5第五章-幾何變換課件

第五章幾何變換7/20/20231信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@幾何變換是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容。通過對(duì)簡(jiǎn)單圖形進(jìn)行多種變換和組合，可以形成一個(gè)復(fù)雜圖形。一般來說，圖形從輸入到輸出貫串著各種變換。被描述的對(duì)象所處的環(huán)境和顯示屏幕或圖紙的環(huán)境是很不相同的，不僅位置不同，大多數(shù)情況下尺寸也很不同。這就要協(xié)調(diào)二著的關(guān)系。此外，三維的圖形要在二維的屏幕或圖紙上顯示出來要通過投影變換。為了從不同的方向去觀察對(duì)象，要求能對(duì)對(duì)象作旋轉(zhuǎn)變換，放大縮小和平移變換更是經(jīng)常要用的。繪圖過程中還需要用窗口來規(guī)定要顯示的內(nèi)容，用視區(qū)來規(guī)定在屏幕或圖紙上顯示的位置。利用圖形變換可實(shí)現(xiàn)改變或管理顯示，例如,7/20/20232信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@通過調(diào)整圖形組件的方向和大小可實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)和設(shè)施布局；通過移動(dòng)“照相機(jī)”或場(chǎng)景中的對(duì)象產(chǎn)生圖形動(dòng)畫。而在圖形的方向、尺寸和形狀方面的變化可通過改變對(duì)象坐標(biāo)描述的幾何信息變換來完成?；編缀巫儞Q有平移、旋轉(zhuǎn)和縮放，常用的其他變換還有反射和錯(cuò)切。

本章主要介紹二維圖形幾何變換的原理和方法，以及三維圖形的幾何變換。7/20/20233信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@5.1幾何變換的基本原理

下面這張示意圖，舉例說明了圖形的幾種常見變換。幾種常見的幾何變換：放大、壓縮、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切7/20/20234信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@總結(jié)以上這些變化后的圖形結(jié)果，可以得到這樣的結(jié)論：

（1）圖形變化了，但原圖形的構(gòu)成規(guī)則（拓?fù)潢P(guān)系）沒有改變；

（2）圖形發(fā)生的變化，是因?yàn)槠漤旤c(diǎn)位置（幾何關(guān)系）的改變決定的。這種通過維持圖形的拓?fù)潢P(guān)系不變，而僅改變圖形的幾何關(guān)系來實(shí)現(xiàn)改變圖形的方法，我們稱之為圖形的幾何變換。

既然圖形的幾何變換僅和點(diǎn)的位置變化有關(guān)，所以我們首先要討論一個(gè)點(diǎn)在空間的位置及其變化。7/20/20235信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@由于點(diǎn)可以用一個(gè)列向量來表示，那么要改變一個(gè)點(diǎn)的位置，就意味著要改變這個(gè)向量（大小及方向）。對(duì)向量的運(yùn)算通常用矩陣運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)。假如原頂點(diǎn)坐標(biāo)為：經(jīng)變換后的坐標(biāo)為：那么用矩陣表示的變換過程為：7/20/20236信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@這是一個(gè)線性變換，其中的T

為線性變換矩陣，它是一二階方陣。一個(gè)二維線性變換的一般形式也可以寫成如下的代數(shù)式：x*=a1·x+b1·y+c1y*=a2·x+b2·y+c2轉(zhuǎn)換為矩陣形式，就是：7/20/20237信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@上面所說一個(gè)線性變換的矩陣形式和代數(shù)形式的統(tǒng)一，必須對(duì)點(diǎn)向量的表示法稍作修改，即：

變換的矩陣形式和代數(shù)形式是完全可以統(tǒng)一的，只是原來用二維向量表示的點(diǎn)變成了用三維向量來表示。但其第三維是常數(shù)1。其幾何意義為：：z=0

平面上的點(diǎn)；：z=1

平面上的點(diǎn)；7/20/20238信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@兩種表示方法，僅從圖形上來看是沒有實(shí)質(zhì)性差別的。我們可以看下面的圖例：在不同高度水平面上繪的圖7/20/20239信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@這種用三維的形式來表示一個(gè)二維向量，進(jìn)一步推廣來說,用一個(gè)n+1維的形式來表示n

維向量的方法，叫做齊次坐標(biāo)表示法。這一小小的改變，給圖形變換的矩陣實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造了條件。采用了齊次坐標(biāo)表示法以后，我們可以把二維的線性變換表示成如下規(guī)格化的形式：三階方陣

T稱為二維線性變換矩陣。于是，對(duì)于任何二維圖形的頂點(diǎn)進(jìn)行幾何變換，均可以寫成如下形式：7/20/202310信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@P*=T

·

P其中：P*為變換后的新頂點(diǎn)表；P

為變換前的頂點(diǎn)表。

矩陣T

中元素的取值不同，可以形成對(duì)頂點(diǎn)的不同變換。連接新的頂點(diǎn)，從而構(gòu)成新的圖形（幾何變換過程）。7/20/202311信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@5.2二維圖形變換5.2.1二維基本變換

二維圖形變換的一般形式是：

對(duì)于二維變換矩陣中各元素的不同取值，可以獲得對(duì)二維圖形的不同變換效果，這些變換稱為二維圖形的基本變換。這些基本變換有以下五種：7/20/202312信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@1.比例變換比例變換的變換矩陣為:變換結(jié)果為：即：7/20/202313信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@x*=r11·x，

y*=r22·y可以看到，r11為x

方向上的縮放因子，r22為y方向上的縮放因子，它們分別影響兩個(gè)方向上的縮放效果。這些效果包括：

r11=r22>1：圖形沿x、y

兩個(gè)方向等比例放大；

0r11=r221：圖形沿兩個(gè)方向等比例縮小；

r11r22：由于圖形在兩個(gè)方向上的縮放系數(shù)不相等，所以經(jīng)過變換后的圖形將產(chǎn)生畸變。也能對(duì)圖形產(chǎn)生拉伸和壓縮的效果。（縮放中心為坐標(biāo)系原點(diǎn)）7/20/202314信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@2.鏡像（對(duì)稱）變換對(duì)稱變換的結(jié)果取決于對(duì)稱軸的設(shè)置。（1）關(guān)于x

軸的對(duì)稱變換對(duì)于x

軸的對(duì)稱變換矩陣為：變換結(jié)果為：7/20/202315信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@（2）關(guān)于y

軸的對(duì)稱變換對(duì)于y

軸的對(duì)稱變換矩陣為：變換結(jié)果為：7/20/202316信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@（3）關(guān)于450

線的對(duì)稱變換變換矩陣為：變換結(jié)果為：7/20/202317信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@（4）關(guān)于-450

線的對(duì)稱變換變換矩陣為：變換結(jié)果為：7/20/202318信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@以上四種變換的效果如下圖所示。關(guān)于兩坐標(biāo)軸的對(duì)稱變換關(guān)于

-450

線的對(duì)稱變換7/20/202319信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@（5）關(guān)于坐標(biāo)系原點(diǎn)的對(duì)稱變換變換矩陣為：變換結(jié)果為：7/20/202320信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@3.錯(cuò)切變換（1）沿x

軸方向的錯(cuò)切變換沿

x

軸方向的錯(cuò)切變換矩陣為：其變換結(jié)果為：7/20/202321信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@即：x*=x+r12·y；y*=y。

從以上結(jié)果可以看到：新圖形各頂點(diǎn)的y

坐標(biāo)沒有變，而x

坐標(biāo)是在原有的值上加一個(gè)有關(guān)y

正比例函數(shù)值的增量。所以使得整個(gè)圖形在等高的前提下發(fā)生了傾斜。并且，當(dāng)：r120時(shí)，圖形沿

x

正向錯(cuò)切。r120時(shí)，圖形沿x

負(fù)向錯(cuò)切。r12<0r12>07/20/202322信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@（2）沿y

軸方向的錯(cuò)切變換

沿y

軸方向的錯(cuò)切變換矩陣為：其變換結(jié)果為：即：x*=x；y*=y+r21x。7/20/202323信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@4.旋轉(zhuǎn)變換在二維平面內(nèi)，如不加說明，則所說旋轉(zhuǎn)變換是指圖形繞坐標(biāo)系原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。且逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，角度取正值；順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，角度

取負(fù)值。旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：其變換結(jié)果為：7/20/202324信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@如圖所示，由于：由此得到旋轉(zhuǎn)變換矩陣。x*xyy*A(x*,y*)A(x,y)7/20/202325信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@5.平移變換平移變換矩陣為：其變換結(jié)果為：7/20/202326信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@5.2.2二維組合變換

在前面介紹的五種變換都屬于基本變換。但實(shí)際應(yīng)用中，大部分圖形的變換是不能僅靠單獨(dú)的基本變換來實(shí)現(xiàn)的，而是需要經(jīng)多次變換才能實(shí)現(xiàn)。這種由多個(gè)基本變換組合（級(jí)聯(lián)）而成的復(fù)雜變換過程稱為組合變換。

1.對(duì)任意直線的對(duì)稱變換

前面介紹過五種對(duì)稱變換，但對(duì)稱軸都是特殊位置直線。對(duì)于對(duì)稱軸是任意位置直線的對(duì)稱變換，以上的對(duì)稱變換矩陣都不能直接應(yīng)用。7/20/202327信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@

例如，設(shè)任意直線的方程為：Ax+By+C=0該直線在x、y

兩軸上的截距分別為-

C/A

和

-

C/B；直線的斜率為tg=-

A/B。那么，如何實(shí)現(xiàn)關(guān)于該直線的對(duì)稱變換呢？7/20/202328信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@為了使這個(gè)變換能夠?qū)崿F(xiàn)，首先想到的是：最好能把任意位置直線變成能應(yīng)用基本變換的特殊位置直線。所以整個(gè)變換的實(shí)現(xiàn)過程為：先把任意位置直線變（應(yīng)用基本變換）為特殊位置直線；應(yīng)用基本的對(duì)稱變換矩陣進(jìn)行變換；最后恢復(fù)原狀。（1）讓直線沿x

軸方向平移C/A，使其通過坐標(biāo)系原點(diǎn)。變換矩陣為：7/20/202329信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@（2）讓直線繞坐標(biāo)系原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)-角，使與

x軸重合。變換矩陣為：平移旋轉(zhuǎn)7/20/202330信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@（3）

由于原直線已與x

軸重合，于是對(duì)于直線的對(duì)稱變換即為對(duì)于x

軸的對(duì)稱變換。變換矩陣為：（4）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

角，使直線恢復(fù)到原傾斜位置。變換矩陣為：7/20/202331信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@（5）讓直線沿x軸方向平移-

C/A，使其回到原來位置。變換矩陣為：關(guān)于

x軸的對(duì)稱變換旋轉(zhuǎn)7/20/202332信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@綜合以上的五步，對(duì)任意直線的對(duì)稱變換過程為：其組合變換矩陣：7/20/202333信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@2.繞任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換繞坐標(biāo)原點(diǎn)以外的任意點(diǎn)P(x,y)

的旋轉(zhuǎn)如圖所示。前面介紹的旋轉(zhuǎn)是以坐標(biāo)系原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的，現(xiàn)在的旋轉(zhuǎn)中心P

不在原點(diǎn)，所以不能簡(jiǎn)單地套用上面的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，我們可以通過以下幾個(gè)基本變換來完成。7/20/202334信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@（1）將指定的任意旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P

平移到坐標(biāo)系原點(diǎn)，以使原來的繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為繞坐標(biāo)系原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。其變換矩陣為：（2）使圖形繞坐標(biāo)系原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

角，其變換矩陣為：7/20/202335信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@（3）復(fù)原。使旋轉(zhuǎn)中心從坐標(biāo)系原點(diǎn)平移到原來的位置(x,y)，變換矩陣為：所以，繞任意點(diǎn)P(x,y)的旋轉(zhuǎn)過程為：即組合變換矩陣為：7/20/202336信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@從上述兩個(gè)例子的解題過程可以看到，對(duì)于一般條件下的圖形變換，解決問題的思路可以分為三步：Step1.

分析變換的性質(zhì)；Step2.

分解改變成可用基本變換實(shí)現(xiàn)；Step3.

恢復(fù)原狀態(tài)。7/20/202337信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@3.級(jí)聯(lián)順序?qū)M合變換的影響由于矩陣的乘法運(yùn)算不適用交換律，即兩個(gè)矩陣的左乘和右乘，其結(jié)果是不相等的。所以在矩陣的乘法中，由于先后次序不同，得到的結(jié)果是不同的。這就是說，用基本變換的級(jí)聯(lián)來實(shí)現(xiàn)圖形的組合變換時(shí)，矩陣級(jí)聯(lián)的順序不同，則所得到的最終結(jié)果圖形也不同。下面我們舉例說明矩陣級(jí)聯(lián)的順序?qū)ψ儞Q結(jié)果圖形的影響。7/20/202338信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@給定以平移變換和一旋轉(zhuǎn)變換：先進(jìn)行平移變換，然后再進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，則最后的結(jié)果為：反過來，若先進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，然后再進(jìn)行平移變換，則最后的結(jié)果為：7/20/202339信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@從以上兩個(gè)過程可以看出，兩個(gè)結(jié)果矩陣是明顯不同的。因此，在進(jìn)行組合變換時(shí)，要特別注意基本變換的次序不能搞錯(cuò)。這其實(shí)引出了圖形學(xué)中圖形變換的變換模式問題。事實(shí)上，圖形學(xué)中的圖形變換分為空間模式和圖形模式兩種變換模式。7/20/202340信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@5.2.3窗口到視區(qū)的變換

設(shè)在世界坐標(biāo)系中給定一稱為窗口得矩形區(qū)域，其左下角(xmin

,ymin)和右上角

(xmax

,ymax)確定，另外，在屏幕坐標(biāo)系中指定一矩形區(qū)域，稱為視區(qū)，它的左下角和右上角坐標(biāo)分別為(umin

,vmin)和(umax

,vmax)。所謂窗口到視區(qū)的變換就是將給定窗口中的圖形顯示在屏幕上的視區(qū)中。因此，我們需要進(jìn)行坐標(biāo)變換。這一變換可通過三步來完成：（1）做平移變換，使窗口左下角位于坐標(biāo)原點(diǎn)。相應(yīng)的坐標(biāo)變換矩陣是：7/20/202341信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@y*x*

（2）做縮放變換，使窗口的尺寸與視區(qū)一致。相應(yīng)的變換如下：(xmin,ymin)(xmax,ymax)xy7/20/202342信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@（3）

平移變換設(shè)置視區(qū)的位置，對(duì)應(yīng)的變換矩陣為：y*x*vu視區(qū)7/20/202343信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@vu視區(qū)uv視區(qū)經(jīng)過上述三步，可得到窗口到視區(qū)的變換矩陣：7/20/202344信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@5.2.4組合變換的效率

由上面的討論可以看出，二維圖形的幾何變換都是由平移、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切、縮放、鏡像等基本變換組合而成，其組合變換矩陣形式如下：顯然，用3×3矩陣乘以向量來計(jì)算T·P

需要九次乘法和六次加法，然而，矩陣最后一行的固定結(jié)構(gòu)將實(shí)際運(yùn)算簡(jiǎn)化為：7/20/202345信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@將這一過程簡(jiǎn)化為四次乘法和四次加法。這是意義重大的加速，特別是當(dāng)這個(gè)運(yùn)算被應(yīng)用到每張圖形上數(shù)以千計(jì)甚至數(shù)以萬計(jì)的點(diǎn)上時(shí)。所以，盡管3×3矩陣對(duì)組合二維變換很方便也很有用，但是通過利用最終矩陣的特殊結(jié)構(gòu)我們能夠在程序中最有效地利用它。一些硬件矩陣乘法器具有并行的加法器和乘法器，從而減少或消除了這個(gè)問題。7/20/202346信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@5.3三維圖形變換

三維圖形變換是在二維變換的基礎(chǔ)上增加了對(duì)z坐標(biāo)的考慮而得到的。我們可以通過指定一個(gè)表示物體在三個(gè)坐標(biāo)方向移動(dòng)距離的三維向量來對(duì)物體進(jìn)行平移，也可以用三個(gè)坐標(biāo)軸上的縮放因子來縮放物體。然而，三維旋轉(zhuǎn)變換的擴(kuò)展則不那么簡(jiǎn)單，當(dāng)我們討論xy

平面上的二維旋轉(zhuǎn)時(shí)，只需考慮沿著垂直xy

平面的坐標(biāo)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，而在三維空間，我們可能選擇空間的任意方向作為旋轉(zhuǎn)軸方向。在二維圖形變換中，由于采用了齊次坐標(biāo)表示方法，二維7/20/202347信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@變換矩陣是一個(gè)3×3的方陣。故我們可以聯(lián)想到，在三維變換中，其變換矩陣是一個(gè)4×4的方陣。

三維變換矩陣的一般形式為：我們可以把該三維變換矩陣中的各元素按功能分為四部分,該四部分的功能分別為：7/20/202348信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@（1）實(shí)現(xiàn)比例、對(duì)稱、錯(cuò)切和旋轉(zhuǎn)等基本變換。

（2）[tx,ty,tz]T：實(shí)現(xiàn)三個(gè)坐標(biāo)軸向的平移變換；

（3）[p,q,r]：可以實(shí)現(xiàn)透視變換；

（4）[s]：可以實(shí)現(xiàn)全比例變換。7/20/202349信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@5.3.1三維圖形的基本變換

1.比例變換

三維比例變換的變換矩陣為:（1）當(dāng)

s=1時(shí)，a11、a22、a33三個(gè)元素的值分別表示圖形沿x，y，z

三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的比例因子。其中：若a11=a22=a33，三個(gè)方向上的縮放比例因子相等，圖7/20/202350信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@

形產(chǎn)生等比例的縮放。若a11

≠

a22≠

a33，三個(gè)方向上的縮放比例因子不等，結(jié)果圖形產(chǎn)生畸變，三維圖形產(chǎn)生拉伸和壓縮的效果。（2）當(dāng)s

≠1

時(shí)，設(shè)變換矩陣為：則三維變換結(jié)果為：7/20/202351信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@根據(jù)齊次化，使向量中的第四項(xiàng)元素變?yōu)槌Ａ?/p>

1。則上式變?yōu)椋喝魋>1，則三維圖形沿三個(gè)方向等比例縮?。蝗魋<1，則產(chǎn)生等比例放大的變換。因此，s也稱為全比例變換系數(shù)。

7/20/202352信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@2.鏡像（對(duì)稱）變換三維圖形的對(duì)稱變換主要是以三個(gè)坐標(biāo)面作為對(duì)稱平面的對(duì)稱變換。(1)關(guān)于xoy

坐標(biāo)平面的對(duì)稱變換變換矩陣為：變換結(jié)果為：7/20/202353信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@(2)關(guān)于xoz

坐標(biāo)平面的對(duì)稱變換變換矩陣為：變換結(jié)果為：7/20/202354信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@(3)關(guān)于yoz

坐標(biāo)平面的對(duì)稱變換變換矩陣為：變換結(jié)果為：7/20/202355信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@3.平移變換變換矩陣為：變換結(jié)果為：7/20/202356信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@4.錯(cuò)切變換三維圖形的錯(cuò)切變換，是沿空間三個(gè)坐標(biāo)軸方向發(fā)生錯(cuò)切形成的，按錯(cuò)切方向不同，共分為六種基本情況。(1)沿x

軸方向含y

的錯(cuò)切所謂沿x

軸方向含y

的錯(cuò)切，是指錯(cuò)切平面沿x

軸方向錯(cuò)移并且離開y

軸。變換矩陣為：變換結(jié)果為：7/20/202357信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@(2)沿x

軸方向含

z

的錯(cuò)切錯(cuò)切平面沿

x

軸方向錯(cuò)移并且離開z

軸。變換矩陣為：變換結(jié)果為：7/20/202358信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@沿

x

軸含

y

的錯(cuò)切沿

x

軸含

z

的錯(cuò)切7/20/202359信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@(3)沿y

軸方向含x

的錯(cuò)切錯(cuò)切平面沿y

軸方向錯(cuò)移并且離開x

軸。變換矩陣為：變換結(jié)果為：7/20/202360信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@(4)沿y

軸方向含

z

的錯(cuò)切指錯(cuò)切平面沿y

軸方向錯(cuò)移并且離開z

軸。變換矩陣為：變換結(jié)果為：7/20/202361信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@(5)沿z

軸方向含x

的錯(cuò)切錯(cuò)切平面沿z

軸方向錯(cuò)移并且離開x軸。變換矩陣為：變換結(jié)果為：7/20/202362信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@(6)沿z

軸方向含y

的錯(cuò)切錯(cuò)切平面沿z

軸方向錯(cuò)移并且離開y

軸。變換矩陣為：變換結(jié)果為：7/20/202363信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@5.旋轉(zhuǎn)變換三維圖形的旋轉(zhuǎn)變換，是指繞三個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)角

的正負(fù)按右手法則，如圖所示。

(1)繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞x

軸旋轉(zhuǎn)

角的變換矩陣為：7/20/202364信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@(2)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)繞z

軸旋轉(zhuǎn)

角的變換矩陣為：(3)繞

y

軸旋轉(zhuǎn)繞y軸旋轉(zhuǎn)

角的變換矩陣為：7/20/202365信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@5.3.2三維組合變換

對(duì)于較為復(fù)雜的三維變換，同二維一樣，必須通過若干次三維基本變換的級(jí)聯(lián)才能實(shí)現(xiàn)。下面我們以繞通過坐標(biāo)系原點(diǎn)的任意空間直線的旋轉(zhuǎn)變換為例，來說明復(fù)雜變換的確定。

1.任意軸的方向余弦與旋轉(zhuǎn)變換的關(guān)系如圖所示，設(shè)有空間任意軸

ON，其方向余弦分別為：

n1=cosa

,n2=cosb

,n3=cosg為實(shí)現(xiàn)空間點(diǎn)繞任意軸ON的旋轉(zhuǎn)變換，7/20/202366信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院康寶生bskang@首先要把ON

軸繞z