基本不等式的應(yīng)用同課異構(gòu)

數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)人教A版第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.2基本不等式第2課時(shí)基本不等式的應(yīng)用第一篇教材過關(guān)基本不等式與最大(小)值兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí),它們的積有最大值;兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí),它們的

和有最小值.(1)已知x,y都是正數(shù),如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)①

時(shí),積xy有最大值②

.(2)已知x,y都是正數(shù),如果積xy等于定值P,那么當(dāng)③

時(shí),和x+y有最小值④

.x=y教材研讀x=y思考1:x+

的最小值是2嗎?提示不是.只有當(dāng)x>0時(shí),x+

的最小值才是2.思考2:已知x,y為正數(shù),且

+

=1,求x+y的最小值.下面是某位同學(xué)的解題過程:解:因?yàn)閤>0,y>0,所以1=

+

≥2×

=

,所以

≥4,從而x+y≥2

≥2×4=8.故x+y的最小值為8.請(qǐng)判斷這位同學(xué)的解法是否正確,并說明理由.提示這位同學(xué)的解法是錯(cuò)誤的.理由如下:解題過程中連續(xù)兩次使用基本不等式,但這兩個(gè)不等式中的等號(hào)不能同時(shí)成

立.第一個(gè)不等式當(dāng)且僅當(dāng)

=

=

,即x=2,y=8時(shí),等號(hào)成立;第二個(gè)不等式當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),等號(hào)成立,因此x+y的最小值不能等于8.正確解法:∵x>0,y>0,

+

=1,∴x+y=(x+y)

=1+

+

+4=

+

+5≥2·

+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)

即x=3,y=6時(shí),等號(hào)成立.故x+y的最小值為9.探究一利用基本不等式求最值例1(1)已知m,n>0,且m+n=16,求mn的最大值;(2)已知x>3,求x+

的最小值.解析(1)∵m,n>0,且m+n=16,∴由基本不等式可得mn≤

=

=64,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=8時(shí),等號(hào)成立,∴mn的最大值為64.(2)∵x>3,∴x-3>0,

>0,于是x+

=x-3+

+3≥2

+3=7,當(dāng)且僅當(dāng)x-3=

,即x=5時(shí),等號(hào)成立,故x+

的最小值為7.思維突破1.利用基本不等式求最值,必須按照“一正,二定,三相等”的原則求解.(1)一正:符合基本不等式

≥

成立的前提條件:a>0,b>0.(2)二定:不等式的一邊轉(zhuǎn)換為定值.(3)三相等:必須存在取等號(hào)的條件,即等號(hào)成立.以上三點(diǎn)缺一不可.2.若是求和式的最小值,通?；?或利用)積為定值;若是求積的最大值,通常化

(或利用)和為定值,其解答技巧是恰當(dāng)變形,合理拆分項(xiàng)或配湊因式.跟蹤訓(xùn)練1.(1)若x<0,求

+3x的最大值;(2)若x>2,求

+x的最小值;(3)已知0<x<

,求

x(1-2x)的最大值.解析(1)因?yàn)閤<0,所以

+3x=-

≤-2

=-12,當(dāng)且僅當(dāng)-

=-3x,即x=-2時(shí)等號(hào)成立,所以

+3x的最大值為-12.(2)因?yàn)閤>2,所以x-2>0,

+x=

+x-2+2≥2

+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-2=

,即x=3時(shí)等號(hào)成立,所以

+x的最小值為4.(3)因?yàn)?<x<

,所以1-2x>0,

x(1-2x)=

×2x(1-2x)≤

=

,當(dāng)且僅當(dāng)2x=1-2x,即x=

時(shí)等號(hào)成立,所以

x(1-2x)的最大值為

.探究二利用基本不等式解決實(shí)際問題例2某汽車公司購(gòu)買了4輛大客車,每輛200萬元,用于長(zhǎng)途客運(yùn),預(yù)計(jì)每輛車

每年收入約100萬元,每輛車第一年的各種費(fèi)用約為16萬元,且從第二年開始

每年比上一年所需費(fèi)用要增加16萬元.(1)寫出4輛車運(yùn)營(yíng)的總利潤(rùn)y(萬元)與運(yùn)營(yíng)年數(shù)x(x∈N*)的函數(shù)關(guān)系式;(2)這4輛車運(yùn)營(yíng)多少年可使年平均運(yùn)營(yíng)利潤(rùn)最大?

解析(1)依題意,每輛車運(yùn)營(yíng)x年的總收入為100x萬元,總支出為200+16×(1+2

+…+x)=200+

x(x+1)·16萬元,∴y=4

=16(-2x2+23x-50).(2)年平均運(yùn)營(yíng)利潤(rùn)為

=16

=16×

.∵x∈N*,∴x+

≥2

=10,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)

≤16×(23-20)=48.∴運(yùn)營(yíng)5年可使年平均運(yùn)營(yíng)利潤(rùn)最大,最大運(yùn)營(yíng)利潤(rùn)為48萬元.思維突破在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí),應(yīng)注意的思路和方法:(1)先理解題意,設(shè)出變量,一般把要求最值的量定為因變量;(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題;(3)在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值;(4)根據(jù)實(shí)際背景寫出答案.跟蹤訓(xùn)練2.2016年11月3日20點(diǎn)43分我國(guó)長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭在海南文昌發(fā)射中心成功

發(fā)射,它被公認(rèn)為是我國(guó)從航天大國(guó)向航天強(qiáng)國(guó)邁進(jìn)的重要標(biāo)志.長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)

載火箭的設(shè)計(jì)生產(chǎn)采用了很多新技術(shù)新產(chǎn)品,甲工廠承擔(dān)了某種產(chǎn)品的生產(chǎn),

當(dāng)其以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)時(shí)(為保證質(zhì)量要求1≤x≤10),每小時(shí)可消耗

A材料(kx2+9)千克,已知每小時(shí)生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時(shí),消耗A材料10千克.如果消

耗A材料的總重量為y千克,那么要使生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品消耗A材料最少,工

廠應(yīng)選取何種生產(chǎn)速度?并求出此時(shí)消耗的A材料的重量的最小值.解析由題意,得k+9=10,即k=1,生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品需要的時(shí)間是

,所以生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品消耗的A材料的重量y=

(x2+9)=1000

≥1000×2

=6000,1≤x≤10,當(dāng)且僅當(dāng)x=

,即x=3時(shí),等號(hào)成立,故工廠應(yīng)選取3千克/時(shí)的生產(chǎn)速度,此時(shí)消耗的A材料最少,為6000千克.探究三基本不等式的綜合應(yīng)用例3(1)設(shè)x>0,y>0,且

+

=1,求2x+y的最小值;(2)已知a>0,b>0,若不等式

+

≥

恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值.解析(1)∵x>0,y>0,

+

=1,∴2x+y=

(2x+y)=3+

+

≥3+2

=3+2

,當(dāng)且僅當(dāng)

=

,即y=

x時(shí),等號(hào)成立,∴2x+y的最小值為3+2

.(2)因?yàn)閍>0,b>0,所以2a+b>0,所以要使

+

≥

恒成立,只需m≤(2a+b)·

恒成立,因?yàn)?2a+b)·

=4+

+

+1≥5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立,所以m≤9.故實(shí)數(shù)m的最大值為9.思維突破(1)應(yīng)根據(jù)已知條件適當(dāng)進(jìn)行“拆”“拼”“湊”“合”“變形”,創(chuàng)造應(yīng)用

基本不等式及使等號(hào)成立的條件.當(dāng)連續(xù)應(yīng)用基本不等式時(shí),要注意各不等式

取等號(hào)時(shí)的條件一致,否則不能求出最值.特別注意“1”的代換.(2)若是已知不等式,則需將字母參數(shù)分離出來,轉(zhuǎn)換為求函數(shù)式的最值.求函

數(shù)式的最值時(shí),可能用到基本不等式.變式訓(xùn)練3.(1)(變條件)把例3(1)中的條件變?yōu)閤>0,y>0,且2x+8y=xy,求2x+y的最小值;(2)(變條件)把例3(2)中的條件變?yōu)閍>b>c,且

+

≥

恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值.解析(1)由2x+8y=xy及x>0,y>0,得

+

=1,∴2x+y=(2x+y)

=

+

+18≥2

+18=8

+18,當(dāng)且僅當(dāng)

=

,即x=

y時(shí)等號(hào)成立.∴2x+y的最小值是18+8

.(2)由a>b>c知a-b>0,b-c>0,a-c>0,原不等式等價(jià)于

+

≥m,要使不等式恒成立,只需

+

的最小值不小于m即可.∵

+

=

+

=2+

+

≥2+2

=4,當(dāng)且僅當(dāng)

=

,即2b=a+c時(shí),等號(hào)成立.∴m≤4,即m的最大值為4.1.若正實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=2,則ab的最大值為

()A.1

B.2

C.2

D.4解析

因?yàn)閍,b為正實(shí)數(shù),a+b=2,所以由基本不等式得,ab≤

=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.A課堂檢測(cè)2.設(shè)x>0,則3-3x-

的最大值是

()A.3

B.3-2

C.-1

D.3-2

解析

∵x>0,∴3x+

≥2

=2

,當(dāng)且僅當(dāng)x=

時(shí)取等號(hào),∴-

≤-2

,則3-3x-

≤3-2

,則3-3x-

的最大值是3-2

.故選D.

D3.下列等式中最小值為4的是

()A.y=x+

B.y=2t+

C.y=4t+

(t>0)

D.y=t+

解析

A中,當(dāng)x=-1時(shí),y=-5<4;B中,當(dāng)t=-1時(shí),y=-3<4;C中,∵t>0,∴y=4t+

≥2

=4,當(dāng)且僅當(dāng)t=

時(shí)等號(hào)成立;D中,t=-1時(shí),y=-2<4.故選C.C

4.已知a>0,b>0,a+b=2,則y=

+

的最小值是

()A.

B.4

C.

D.5解析

∵a+b=2,∴

=1.又a>0,b>0,∴

+

=

·

=

+

≥

+2

=

當(dāng)且僅當(dāng)

=

,a+b=2,即a=

,b=

時(shí),等號(hào)成立

.故y=

+

的最小值為

.C5.已知x>0,求y=

的最大值.解析

y=

=

.∵x>0,∴x+

≥2

=2,∴y≤

=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=

,即x=1時(shí)等號(hào)成立.故y=

的最大值為1.邏輯推理——利用基本不等式求最值問題在1=

+

等號(hào)右側(cè)兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母方框處,各填上一個(gè)正整數(shù),并且使這兩個(gè)正整數(shù)的和最小,試求這兩個(gè)正整數(shù).素養(yǎng)探究:解決探究性試題要根據(jù)題設(shè)條件,恰當(dāng)?shù)芈?lián)系相關(guān)知識(shí)(如利用基

本不等式求最值時(shí)應(yīng)構(gòu)造應(yīng)用基本不等式的條件),多方位進(jìn)行探究,探索,尋

求解題的思路,解題過程中體現(xiàn)邏輯推理核心素養(yǎng).素養(yǎng)演練解析設(shè)

+

=1,a,b∈N*,則a+b=(a+b)·1=(a+b)

=1+9+

+

≥10+2

=10+2×3=16,當(dāng)且僅當(dāng)

=

,即b=3a時(shí)等號(hào)成立.又

+

=1,∴

+

=1,∴a=4,b=12.∴這兩個(gè)數(shù)分別是4,12.針對(duì)訓(xùn)練已知正數(shù)x,y滿足x+y