2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版浙江專版必修2講學(xué)案3直線平面垂直的判定及其性質(zhì)

23直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定課課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高預(yù)習(xí)課本P64?66,思考并完成以下問題直線與平面垂直的定義是怎樣的？.直線與平面垂直的判定定理是什么?.直線與平面所成的角是怎樣定義的?.直線與平面所成的角的范圍是什么?［新知初探］1.直線與平面垂直的定義自然語言：如果直線l與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線 l與平面a互相垂直，記作I丄a.直線l叫做平面a的垂線，平面a叫做直線I的垂面.直線與平面垂直時(shí)，它們惟一的公共點(diǎn)P叫做垂足.圖形語言：如圖.畫直線I與平面a垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.(3)符號(hào)語言：任意a?a,都有I丄a?IXa-［點(diǎn)睛］直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形.注意定義中“任意一條直線”與“所有直線”等同但不可說成“無數(shù)條直線直線與平面垂直的判定定理自然語言：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.⑵圖形語言：如圖所示.(3)符號(hào)語言：a?a,b?a,aAb=P,I丄a,I丄b?I丄a.［點(diǎn)睛］判定定理?xiàng)l件中的“兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語，此處強(qiáng)調(diào) “相交”，若兩條直線平行，則直線與平面不一定垂直.直線與平面所成的角⑴定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.如圖，/PAO就是斜線AP與平面a所成的角.⑵當(dāng)直線AP與平面垂直時(shí)，它們所成的角是 90°.當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，它們所成的角是 0(4)線面角0的范圍：0°W縫90°［點(diǎn)睛］把握定義應(yīng)注意兩點(diǎn)：①斜線上不同于斜足的點(diǎn) P的選取是任意的；②斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段.［小試身手］TOC\o"1-5"\h\z1.判斷下列命題是否正確.(正確的打錯(cuò)誤的打“X” )若直線l垂直于平面a,則I與平面a內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行()若a//b, a? a,I丄a,貝U I丄b( )若a丄b, b± a,則a// a( )答案：⑴X(2)V(3)X2.直線I與平面a內(nèi)的兩條直線都垂直，則直線 I與平面a的位置關(guān)系是( )A.平行 B.垂直D.無法確定C.在平面aD.無法確定解析：選D當(dāng)平面a內(nèi)的兩條直線相交時(shí)，直線內(nèi)的兩直線平行時(shí)，I?a或I/a或I與a垂直或I與3.如圖，/BCA=90°,PC丄平面ABC，則在△在的直線中：(1)與 PC 垂直的 ?(2) 與 AP 垂 直 的 直 線 有

解析：(1)?/PC丄平面ABC,AB,AC,BC?平面ABC.???PC丄AB,PC丄AC,PC丄BC.(2)/BCA=90°，即BC丄AC,又BC丄PC,ACnPC=C,「.BC丄平面PAC,?BC丄AP.答案：(1)AB,AC,BC(2)BCim對(duì)直線與平面垂直的判定定理的理解課堂講練設(shè)計(jì)*舉—能通類觀［典例］下列說法正確的有 （填序號(hào)）.垂直于同一條直線的兩條直線平行；如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直；如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直；若I與平面a不垂直，則平面a內(nèi)一定沒有直線與I垂直.［解析］因?yàn)榭臻g內(nèi)與一條直線同時(shí)垂直的兩條直線可能相交，可能平行，也可能異面，故①不正確.由線面垂直的定義可得，故②正確.因?yàn)檫@兩條直線可能是平行直線，故③不正確.如圖，I與a不垂直，但a?a,I丄a,故④不正確.（1） 對(duì)于線面垂直的定義要注意 直線垂直于平面內(nèi)的所有直線"說法與直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事，后者說法是不正確的，它可以使直線與平面斜交.（2） 判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線.［活學(xué)活用］1.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直，則直線OA垂直于（ ）A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC解析：選C?/OA丄OB,OA丄OC,OBnOC=O,OB,OC?平面OBC,?OA丄平面OBC.2.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊.能保證該直線與平面垂直的是 （填序號(hào)）.

解析：根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直?而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理?xiàng)l件?故填①③④答案：①③④［典例］如圖，在三棱錐［典例］如圖，在三棱錐S-ABC中，/ABC=90中點(diǎn)，且SA=SB=SC.⑴求證：SD丄平面ABC;(2)若AB=BC,求證：BD丄平面SAC.［證明］ ⑴因?yàn)镾A=SC,D是AC的中點(diǎn),所以SD丄AC.在Rt△ABC中，AD=BD,由已知SA=SB,所以△ADS◎△BDS,所以SD丄BD.又ACABD=D,所以SD丄平面ABC.⑵因?yàn)锳B=BC,D為AC的中點(diǎn)，所以BD丄AC.由⑴知SD丄BD.又因?yàn)镾DAAC=D，所以BD丄平面SAC.利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直;確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；根據(jù)判定定理得出結(jié)論.利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直;確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；根據(jù)判定定理得出結(jié)論.［活學(xué)活用］如圖，AB為OO的直徑，PA垂直于OO所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN丄PM,N為垂足.求證：AN丄平面PBM.若AQ丄PB,垂足為Q,求證：NQ丄PB.證明：⑴?/AB為OO的直徑，???AM丄BM.又PA丄平面ABM,?PA丄BM.又???PAnAM=A又???PAnAM=A,.?.BM丄平面PAM.又AN?平面PAM,???BM丄AN.又AN丄PM，且BMnPM=M,AN丄平面PBM.(2)由(1)知AN丄平面PBM,PB?平面PBM,?AN丄PB.又???AQ丄PB,ANnAQ=A,PB丄平面ANQ.又NQ?平面ANQ,?PB丄NQ.題型三直線與平面所成角［典例］三棱錐S-ABC的所有棱長(zhǎng)都相等且為a,求SA與底面ABC所成角的余弦值.［解］如圖，過S作SO丄平面ABC于點(diǎn)O,SO丄CO.TSA=SB=SC=a,△SOA也厶SOB^ASOC,AO=BO=CO,OABC的外心.連接AO,BO,CO.則SO丄AO,SO丄BO,???△ABC為正三角形，?O ABC的中心.?/SO丄平面ABC,?/SAO即為SA與平面ABC所成的角.在Rt△SAO中，SA=a,AO=彳^予二申,?皿SAO=AA?SA與底面ABC所成角的余弦值為求斜線與平面所成的角的步驟（1）作角：作（或找）出斜線在平面上的射影，將空間角 （斜線與平面所成的角）轉(zhuǎn)化為平面角（兩條相交直線所成的銳角），作射影要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過垂足和斜足 （有時(shí)可以是兩垂足）作直線，注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算.（2） 證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角.（3） 計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算.

［活學(xué)活用］在正方體ABCD-AiBiCiDi中,（1） 直線AiB與平面abcd所成的角的大小為 ；（2） 直線AiB與平面ABCiDi所成的角的大小為 ⑶直線AiB與平面ABiCiD所成的角的大小為 解析：⑴由線面角定義知，/AiBA為AiB與平面ABCD所成的角，/AiBA=45⑵如圖，連接AiD,設(shè)AiDAADi=0,連接BO,則易證AiD丄平面ABCiDi,：AiB在平面ABCiDi內(nèi)的射影為OB,aAiB與平面ABCiDi所i成的角為/AiBO.?/AiO=2AiB,：ZAiBO=30°.(3)?/AiB丄ABi,AiB丄BiCi,：AiB丄平面ABiCiD,即AiB與平面ABiCiD所成的角的大小為90課后層級(jí)訓(xùn)練.歩歩提升陡力課后層級(jí)訓(xùn)練.歩歩提升陡力層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo).已知m和n是兩條不同的直線， a和B是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件TOC\o"1-5"\h\z中，一定能推出m丄B的是（ ）A.a//?且m?a B.m//n,且n丄BC.m±n，且n?B D.m丄n,且n/B解析：選BA中，由allB,且m?a,知m//B；B中，由n丄B,知n垂直于平面B內(nèi)的任意直線，再由m/n，知m也垂直于B內(nèi)的任意直線，所以m丄B,符合題意；C、D中，m?B或m/B或m與B相交，不符合題意，故選 B..若兩條不同的直線與同一平面所成的角相等，則這兩條直線 （ ）A.平行 B.相交C.異面 D.以上皆有可能解析：選D在正方體ABCD-AiBiCiDi中，AiA,BiB與底面ABCD所成的角相等，此時(shí)兩直線平行；AiBi,BiCi與底面ABCD所成的角相等，此時(shí)兩直線相交； AiBi,BC與底面ABCD所成的角相等，此時(shí)兩直線異面.故選 D.3.下列四個(gè)命題中，正確的是（ ）若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線與這個(gè)平面垂直；若一條直線平行于一個(gè)平面，則垂直于這條直線的直線必垂直于這個(gè)平面；若一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線垂直于這個(gè)平面，則這兩條直線互相垂直；

若兩條直線垂直，則過其中一條直線有惟一一個(gè)平面與另一條直線垂直.B.②③AB.②③C.②④C.②④解析：選D①②不正確.D.③④5.如圖所示，若斜線段AB是它在平面a上的射影BO5.如圖所示，若斜線段AB是它在平面a上的射影BO的2倍，則AB與平面a所成的角是（ ）A.60°45°C.30°120°解析：選A/ABO即是斜線AB與平面a所成的角,4.如圖，an3=l，點(diǎn)A,C€a,點(diǎn)B€3,且BA丄a,BC丄3,那么直線l與直線AC的關(guān)系是（ ）A?異面 B?平行C.垂直 D.不確定解析：選C?/BA丄a,an3=l,l?a,二BA丄I.同理BC丄l.又BAnBC=B,：l丄平面ABC.vAC?平面ABC,二I丄AC.1在Rt△AOB中，AB=2BO，所以cos/ABO=寸,即/ABO=606.已知直線l,a,b,平面a,若要得到結(jié)論I丄a,則需要在條件a?a,b?a,I丄a,l丄b中另外添加的一個(gè)條件是 .答案：a,b相交

7.如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA丄平面ABC,PA=AB,則直線PB與平面ABC所成的角等于 .解析：因?yàn)镻A丄平面ABC，所以斜線PB在平面ABC上的射影為AB,所以/PBA即為直線PB與平面ABC所成的角.在△PAB中，/BAP=90°,PA=AB,所以/PBA=45°，即直線PB與平面ABC所成的角等于45答案：458.已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面，若PC丄BD，則平行四邊形ABCDr曰解析：如圖，???PA丄平面ABCD,BD?平面ABCD,二BD丄解析：如圖，???PA丄平面ABCD,BD?平面ABCD,二BD丄PA.又BD丄PC,PAnPC=P,???BD丄平面PAC.又AC?平面PAC,「.BD丄AC.二平行四邊形ABCD為菱形.答案：菱形9.如圖，在四面體A-BCD中，/BDC=90°,AC=BD=2,E,分別為AD,BC的中點(diǎn)，且EF=2.求證：BD丄平面ACD.證明：取CD的中點(diǎn)為G,連接EG,FG.又???E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，?FG//BD,EG//AC.AC=BD=2,貝UEG=FG=1.?/EF=2,aEF2=EG2+FG2,?EG丄FG,?BD丄EG.???/BDC=90°,?BD丄CD.又EGnCD=G,「.BD丄平面ACD.10.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AiBiCiDi中，E是AjBi的中點(diǎn)，求直線AE與平面ABCiDi所成的角的正弦值.解：如圖，取CD的中點(diǎn)F，連接EF交平面ABCiDi于O,連接AO,BiC.由ABCD-AiBiCiDi為正方體，易得 BiC丄BCi,BiC丄DiCi,BCinDiCi=Ci,BCi?平面ABCiDi,平面ABCiDi,?BiC丄平面ABCiDi.■A/I￡?/E,F分別為AiBi,CD的中點(diǎn)，?EF//BiC,?EF丄平面ACi，即/EAO為直線AE與平面ABCiDi所成的角.在Rt△EOA中,EO=2ef=企心了,AE=AiE2+AA「 :22+?=令,???sin/EAO=EO=』.AE5?直線AE與平面ABCiDi所成的角的正弦值為 冥5層級(jí)二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.在正方體ABCD-AiBiCiDi中，與ADi垂直的平面是（ ）A.平面DD1C1C B.平面AiDBiC.平面A1B1C1D1 D.平面AiDB答案：b2.下面四個(gè)命題：過一點(diǎn)和一條直線垂直的直線有且只有一條;過一點(diǎn)和一個(gè)平面垂直的直線有且只有一條;過一點(diǎn)和一條直線垂直的平面有且只有一個(gè);過一點(diǎn)和一個(gè)平面垂直的平面有且只有一個(gè).TOC\o"1-5"\h\z其中正確的是（ ）A.①④ B.②③C.①② D.③④解析：選B過一點(diǎn)和一條直線垂直的直線有無數(shù)條，故①不正確；過一點(diǎn)和一個(gè)平面垂直的平面有無數(shù)個(gè)，故④不正確；易知②③均正確.故選 B..設(shè)I,m是兩條不同的直線， a是一個(gè)平面，則下列命題正確的是 （ ）A.若I丄m,m?a,貝UI丄a B.若I丄a,I//m，貝Um±aC.若I//a,m?a,貝yI/m D.若I//a,m//a，貝UI//m解析：選b根據(jù)兩條平行線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，則另一條直線也垂直于這個(gè)平面，知選項(xiàng)B正確.SD丄底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是4.SD丄底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是）A.AC丄SBB.AB//平面SCDC.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角

解析：選D選項(xiàng)A正確，因?yàn)镾D垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD內(nèi)，所以AC垂直于SD;再由ABCD為正方形，所以AC垂直于BD，而BD與SD相交，所以AC垂直于平面SBD，進(jìn)而垂直于SB.選項(xiàng)B正確，因?yàn)锳B平行于CD，而CD在平面SCD內(nèi)，AB不在平面SCD內(nèi)，所以AB平行于平面SCD.選項(xiàng)C正確，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為0,連接SO,則SA與平面SBD所成的角就是/ASO,SC與平面SBD所成的角就是/CS0,易知這兩個(gè)角相等.選項(xiàng)D錯(cuò)誤，AB與SC所成的角等于/SCD，而DC與SA所成的角是/SAB，這兩個(gè)角不相等.5.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AiBiCiDi中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BBi的中點(diǎn)，則直線EF與平面ABCD所成角的正切值為 .解析：連接EB，由BB1±平面ABCD，知/FEB即直線EF與平面ABCD所成的角.在Rt△FBE中，BF=1,BE=5,貝Utan/FEB=嚴(yán).答案:6.如圖所示，將平面四邊形ABCD沿對(duì)角線AC折成空間四邊形，當(dāng)平面四邊形ABCD滿足 時(shí)，空間四邊形中的兩條對(duì)角線互相垂直. （填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能情況 ）解析：在平面四邊形中，設(shè)AC與BD交于E，假設(shè)AC丄BD，貝UAC丄DE,AC丄BE.折疊后，AC與DE,AC與BE依然垂直，所以AC丄平面BDE，所以AC丄BD.若四邊形ABCD為菱形或正方形，因?yàn)樗鼈兊膶?duì)角線互相垂直，同上可證AC丄BD.答案：AC丄BD（或四邊形ABCD為菱形、正方形等）7.如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，/BAC=90°,AB=AC=AAi.（1）求證：AB1丄平面A1BC1.⑵若D為B1C1的中點(diǎn)，求AD與平面A1B1C1所成角的正弦值.解：（1）證明：由題意知四邊形AA1B1B是正方形，AB1丄BA1.由AA1丄平面A1B1C1得AA1丄A1C1.又.A1C1丄A1B1,AA1nA1B1=a*,???AiCi丄平面AAiBiB,又???ABi?平面AAiBiB,

--AiCi丄ABi.又???BAiAAiCi=Ai,「.ABi丄平面AiBCi.(2)連接AiD.設(shè)AB=AC=AAi=i,???AAi丄平面AiBiCi,???/AiDA是AD與平面AiBiCi所成的角.在等腰直角三角形AiBiCi中，D為斜邊的中點(diǎn),?AiD=2xBiCi=甲.?sin/A1da=AiA品AD="3在Rt△AiDA中，AD=AiD?sin/A1da=AiA品AD="3即AD與平面AiBiCi所成角的正弦值為8.如圖，直三棱柱ABC-AiBiCi中，AC=BC=1,/ACB=90°,AAi=■.2,D是AiBi的中點(diǎn).求證CiD丄平面AAiBiB;當(dāng)點(diǎn)F在BBi上的什么位置時(shí)，會(huì)使得 ABi丄平面CiDF?并證明你的結(jié)論.證明：(1)?/ABC-AiBiCi是直三棱柱,A1C1=B1C1=1，且/A1C1B1=90°.又D是AiBi的中點(diǎn)，CiD丄AiBi.???AAi丄平面AiBiCi,CiD?平面AiBiCi,AAi丄CiD，又AiBiACiD=D,CiD丄平面AAiBiB.⑵作DE丄ABi交ABi于E,延長(zhǎng)DE交BBi于F，連接CiF，則ABi丄平面SDF，點(diǎn)F為所求.?「CiD丄平面AAiBiB,ABi?平面AAiBiB,：CiD丄ABi.又ABi丄DF,DFACiD=D,?ABi丄平面CiDF.「AAi=AiBi=.2,「.四邊形AAiBiB為正方形.又D為AiBi的中點(diǎn)，DF丄ABi,「.F為BBi的中點(diǎn)，?當(dāng)點(diǎn)F為BBi的中點(diǎn)時(shí)，ABi丄平面CiDF.2.3.2平面與平面垂直的判定

課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高預(yù)習(xí)課本P67?69,思考并完成以下問題1.二面角的定義、表示分別是怎樣的？2.二面角的平面角的定義、范圍分別是怎樣的？3.面面垂直是怎樣定義的？4.面面垂直的判疋疋理的內(nèi)容是什么？［新知初探］1.二面角⑴定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角(如圖).直線AB叫做二面角的棱，半平面a和B叫做二面角的面.記法：a-AB-B,在a,B內(nèi)，分別取點(diǎn)P,Q時(shí)，可記作P-AB-Q;當(dāng)棱記為I時(shí)，可記作a-l-6或P-I-Q.(2)二面角的平面角：①定義：在二面角 a-l-6的棱I上任取一點(diǎn)0,如圖所示，以點(diǎn)0為垂足，在半平面a和6內(nèi)分別作垂直于棱I的射線0A和0B,則射線0A和0B構(gòu)成的/A0B構(gòu)成的/A0B叫做二面角的平面角.②直二面角：平面角是直角的二面角.［點(diǎn)睛］二面角的平面角的定義是兩條二面角B的取值范圍是0°< 180°.射線”的夾角，不是兩條直線的夾角，因此,2.平面與平面垂直(1)面面垂直的定義①定義：如果兩個(gè)平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.②畫法:

記作：a丄3(2)兩平面垂直的判定定理：文字語言：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.圖形語言：如圖.符號(hào)語言：AB丄3ABA3=B,AB?a?a丄3［點(diǎn)睛］定理的關(guān)鍵詞是“過另一面的垂線”，所以應(yīng)用的關(guān)鍵是在平面內(nèi)尋找另一個(gè)面的垂線.［小試身手］TOC\o"1-5"\h\z判斷下列命題是否正確.(正確的打錯(cuò)誤的打“X” )若I丄a,則過I有無數(shù)個(gè)平面與a垂直( )兩垂直的平面的二面角的平面角大小為 90°( )答案：⑴V(2)V.在二面角al-3的棱I上任選一點(diǎn)0,若/AOB是二面角a-l-3的平面角，則必須具有的條件是( )A0丄BO,AO?a,BO?3AO丄I,BO丄IAB丄I,AO?a,BO?3D.AO丄I,BO丄I,且AO?a,BO?3答案：D.對(duì)于直線m,n和平面a,3,能得出a丄3的一組條件是( )A.m±n, m〃a, nII 3 B. m丄n, aA3=m,n? 3C.mln, n丄3 m? a D. mIn, m±a,n丄3解析：選CA與D中a也可與3平行，B中不一定a丄3故選C.ABCDABCD為菱形，/ABC=120°,E,F是BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE題型一［典例］如圖，四邊形平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，=2DF,AE丄EC.證明：平面AEC丄平面AFC.［證明］如圖，連接BD，設(shè)BDAAC于點(diǎn)G,連接EG,FG,EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1.由/ABC=120°，可得AG=GC=■3.由BE丄平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AE丄EC,所以EG=■3，且EG丄AC.在Rt△EBG中，可得BE=2,故DF=說在Rt△FDG中，可得在直角梯形BDFE中，由BD=2,BE=2,DF可得EF=乎.從而EG2+FG2=EF2,所以EG丄FG.又ACAFG=G,所以EG丄平面AFC.因?yàn)镋G?平面AEC，所以平面AEC丄平面AFC.證明平面與平面垂直的方法：利用定義：證明二面角的平面角為直角；利用面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直.根據(jù)面面垂直的定義判定兩平面垂直，實(shí)質(zhì)上是把問題轉(zhuǎn)化成了求二面角的平面角，通常情況下利用判定定理要比定義簡(jiǎn)單些，這也是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直，只要轉(zhuǎn)證線面垂直，其關(guān)鍵與難點(diǎn)是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一直線與另一平面垂直.［活學(xué)活用］1.如圖，已知PA丄矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有( )

A.1對(duì) B.2對(duì)C.3對(duì) D.5對(duì)解析：選D?/DA丄AB,DA丄PA,二DA丄平面PAB.同理BC丄平面PAB,又AB丄平面PAD,???DC丄平面PAD,???平面PAD丄平面AC,平面PAB丄平面AC面PAD,???DC丄平面PAD,???平面PAB，平面PAB丄平面PAD，平面PDC丄平面PAD，共5對(duì).如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，是PA的中點(diǎn)，求證：平面BDE丄平面ABCD.證明：連接AC,設(shè)ACABD=0,連接0E.因?yàn)?為AC中點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn)，所以E0是厶PAC的中位線,所以E0//PC.因?yàn)镻C丄平面ABCD,所以E0丄平面ABCD.又因?yàn)镋0?平面BDE,所以平面BDE丄平面ABCD..面角的求法［典例］ ⑴如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中：二面角D'-AB-D的大小為 . 再二面角A'-AB-D的大小為 .A(2)如圖，已知Rt△ABC，斜邊BC?a,點(diǎn)A?a,A0丄a,0為垂足，/AB0=30°,/AC0=45°，求面角A-BC-0的大小.［解析］ ⑴①在正方體ABCD-A'B'C'D'中,AB丄平面AD所以AB丄AD',AB丄AD,因此/D'AD為二面角D'AB-D的平面角.在Rt△D'DA中，/D'AD=45°，所以二面角D'AB-D的大小為45°.②因?yàn)锳B丄平面AD,所以AB丄AD,AB丄AA',因此/A'AD為二面角A'AB-D的平面角，又/A'AD=90°，所以二面角A'AB-D的大小為90°.［答案］①45° ②90⑵解：如圖，在平面a內(nèi)，過O作OD丄BC,垂足為點(diǎn)D，連接AD,設(shè)CO=a.?/AO丄a,BC?a,?AO丄BC.又AOAOD=O,「.BC丄平面AOD.

而AD?平面AOD,???AD丄BC,「./ADO是二面角A-BC-0的平面角.由AO丄a,OB?aOC?a,知AO丄OB,AO丄OC.???/ABO=30°，/ACO=45°,CO=a,?-AO=a,AC=2a,AB=2a.在Rt△ABC中，/BAC=90°,?BC=AC2+AB2=6a,AD=ABAC

BC2a逗a=AD=ABAC

BC2a逗a=瘀

，6a 3a.在Rt△AOD中,sin/ADO=AOAD23 2.Va???/ADO=60°，即二面角A-BC-O的大小是60定義法：在二面角的棱上找一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)過該點(diǎn)分別作垂直于棱的射線.垂面法：過棱上一點(diǎn)作與棱垂直的平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面形成交線，這兩條射線(交線)所成的角，即為二面角的平面角.(3)垂線法：利用線面垂直的性質(zhì)來尋找二面角的平面角，這是最常用也是最有效的一種方法.［活學(xué)活用］如圖，把等腰直角三角形ABC沿斜邊如圖，把等腰直角三角形ABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至△ABD的位置,使CD=AC.⑴求證：平面ABD丄平面ABC.⑵求二面角C-BD-A的余弦值.解：(1)證明：取AB的中點(diǎn)O,連接OD,???△ABD是等腰直角三角形，連接OC,同理得CO丄AB,?DO丄連接OC,同理得CO丄AB,且COn^AC,???AD=AC」DO=CO—AC.2?/CD=AC,「.DO2+CO2=CD2,?△CDO為等腰直角三角形，DO丄CO,又ABACO=O,「.DO丄平面ABC.又???DO?平面ABD，?平面ABD丄平面ABC.

⑵取BD的中點(diǎn)E，連接CE,OE.?/△BCD為等邊三角形，???CE丄BD.又???△BOD為等腰直角三角形，?OE丄BD.???/OEC為二面角C-BD-A的平面角.由⑴可證得OC丄平面ABD,?OCXOE.?△COE為直角三角形.設(shè)BC=1,貝UCE=~23,OE=1,?cos/OEC=°f詔，即二面角C-BD-A的余弦值為爭(zhēng)3題型三［典例］如圖，在矩形ABCD中，AB=.2,BC=2,E為BC的中點(diǎn)，把△ABE和厶CDE分別沿AE,DE折起，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P.(1)求證：平面PDE丄平面PAD;⑵求二面角P-AD-E的大小.［解］(1)證明：由AB丄BE,得AP丄PE,同理，DP丄PE.又???APnDP=P,.?.PE丄平面PAD.又PE?平面PDE,?平面PDE丄平面PAD.⑵如圖所示，取AD的中點(diǎn)F，連接PF,EF，貝UPF丄AD,EF丄AD,?/PFE就是二面角P-AD-E的平面角.又PE丄平面PAD,?PE丄PF.?/EF=AB= 2,PF= 22-1=1,?cos/PFE=EF="22.面角P-AD-E的大小為45折疊問題，即由平面圖形經(jīng)過折疊成為立體圖形，在立體圖形中解決有關(guān)問題.解題過程中，一定要抓住折疊前后的變量與不變量.

［活學(xué)活用］1如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=2AD,E是AD的中點(diǎn)，沿BE將厶ABE折起A'BE丄平面BCDE.至厶A'BE的位置，使A'C=AA'BE丄平面BCDE.1TAB=2AD,E是AD的中點(diǎn),連接A'M,A1TAB=2AD,E是AD的中點(diǎn),???AB=AE,即卩A'B=A'E.???A'N丄BE.tA'C=A'D,?A'M丄CD.在四邊形BCDE中，CD丄MN,又???MNnA'M=M,?CD丄平面A'MN,?CD丄A'N.1tDE//BC且DE=2BC,「.BE必與CD相交.又???A'N丄BE,A'N丄CD,?A'N丄平面BCDE.又???A'N?平面A'BE，?平面A'BE丄平面BCDE.課后層級(jí)訓(xùn)練.步歩提升隨力課后層級(jí)訓(xùn)練.步歩提升隨力層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1.從空間一點(diǎn)P向二面角a-l-B的兩個(gè)面a,3分別作垂線PE,PF,E,F為垂足，若EPF=60°,則二面角a-l-3的平面角的大小是（ ）A.60°B.120°C.60°或120°D.不確定解析：選C若點(diǎn)P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°;若點(diǎn)P在二面角外，則.面角的平面角為60°2.如果直線l,m與平面a,3,丫滿足：3ny=l,l//a,m?a和m丄Y那么必有（)A.a丄丫且1丄mB.a丄丫且m/3C.m/3且l丄mD.a/3且a丄丫解析：選AB錯(cuò)，有可能m與3相交；C錯(cuò)，有可能m與3相交；D錯(cuò)，有可能a與

3.已知直線a,b與平面a,3,Y下列能使a丄B成立的條件是（ ）A.a丄y3丄y B.ad3=a,b丄a,b?3C.a//3a//a D.a//a,a丄3解析：選D由a//a,知a內(nèi)必有直線l與a平行.而a丄3,I丄3,-a丄34?如圖，四邊形ABCD中，AD//BC,AD=AB,/BCD=45°,/BAD=90°,將厶ABD沿BD折起，使平面ABD丄平面BCD,構(gòu)成幾何體A-BCDABD沿BD折起，使平面列結(jié)論正確的是（ ）A.平面ABD丄平面ABCB.平面ADC丄平面BDCC.平面ABC丄平面BDCD.平面ADC丄平面ABC解析：選D由已知得BA丄AD,CD丄BD,ABD,又平面ABD丄平面BCD,???CDABD,從而CD丄AB,故AB丄平面ADC.又AB?平面ABC,又AB?平面ABC,?平面ABC丄平面ADC.5.在正方體ABCD-AiBiCiDi中,截面AiBD與底面ABCD所成二面角Ai-BD-A的正切值為（ ）bFC.2解析：選CD.3C.2解析：選CD.3如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O,連接AiO,O為BD中點(diǎn),???AiD=AiB,???在厶AiBD中,AiO丄BD.又???在正方形ABCD中，AC丄BD,?/AiOA為二面角Ai-BD-A的平面角.設(shè)AAi=i,則AO=-^.?tan/AiOA=；=.2.26.如果規(guī)定：x=y,y=z,貝Ux=z,叫作x,y,z關(guān)于相等關(guān)系具有傳遞性，那么空間三個(gè)平面a,3,丫關(guān)于相交、垂直、平行這三種關(guān)系中具有傳遞性的是 .

解析：由平面與平面的位置關(guān)系及兩個(gè)平面平行、垂直的定義、判定定理，知平面平行具有傳遞性，相交、垂直都不具有傳遞性.答案：平行7.在正方體ABCD-AiBiCiDi中，E是CC,的中點(diǎn)，則平面EBD與平面AAiCiC的位置關(guān)系是 .（填“垂直”“不垂直”其中的一個(gè) ）解：如圖，在正方體中，CCi丄平面ABCD,???CCi丄BD.又AC丄BD,CCiAAC=C,?BD丄平面AAiCiC.又BD?平面EBD,?平面EBD丄平面AAiCiC.答案：垂直8.若P是厶ABC所在平面外一點(diǎn)，而△PBC和厶ABC都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA=Q6,那么二面角P-BC-A的大小為 .解析：如圖，取BC的中點(diǎn)0,連接OA,OP,則/POA為二面角P-BC-A的平面角，OP=0A=3,PA=,6,所以△P0A為直角三角形，/P0A=90°.答案：909.如圖，在圓錐P0中，AB是O0的直徑，C是AB上的點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn).證明:平面P0D丄平面PAC.證明：如圖，連接0C，因?yàn)?A=0C，D是AC的中點(diǎn)，所以AC丄0D.又P0丄底面ABC，AC?底面ABC，所以AC丄P0.因?yàn)?D，P0是平面P0D內(nèi)的兩條相交直線，所以AC丄平面P0D.又AC?平面PAC，所以平面P0D丄平面PAC.10.如圖所示，在△ABC中，AB丄BC，SA丄平面ABC，DE垂直平分SC，且分別交AC，SC于點(diǎn)D，E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的大小.解：?/E為SC中點(diǎn)，且SB=BC，?BE丄SC.又DE丄SC，BEnDE=E，?SC丄平面BDE，?BD丄SC.

又SA丄平面ABC，可得SA丄BD.又sensa=s,???BD丄平面SAC，從而BD丄AC,BD丄DE,???/EDC為二面角E-BD-C的平面角.設(shè)SA=AB=1.在厶ABC中，TAB丄BC,?SB=BC=2,AC=,3,「.SC=2.在Rt△SAC中，/DCS=30???/EDC=60°，即二面角E-BD-C為60°.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.（浙江咼考）設(shè)a,3是兩個(gè)不同的平面， l,m是兩條不同的直線，且 I?a,m?TOC\o"1-5"\h\z3（ ）A.若I丄3,y a丄3 B.若a丄3貝U I丄mC.若I// 3,貝U a// 3 D.若 a// 3 貝y I//m解析：選A I丄3I?a,?a丄3面面垂直的判定定理），故A正確.2.一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系為（)A.相等B.互補(bǔ)C?相等或互補(bǔ)D.不確定TOC\o"1-5"\h\z解析：選D反例：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是CD,C1D1的中點(diǎn)，二面角D-AA1-E與二面角B1-AB-D的兩個(gè)半平面就是分別對(duì)應(yīng)垂直的，但是這兩個(gè)二面角既不相等，也不互補(bǔ)，故選 D.3.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,/ABC=90°,AD:BC:AB=2:3:4,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折.給出四個(gè)結(jié)論：①DF丄BC;②BD丄FC;③平面DBF丄平面BFC;④平面DCF丄平面BFC.在翻折的過程中，可能成立的結(jié)論是 （ ）B.②③AB.②③C.②④DC.②④解析：選B對(duì)于①，因?yàn)锽C//AD,AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，故①不可能成立；對(duì)于②，如圖，設(shè)點(diǎn) D的在平面BCF上的射影為點(diǎn)P,當(dāng)BP丄CF時(shí)，有BD丄FC，而AD:BC:AB=2:3:4可使條件滿足，故②可能成立；對(duì)于③，當(dāng)點(diǎn)P落在BF上時(shí)，DP?平面BDF，從而平面BDF丄平面BCF，故③可能成立；對(duì)于④，因?yàn)辄c(diǎn) D的射影不可

4.如圖，在四面體P-ABC中，AB=AC,PB=PC,D,E,F分別是棱AB,BC,CA的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不一定成立的是 （ ）BC//平面PDFDF丄平面PAEC.平面PDF丄平面PAE解析：選D因?yàn)镈,F分別為AB,解析：選D因?yàn)镈,F分別為AB,AC的中點(diǎn)，則DF ABC的中位線，則BC//DF，依據(jù)線面平行的判定定理，可知 BC/平面PDF,A成立?又E為BC的中點(diǎn)，且PB=PC,AB=AC,貝UBC丄PE,BC丄AE，依據(jù)線面垂直的判定定理，可知 BC丄平面PAE.因?yàn)锽C//DF，所以DF丄平面PAE,B成立.又DF?平面PDF，則平面PDF丄平面PAE,C成立.要使平面PDF丄平面ABC，已知AE丄DF，則必須有AE丄PD或AE丄PF，由條件知此垂直關(guān)系不一定成立，故選 D.5.正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為23,側(cè)棱與底面所成角為60°,則該四棱錐的高為解析：如圖，過點(diǎn)S作SO丄平面ABCD，連接0C,則/SCO=60X23=3.???S0=sinX23=3.答案：36.如圖，二面角a-l-B的大小是60°,線段AB?a,B€l,AB與I所成的角為30°,則AB與平面B所成的角的正弦值是 .解析：如圖，作AO丄B于O,AC丄l于C,連接OB,OC,則OC丄l.設(shè)AB與丄l.設(shè)AB與B所成的角為0,則/ABO=0,由圖得sin0=AO_ACAO

AB_ABAC=sin30°sin603答案:7.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,ACABD_O.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使AC_a，得到三棱錐A-BCD，如圖.⑴當(dāng)a_2時(shí)，求證：AO丄平面BCD.⑵當(dāng)二面角A-BD-C的大小為120。時(shí)，求二面角A-BC-D的正切值.解：（1）證明：在厶AOC中，AC=a=2,AO=CO=2.???AC2=AO2+CO2,「.AO丄CO.?/AO丄BD,BDACO=O,?AO丄平面BCD.(2)折疊后，BD丄AO,BD丄CO,：/AOC是二面角A-BD-C的平面角，即/AOC=120°.在厶AOC中，AO=CO=2,?-AC=、J6.如圖，過點(diǎn)A作CO的垂線交線段CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.?/BD丄CO,BD丄AO,COAAO=O,?BD丄平面AOC.?/AH?平面AOC,?BD丄AH.又???CO丄AH,COABD=O,：AH丄平面BCD.?AH丄BC.過點(diǎn)A作AK丄BC,垂足為K,連接HK.?/AKAAH=A,?BC丄平面AHK.?/HK?平面AHK,?BC丄HK.?/AKH為二面角A-BC-D的平面角.心AHO中，AH=于,OH記?CH?CH=CO+OH=T=竽.在Rt△CKH中，HK=~22CH=2.在Rt△AHK中，tan/AKH在Rt△AHK中，tan/AKHHK=3=亍2面角A-BC-D的正切值為8.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，/=90

AD//BC,AB=BC=1,AD=2,PA丄底面ABCD,PD與底面成45°角，點(diǎn)E是PD的中占I八、、?⑴求證：BE丄PD.⑵求二面角P-CD-A的余弦值.解：（1）證明：連接AE.?/PA丄底面ABCD,???/PDA是PD與底面ABCD所成的角，???/PDA=45°.???PA=DA.又???點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，?AE丄PD.?/PA丄底面ABCD,AB?底面ABCD,?PA丄AB.???/BAD=90°,?BA丄DA.又???PAAAD=A,?BA丄平面PDA.又???PD?平面PDA,?BA丄PD.又???BAAAE=A,?PD丄平面ABE.?/BE?平面ABE,?BE丄PD.⑵連接AC.在直角梯形ABCD中，AB=BC=1,AD=2,AC=CD=,2.tAC2+CD2=AD2,?AC丄CD.又???PA丄底面ABCD,CD?底面ABCD,?PA丄CD.?/ACAPA=A,?CD丄平面PAC.又???PC?平面PAC,?PC丄CD,???/PCA為二面角P-CD-A的平面角.在Rt△PCA中，PC=PA2+AC2=22+22=6.?cos/PCA=AC_返=逅PC=6=3.?所求的二面角的余弦值為2.3.3&2.3.4 直線與平面垂直的性質(zhì)、平面與平面垂直的性質(zhì)課前口主學(xué)月「基穩(wěn)才能樓高課前口主學(xué)月「基穩(wěn)才能樓高直線與平面垂直的性質(zhì)定理是什么?2.面面垂直的性質(zhì)定理是什么?［［新知初探］1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)文字語言：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.(2)圖形語言:(3)(3)符號(hào)語言:(4)作用：線面垂直？線線平行；作平行線.［點(diǎn)睛］(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法.(2)定理揭示了空間中 “平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù).平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.圖形語言：(3)符號(hào)語言:a丄0adAIa?a(4)作用：①面面垂直？線面垂直;

②作面的垂線.［點(diǎn)睛］對(duì)面面垂直的性質(zhì)定理的理解定理的實(shí)質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直.已知面面垂直時(shí)，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直.［小試身手］TOC\o"1-5"\h\z1.若a,b表示直線，a表示平面，下列命題中正確的個(gè)數(shù)為 ( )①a丄a,b//a?a丄b;②a丄a,a丄b?b//a;③a//a,a丄b?b丄a;④a丄a,b±a?a//b.A.1 B.2 C.3 D.0解析：選B由線面垂直的性質(zhì)知①、④正確.②中 b可能滿足b?a,故②錯(cuò)誤；③中b可能與a相交(不垂直)，也可能平行，故③不正確.2.兩個(gè)平面互相垂直，一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面 ( )A.垂直 B.平行C.斜交 D.以上都有可能答案：D3.平面a丄平面B,aA3=l,n?B,n丄I,直線m丄a,則直線m與n的位置關(guān)系是解析：由題意知n丄a,而m丄a,???m/n.答案：平行線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用課堂講練設(shè)計(jì)*舉—能通類趣［典例］如圖，已知正方體A!C.求證：AiC丄BiDi.M,N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn)，且證：MN//AQ［證明］⑴如圖，連接A1C1.CC1丄平面A1b1c1D1,B1D1?平面A1B1C1D1,-CC1丄Bq1.???四邊形A1B1C1D1是正方形，A1C1丄B1D1.^又-CC1AA1C1=C1,

???BiDi丄平面AiCiC.又TAiC?平面AiCiC,：B1D1丄AiC.⑵如圖，連接BiA,ADi.tBiCi綊AD,?四邊形ADCiBi為平行四邊形，CiD//ABi.???MN丄CiD,?MN丄ABi.又TMN_LBiDi,ABiABiDi=Bi,MN丄平面ABiDi.由⑴知AiC丄BiDi.同理可得AiC丄ABi.又TABiABiDi=Bi,AiC丄平面ABiDi.AiC/MN.若已知一條直線和某個(gè)平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行， 可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個(gè)平面垂直，證明時(shí)注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì).直線與平面垂直的其他性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面垂直，則這條直線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線垂直.若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.若I丄a于A,AP丄I,貝UAP?a垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則它必垂直于另一個(gè)平面.［活學(xué)活用］如圖所示，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，M是AB上一點(diǎn)，N是AiC的中點(diǎn)，MN丄平面AiDC.求證：(i)MN//ADi;(2)M是AB的中點(diǎn).證明：⑴T四邊形ADDiAi為正方形，?ADi丄AiD.又tCD丄平面ADDiAi,^cd丄ADi.tAiDACD=D,?ADi丄平面AiDC.又tMN丄平面AiDC,?MN//ADi.

⑵連接ON，在△AiDC中，AiO=OD,AiN=NC,1 i???on綊2Cd綊2AB.???ON//AM.又???MN//OA,?四邊形AMNO為平行四邊形.???ON=AM.11???on=‘AB,：am=2AB.rra面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用［典例］已知P是厶ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA丄平面ABC面PACrra面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用［典例］已知P是厶ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA丄平面ABC面PAC丄平面PBC，求證：BC丄AC.［證明］如圖，在平面PAC內(nèi)作AD丄PC于點(diǎn)D,?平面PAC丄平面PBC,AD?平面PAC，且AD丄PC,AD丄平面PBC,又BC?平面PBC,?AD丄BC.?/PA丄平面ABC,BC?平面ABC,?PA丄BC,?/ADnPA=A,：BC丄平面PAC,又AC?平面PAC,?BC丄AC.若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的性質(zhì)定理將其轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，注意三點(diǎn)： ①兩個(gè)平面垂直是前提條件； ②直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)； ③直線必須垂直于它們的交線.［活學(xué)活用］如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，且/DAB=60°側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD的中點(diǎn)，求證：BG丄平面PAD;⑵求證：AD丄PB.證明：(1)如圖，在菱形ABCD中,連接BD,由已知/DAB=60???△ABD為正三角形,?/G是AD的中點(diǎn)，連接BD,由已知/DAB=60???△ABD為正三角形,?/G是AD的中點(diǎn)，?BG丄AD.???平面PAD丄平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,?BG丄平面PAD.⑵如圖，連接PG.?PG丄AD,由(1)知BG丄AD.又???PGnBG=G.aAD丄平面PBG.而PB?平面PBG,?AD丄PB.垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用［典例］如圖，在△BCD中，/BCD=90°,BC=CD=1,AB丄平面BCD,/ADB=60°,E,F分別是AC,AD上的動(dòng)點(diǎn)，且40<床1).(1)求證：無論入為何值，總有平面BEF丄平面ABC.⑵當(dāng)入為何值時(shí)，平面BEF丄平面ACD?［解］(1)證明：IAB丄平面BCD,CD⑵當(dāng)入為何值時(shí)，平面BEF丄平面ACD??AB丄CD.?/CD丄BC,ABnBC=B,「.CD丄平面ABC.AEAF又一AC=AF=e"，?無論入為何值，恒有EF//CD,?EF丄平面ABC.又???EF?平面BEF,?無論入為何值，總有平面BEF丄平面ABC.(2)由(1)知?無論入為何值，總有平面BEF丄平面ABC.???平面BEF丄平面ACD，平面BEFn平面ACD=EF,?BE丄平面ACD.又???AC?平面ACD,?BE丄AC.BC=CD=1,ZBCD=ZABD=90°，/ADB=60?BD= 2,「.AB=2tan60°=6,?AC=AB2+BC2= 7.由Rt△AEBsRt△ABC，得AB 證明：CD丄平面Ai 證明：CD丄平面AiOC; 當(dāng)平面A1BE丄平面BCDE時(shí)，四棱錐A1-BCDE的體積為36.2，求a的值.解：(1)證明：在圖(1)中，因?yàn)锳B=BC=^AD=a，E是AD的中點(diǎn)，/BAD=亍，所以BE丄AC.即在圖(2)中，BE丄A1O，BE丄0C，從而BE丄平面A1OC.又CD/BE，所以CD丄平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE丄平面BCDE，且平面A1BEn平面BCDE=BE，又由⑴可得A1O丄BE，所以A1O丄平面BCDE.即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.AE=AE=6 —AE_7，.=AC=故當(dāng)｝=6時(shí)，平面BEF丄平面ACD.(1)空間中的垂直關(guān)系有線線垂直、線面垂直、面面垂直，這三種關(guān)系不是孤立的，而是相互關(guān)聯(lián)的.它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：線線垂直判定定理線面垂直定義1”并審■擊 判定定理線面垂直性質(zhì)定理面面垂直(2)空間問題化成平面問題是解決立體幾何問題的一個(gè)基本原則，解題時(shí)，要抓住幾何圖形自身的特點(diǎn)，如等腰(邊)三角形的三線合一、中位線定理、菱形的對(duì)角線互相垂直等.還可以通過解三角形，產(chǎn)生一些題目所需要的條件，對(duì)于一些較復(fù)雜的問題，注意應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決問題.［活學(xué)活用］n 1(陜西高考)如圖(1)，在直角梯形ABCD中，AD//BC,/BAD=寸，AB=BC=?AD=a,E是AD的中點(diǎn)，0是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到圖(2)中厶AiBE的位置，得到四棱錐Ai-BCDE.

由圖⑴知，AiO=~22AB^22a，平行四邊形BCDE的面積S=BCAB=a2,從而四棱錐Ai-BCDE的體積為V=isAiO= a2疔a=詐.由fa—362,得a=6.課后層級(jí)訓(xùn)練.步歩提升隨力課后層級(jí)訓(xùn)練.步歩提升隨力層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)TOC\o"1-5"\h\z1.設(shè)I是直線，a，B是兩個(gè)不同的平面（ ）A.若I//a, I//B, Ua//B B.若I//a,I丄B,貝U a丄 BC.若a丄B, I丄a,貝VI丄B D.若a丄B,I//a,貝V I丄B解析：選B對(duì)于選項(xiàng)A，兩平面可能平行也可能相交；對(duì)于選項(xiàng)C,直線I可能在B內(nèi)也可能平行于B;對(duì)于選項(xiàng)D,直線I可能在B內(nèi)或平行于B或與B相交..已知平面a,B和直線m,I,則下列命題中正確的是（ ）若a丄B,aAB=m,I丄m,貝UI丄B若aAB=m,I?a,I丄m,貝yI丄BC.若a丄B,I?a,貝VI丄BD.若a丄B,aAB=m,I?a,I丄m,貝VI丄B解析：選D選項(xiàng)A缺少了條件：I?a；選項(xiàng)B缺少了條件：a丄B；選項(xiàng)C缺少了條件：aAB=m,I丄m；選項(xiàng)D具備了面面垂直的性質(zhì)定理的全條件..在四棱柱ABCD-AiB1C1D1中，已知平面AAiCiC丄平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,貝UBD與CCi( )B.共面AB.共面C.垂直 D.不垂直解析：選C如圖所示,在四邊形ABCD中，?/AB=BC,AD=CD.aBD丄AC.???平面AAiCiC丄平面ABCD,平面AAiCiCA平面ABCD=AC,BD?平面ABCD,aBD丄平面AAiCiC.又CCi?平面AAiCiC,aBD丄CCi,故選C.4.如圖，設(shè)平面aA平面B=PQ,EG丄平面a,FH丄平面a,垂足分別為G,H.為使PQ丄GH,則需增加的一個(gè)條件是（ ）EF丄平面aEF丄平面BC.PQ丄GE

D.PQ丄FH解析：選B因?yàn)镋G丄平面a,PQ?平面a,所以EG丄PQ.若EF丄平面3,則由PQ?平面3得EF丄PQ.又EG與EF為相交直線，所以PQ丄平面EFHG，所以PQ丄GH，故選B.5.設(shè)m,n是兩條不同的直線， a,3,丫是三個(gè)不同的平面，給出如下命題:①若aA3=m,n?a,n丄m,貝Un丄3；①若②若肚y貝②若肚y貝Ua//3；③若m±3, m?a,貝Um//a；④若其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）解析：選B根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)知①正確；②中,a, 3可能平行，也可能相交，不正確；③中,a丄3m±解析：選B根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)知①正確；②中,a, 3可能平行，也可能相交，不正確；③中,a丄3m±3m?a時(shí)，只可能有m/a,正確；④中,m與3的位置關(guān)系可能是m//3或m?3或m與3相交，不正確.綜上，可知正確命題的個(gè)數(shù)為6.如圖，平面ABC丄平面ABD，/ACB=90°,CA=CB,△ABD是正三角形，0為AB中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為解析：?/CA=CB,0為AB的中點(diǎn)，???CO丄AB.又平面ABC又平面ABC丄平面ABD，交線為AB,?CO丄平面ABD.?/OD?平面ABD,?CO丄OD,?△COD?/OD?平面ABD,?CO丄OD,?△COD為直角三角形.所以圖中的直角三角形有△AOC,△COB,△ABC,^AOD,△BOD,△COD共6個(gè).答案：67.如圖，直二面角a-l-3點(diǎn)A€a,AC丄l,C為垂足，B€3BD丄l,為垂足，若AB=2,AC=BD=1,貝UCD的長(zhǎng)為 .解析：如圖，連接BC,???二角面a-l-3為直二面角,AC?a,且AC丄l,?AC丄3又BC?3?AC丄BC,222?BC2=AB2—AC2=3,又BD丄CD,?CD=BC2—BD2=2.答案：-28.已知m,n是直線，a,3,y是平面，給出下列說法若a丄3,aA3=m,n丄m,貝Un丄a或n丄3若a//3,aAy=m,3門Y=n，貝Um//n；若m不垂直于a,則m不可能垂直于a內(nèi)的無數(shù)條直線;若aA3=m,n//m且n?a,n?3貝Un//a且n//3其中正確的說法序號(hào)是 （注：把你認(rèn)為正確的說法的序號(hào)都填上 ）.解析：①錯(cuò)，垂直于交線，不一定垂直平面；②對(duì)；③錯(cuò)，凡是平面內(nèi)垂直于 m的射影的直線，m都與它們垂直；④對(duì).答案：②④如圖：三棱錐P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，/90°,^PAC是直角三角形，/PAC=90。，/ACP=30°，平面面ABC.求證：平面PAB丄平面PBC.證明：???平面PAC丄平面ABC，平面PACA平面ABC=AC,PA丄AC,?PA丄平面ABC.又BC?平面ABC,：PA丄BC.又???AB丄BC,ABAPA=A,AB?平面PAB,PA?平面PAB,???BC丄平面PAB.又BC?平面PBC,???平面PAB丄平面PBC.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點(diǎn)為M,AC丄BC,且AC=BC.⑴求證：AM丄平面EBC；（2）求直線EC與平面ABE所成角正弦值.解：（1）證明：???平面ACDE丄平面ABC，平面ACDEA平面ABC=AC,BC丄AC,?BC丄平面ACDE.又AM?平面ACDE,?BC丄AM.???四邊形ACDE是正方形，?AM丄CE.又BCACE=C,?AM丄平面EBC.⑵取AB的中點(diǎn)F，連接CF,EF.?/EA丄AC,平面ACDE丄平面ABC，平面ACDEA平面ABC=AC,?EA丄平面ABC,?EA丄CF.又AC=BC,：CF丄AB.?/EAAAB=A,???CF丄平面AEB,???/CEF即為直線EC與平面ABE所成的角.在Rt△CFE中，CF=2,FE=6,/ V2並tan/CEF二蔦層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)在圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn) （該點(diǎn)不在底面圓周上），過該點(diǎn)作另一個(gè)底面的垂線,則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是 （ ）A.相交 B.平行C?異面 D?相交或平行解析：選B???圓柱的母線垂直于圓柱的底面，所作的垂線也垂直于底面，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，二者平行.（安徽咼考）已知m,n是兩條不同直線， a,B是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（）A.若a,B垂直于同一平面，則 a與B平行B.若m,n平行于同一平面，則m與n平行C.若a,B不平行，則在a內(nèi)不存在與B平行的直線D.若m,n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面解析：選DA項(xiàng)，a,B可能相交，故錯(cuò)誤； B項(xiàng)，直線m,n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯(cuò)誤； C項(xiàng)，若m?a,aA3=n,m//n，貝Um//伏故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，假設(shè)m,n垂直于同一平面，則必有m//n,所以原命題正確，故D項(xiàng)正確.TOC\o"1-5"\h\z設(shè)m,n是兩條不同的直線， a,3是兩個(gè)不同的平面.下列命題中正確的是 （ ）A.若a丄 3, m? a, n? 3貝Um±nB.若a// 3 m? a, n? 3貝Um/nC.若m±n, m? a,n? 3,貝U a丄 3D.若m丄a, m/ n,n/ 3,貝U a丄 3B中m,n可能為異面直線；C解析：選B中m,n可能為異面直線；C中m應(yīng)與3中兩條相交直線垂直時(shí)結(jié)論才成立.4.在三棱錐P-ABC中，平面PAC丄平面ABC,/PCA=90°,△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,PC=4,M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，貝UPM的最小值為（ ）A.W3B.W7C.4誦D4石P解析：選B連接CM,則由題意PC丄平面ABC,可得PC丄 /刃rCM,

所以PM=PC2+CM2,要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，當(dāng)CM丄AB時(shí)CM有最小值，此時(shí)有CM=4^2?=23，所以PM的最小值為5.如圖，若邊長(zhǎng)為4和3與邊長(zhǎng)為4和2的兩個(gè)矩形所在的平面互相垂直，貝yCOSa:COS3=解析：由題意，兩個(gè)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為 5,25，所以COSa=—5_-V25+427.5-,cos3=2^^，所以cosa:cos3= :27.29 296.經(jīng)過平面a外一點(diǎn)和平面a內(nèi)一點(diǎn)與平面a垂直的平面有個(gè).解析：設(shè)面外的點(diǎn)為A,6.經(jīng)過平面a外一點(diǎn)和平面a內(nèi)一點(diǎn)與平面a垂直的平面有個(gè).解析：設(shè)面外的點(diǎn)為A,面內(nèi)的點(diǎn)為B,過點(diǎn)A作面a的垂線I,若點(diǎn)B恰為垂足，則所有過AB的平面均與a垂直，此時(shí)有無數(shù)個(gè)平面與a垂直；若點(diǎn)B不是垂足，則I與點(diǎn)B確定唯一平面B滿足a丄3.答案：1或無數(shù)7.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，/BCD=i20°平面PCD丄平面ABCD,PC=a,PD=2a,E為PA的中點(diǎn).求證：平面EDB丄平面ABCD.證明：設(shè)ACABD=O,連接E0,貝UEO//PC.TPC=CD=a,PD=\.'2a,?PC2+CD2=PD2,???PC丄CD.???平面PCD丄平面ABCD，平面PCD門平面ABCD=CD,?PC丄平面ABCD,?EO丄平面ABCD.又EO?平面EDB,故有平面EDB丄平面ABCD.8.如圖所示，在斜三棱柱 AiBiCi-ABC中，底面是等腰三角形,AC,D是BC的中點(diǎn)，側(cè)面BBiCiC丄底面ABC.(1)求證：AD丄CCi；⑵過側(cè)面BBiCiC的對(duì)角線BCi的平面交側(cè)棱于點(diǎn)M，若AM=MAi,求證：截面MBCi丄側(cè)面BBiCiC;

（3）若截面MBCi丄平面BBiCiC，則AM=MAi嗎？請(qǐng)敘述你的判斷理由.解：（1）證明：TAB=AC,D是BC的中點(diǎn)，???AD丄BC.???底面ABC丄平面BBiCiC，底面ABC門平面BBiCiC=BC,AD丄平面BBiCiC.又CCi?平面BBiCiC,?AD丄CCi.⑵證明：延長(zhǎng)BiAi與BM交于點(diǎn)N，連接CiN.?/AM=MAi,-NAi=AiBi.-AiCi=AiN=AiBi,CiN丄BiCi,?CiN丄側(cè)面BBiCiC?截面MBCi丄側(cè)面BBiCiC;⑶結(jié)論正確.證明如下：過M作ME丄BCi于點(diǎn)E,連接DE.???截面MBCi丄側(cè)面BBiCiC,ME丄側(cè)面BBiCiC.又AD丄側(cè)面BBiCiC,ME//AD,?M,E,D,A四點(diǎn)共面.???MA//側(cè)面BBiCiC,AM//DE.?四邊形AMED是平方四邊形，又AM//CCi,^DE//CCi.1TBD=CD,?DE=_CCi,2i iAM=￡CCi=2AAi.AM=MAi.…滋■■卜階段質(zhì)量檢測(cè)（二）苴規(guī)、平面之網(wǎng)軻伐置關(guān)余（時(shí)間i20分鐘滿分i50分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分?在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）i.（廣東高考）若直線li和12是異面直線，li在平面a內(nèi)，12在平面B內(nèi)，I是平面a與平面B的交線，則下列命題正確的是（ ）I與li,I2都不相交I與li,I2都相交C.I至多與Ii,5中的一條相交D.l至少與1l,12中的一條相交解析：選D由直線ll和12是異面直線可知11與12不平行，故11,12中至少有一條與I相交.2.已知PA丄矩形ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）交.2.已知PA丄矩形ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）A.PB丄BC B.PD丄CDC.PD丄BDD.PA丄BD解析：選C如圖所示，由于PA丄平面ABCD，且底面ABCD為矩形，所以PA丄BD（即D正確）,BC丄PA,BC丄BA，而PAAAB=A，所以BC丄平面PAB，所以BC丄PB（即卩A正確）.同理PD丄CD（即B正確）,PD與BD不垂直，所以C不正確.3.如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，D為AiBi的中點(diǎn),=BBi=2,AC=25，則異面直線BD與AC所成的角為（A.30° B.45°C.60° D.90°解析：選C如圖，取BiCi的中點(diǎn)E，連接BE,DE，則AC//A1C1//DE，則/BDE即為異面直線BD與AC所成的角.由條件可BD=DE=EB=術(shù)，所以/BDE=60°,故選C.4.如圖所示，ABCD-AiBiCiDi是長(zhǎng)方體，0是BiDi的中點(diǎn)，直線AiC交平面ABiDi于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是（ ）A,M,0三點(diǎn)共線A,M,O,Ai不共面A,M,C,O不共面B,Bi,O,M共面解析：選A連