影片門在另一個焦點上；探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠鏡等都是利用拋物線的原理制成的。

（6）解析幾何的應(yīng)用第67頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月總的來說，解析幾何運用坐標法可以解決兩類基本問題：一類是滿足給定條件點的軌跡，通過坐標系建立它的方程；另一類是通過方程的討論，研究方程所表示的曲線性質(zhì)。運用坐標法解決問題的步驟是：首先在平面上建立坐標系，把已知點的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；然后運用代數(shù)工具對方程進行研究；最后把代數(shù)方程的性質(zhì)用幾何語言敘述，從而得到原先幾何問題的答案。坐標法的思想促使人們運用各種代數(shù)的方法解決幾何問題。先前被看作幾何學(xué)中的難題，一旦運用代數(shù)方法后就變得平淡無奇了。坐標法對近代數(shù)學(xué)的機械化證明也提供了有力的工具。第69頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月笛卡兒的成就笛卡兒在科學(xué)上的貢獻是多方面的。但他的哲學(xué)思想和方法論，在其一生活動中則占有更重要的地位。他的哲學(xué)思想對后來的哲學(xué)和科學(xué)的發(fā)展，產(chǎn)生了極大的影響。第70頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月◆哲學(xué)方面：笛卡兒強調(diào)科學(xué)的目的在于造福人類，使人成為自然界的主人和統(tǒng)治者。他反對經(jīng)院哲學(xué)和神學(xué)，提出懷疑一切的“系統(tǒng)懷疑的方法”。但他還提出了“我思故我在”的原則，強調(diào)不能懷疑以思維為其屬性的獨立的精神實體的存在，并論證以廣延為其屬性的獨立物質(zhì)實體的存在。他認為上述兩實體都是有限實體，把它們并列起來，這說明了在形而上學(xué)或本體論上，他是典型的二元論者。笛卡兒還企圖證明無限實體，即上帝的存在。他認為上帝是有限實體的創(chuàng)造者和終極的原因。笛卡兒的認識論基本上是唯心主義的。他主張唯理論，把幾何學(xué)的推理方法和演繹法應(yīng)用于哲學(xué)上，認為清晰明白的概念就是真理，提出“天賦觀念”。第71頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月笛卡兒的自然哲學(xué)觀同亞里士多德的學(xué)說是完全對立的。他認為，所有物質(zhì)的東西，都是為同一機械規(guī)律所支配的機器，甚至人體也是如此。同時他又認為，除了機械的世界外，還有一個精神世界存在