大數(shù)定律及中心極限定理課件

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大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性

一、大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的廢品率……

第1頁/共38頁2二、幾個常見的大數(shù)定律切比雪夫Th1:切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情況第2頁/共38頁3說明

（2）在所給的條件下，當n充分大時，n個隨機變量的算術(shù)平均值與它們的數(shù)學期望有較小的偏差的可能性比較大?？梢钥紤]用算術(shù)平均值作為所研究指標值的近似值。（1）此定理也稱為切比雪夫大數(shù)定理第3頁/共38頁4

證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學工具是切比雪夫不等式.注意切比雪夫不等式第4頁/共38頁5證當X為連續(xù)型隨機變量時,設X的概率密度為f(x),則第5頁/共38頁6說明例=3,P{|X-|<}=P{|X-|<3}0.8889=4,P{|X-|<}=P{|X-|<4}0.9375第6頁/共38頁7例擲一顆骰子1620次，估計“六點”出現(xiàn)的次數(shù)X在250～290之間的概率？解由切比雪夫(Chebyshev)不等式估計第7頁/共38頁8切比雪夫(Chebyshev)定理證明第8頁/共38頁9第9頁/共38頁10定義由此得到定理1的另一種敘述：第10頁/共38頁11Th1′第11頁/共38頁12

定理表明事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件的概率。由實際推斷原理,在實際應用中,當試驗次數(shù)很大時,可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率。Th2：(伯努利大數(shù)定理)說明第12頁/共38頁13Th3:(辛欽定理)說明

伯努利大數(shù)定理是辛欽定理的特殊情況。n個隨機變量的算術(shù)平均值以概率收斂于算術(shù)平均值的數(shù)學期望。第13頁/共38頁14三小結(jié)1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情況2.伯努利定理3.辛欽定理用算術(shù)平均值作為所研究指標值的近似值。事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件的概率n個隨機變量的算術(shù)平均值以概率收斂于算術(shù)平均值的數(shù)學期望。第14頁/共38頁15

中心極限定理一、中心極限定理的客觀背景二、中心極限定理三、小結(jié)第15頁/共38頁16

一、中心極限定理的客觀背景

在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素的影響.第16頁/共38頁17空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，重要的是這些隨機因素的總影響.如瞄準時的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題當n無限增大時，這個和的分布是什么？本節(jié)內(nèi)容第17頁/共38頁18

觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.

自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.第18頁/共38頁19

由于無窮個隨機變量之和可能趨于∞，故不研究n個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨機變量的分布函數(shù)的極限.

在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.第19頁/共38頁201、獨立同分布的中心極限定理二、中心極限定理第20頁/共38頁211.在所給的條件下，當n無窮大時，n個具有期望和方差的獨立同分布的隨機變量之和Yn的分布函數(shù)近似服從標準正態(tài)分布為極限分布。說明2.獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理，也稱列維—林德伯格（Levy－Lindberg）定理.第21頁/共38頁222.李雅普諾夫定理第22頁/共38頁23第23頁/共38頁243.棣莫佛－拉普拉斯定理說明第24頁/共38頁25例1擲一顆骰子1620次，求“六點”出現(xiàn)的次數(shù)X

在250～290之間的概率？4.例題解CDF.BINOM(290,1620,1/6)-CDF.BINOM(250,1620,1/6)=0.8173第25頁/共38頁26例2一加法器同時收到20個噪聲電器Vk(k=1,2,…,20),設它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間(0,10)上服從均勻分布。記求P{V>105}的近似值解E(Vk)=5,D(Vk)=100/12(k=1,2,…,20).近似服從正態(tài)分布N(0,1),第26頁/共38頁271-CDF.NORMAL(105,20*5,SQRT(20*100/12))=0.3493第27頁/共38頁28例3.對敵人的防御地段進行100次炮擊,在每次炮擊中,炮彈命中顆數(shù)的數(shù)學期望為2,均方差為1.5,求在100次炮擊中,有180顆到220顆炮彈命中目標的概率.解:設Xk為第k次炮擊炮彈命中的顆數(shù)(k=1,2,…,100),在100次炮擊中炮彈命中的總顆數(shù)相互獨立地服從同一分布，E(Xk)=2,D(Xk)=1.52(k=1,2,…,100)第28頁/共38頁29隨機變量由中心極限定理得CDF.NORMAL(220,200,15)-CDF.NORMAL(180,200,15)=0.8176第29頁/共38頁30例4對于一個學生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05、0.8、0.15.若學校共有400名學生,設各學生參加會議的家長數(shù)相互獨立,且服從同一分布.求參加會議的家長數(shù)X超過450的概率.(2)求有1名家長來參加會議的學生數(shù)不多于340的概率.第30頁/共38頁31解(1)以Xk(k=1,2,…,400)記第k個學生來參加會議的家長數(shù),其分布律為pk0.050120.80.15XkXk相互獨立地服從同一分布第31頁/共38頁32由中心極限定理得1-CDF.NORMAL(450,400*1.1,SQRT(400*0.19))=0.1257第32頁/共38頁33(2)以Y表示有一名家長來參加會議的學生人數(shù),則Y~B(400,0.8)所以CDF.NORMAL(340,400*0.8,SQRT(400*0.8*0.2))=0.9938第33頁/共38頁34三小結(jié)1.獨立同分布的中心極限定理2.李雅普諾夫定理3.棣莫佛－拉普拉斯定理近似服從標準正態(tài)分布N(0,1)。第34頁/共38頁35一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于3的概率為p=1/3,若船舶遭受了90000次波浪沖擊，問其中有29500～30500次縱搖角度大于3的概率是多少？解將船舶每遭受一次沖擊看作是一次試驗，假定各次試驗是獨立的90000次波浪沖擊中縱搖角大于3的次數(shù)記為X，X~B(90000,1/3),思考題