2021.06.03-71個模型 模型33-34：單線段 雙線段 三線段的最值問題 模型分析 經(jīng)典例題 鞏固提升盡有！（附word）

模型33單線段的最值問題類型一：動點軌跡--直線型動點軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值。當(dāng)動點軌跡確定時可直接運用垂線段最短求最值當(dāng)動點軌跡不易確定是直線時，可通過以下三種方法進行確定=1\*GB3①觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等位置時是否存在動點與定直線的端點連接后的角度不變，若存在該動點的軌跡為直線。=2\*GB3②當(dāng)某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線。=3\*GB3③當(dāng)一個點的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線。類型二：動點軌跡--圓或圓弧型動點的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。確定動點軌跡為圓或者圓弧型的方法:動點到定點的距離不變，則點的軌跡是圓或者圓弧。當(dāng)某條邊與該邊所對的角是定值時，該角的頂點的軌跡是圓，具體運用如下;=1\*GB3①見直角，找斜邊，想直徑，定外心，現(xiàn)圓形=2\*GB3②見定角，找對邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形類型三：動點軌跡--不確定型動點軌跡非圓或直線時，基本上將此線段轉(zhuǎn)化為一個三角形中，（1）利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求最值。（2）在轉(zhuǎn)化較難進行時，可借助直角三角形斜邊上的中線及中位線或構(gòu)建全等圖形進一步轉(zhuǎn)化求最值。

【經(jīng)典例題】例1．（2020·安徽馬鞍山市·馬鞍山八中九年級期末）如圖，拋物線y＝x2－4與x軸交于A、B兩點，P是以點C（0，3）為圓心，2為半徑的圓上的動點，Q是線段PA的中點，連結(jié)OQ，則線段OQ的最大值是（）A．1.5 B．3 C．3.5 D．4

例2．（2020·河南安陽市·九年級期中）如圖，矩形和正方形中，，，正方形繞點旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值為______

例3．（2020·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學(xué)九年級期中）如圖，點A在拋物線y＝﹣x2+6x上，且橫坐標(biāo)為1，點B與點A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AB與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，點E的坐標(biāo)為（2，2）（1）求線段AB的長（2）點P為線段AB上方拋物線上的任一點，過P作AB的垂線交AB于點H，點F為y軸上一點，當(dāng)△PBE的面積最大時，求PH+HF+FO的最小值（3）在（2）中，當(dāng)PH+HF+FO取得最小值時，將△CFH繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°后得到，過點作的垂線與直線AB交于點Q，點R為y軸上一動點，M為平面直角坐標(biāo)系中的一動點，是否存在使以點D，Q，R，M為頂點的四邊形為矩形？若存在請直接寫出點R的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由

【鞏固提升】1．（2020·浙江杭州市·樹蘭中學(xué)九年級月考）如圖所示，是半圓的直徑，，，是弧上的一個動點（含端點，不含端點），連接，過點作于，連接，在點移動的過程中，的取值范圍是（）A． B．C． D．

2．（2020·臺州市路橋?qū)嶒炛袑W(xué)九年級月考）如圖，邊長為2a的等邊△ABC中，D為BC中點，M是高CH所在直線上的一個動點，連接MB，將線段BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN，則在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是（）A．a(chǎn) B． C． D．

3．（2021·湖北鄂州市·八年級期末）如圖，點為線段外一動點，，，分別以、為邊作等邊、等邊，連接．則線段長的最大值為______．

4．（2020·常州二十四中學(xué)九年級月考）如圖，在等腰直角△ABC中，斜邊AB的長度為8，以AC為直徑作圓，點P為半圓上的動點，連接BP，取BP的中點M，CM的最小值為______．

5．（2018·云南昆明市·云大附中九年級期末）定義：長寬比為（為正整數(shù)）的矩形稱為矩形．下面，我們通過折疊的方式折出一個矩形，如圖所示．操作1：將正方形沿過點的直線折疊，使折疊后的點落在對角線上的點處，折痕為．操作2：將沿過點的直線折疊，使點、點分別落在邊、上，折痕為．則四邊形為矩形．（1）證明：四邊形為矩形；（2）點是邊上一動點．①如圖，是對角線的中點，若點在邊上，，連接．求的值；②若，點在邊上，當(dāng)周長最小時，求的值．③連接，作，垂足為．若，則的最小值為．

6．（2020·鹽城市初級中學(xué)九年級期中）[閱讀材料]如圖1所示，對于平面內(nèi)⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中點M，我們把弦AB的中點M到某點或某直線的距離叫做弦AB到這點或者這條直線的“密距”例如：圖1中線段MO的長度即為弦AB到原點O的“密距”，過點M作y軸的垂線交y軸于點N線段MN的長度即為弦AB到y(tǒng)軸的“密距”．[類比應(yīng)用]已知⊙P的圓心為P（0，4），半徑為2，弦AB的長度為2，弦AB的中點為M．（1）當(dāng)AB//y軸時，如圖2所示，圓心P到弦AB的中點M的距離是____，此時弦AB到原點O的“密距”是；（2）①如果弦AB在⊙P上運動，在運動過程中，圓心P到弦AB的中點M的距離變化嗎?若不變化，請求出PM的長，若變化，請說明理由．②直接寫出弦AB到原點O的“密距”d的取值范圍；[拓展應(yīng)用]如圖3所示，已知⊙P的圓心為P（0，4），半徑為2,點A（0，2），點B為⊙P上白一動點，有直線y=-x-3，弦AB到直線y=-x-3的“密距”的最大值是．（直接寫出答案）

模型34多線段的最值問題【模型分析】

【經(jīng)典例題】例1．（2020·樂山市實驗中學(xué)九年級期中）如圖，等腰的底邊，面積為120，點P在邊BC上，且，是腰AC的垂直平分線，若點D在上運動，則周長的最小值為（）A． B． C． D．17

例2．（2020·浙江嘉興市·八年級期末）如圖，內(nèi)有一定點P，且，在上有一動點Q，上有一動點R，若周長最小，則最小周長是___________．

例3．（2020·浙江金華市·九年級期末）如圖1，拋物線與x軸交于點，與y軸于點B，在x軸上有動點，過點E作x軸的垂線交直線于點N，交拋物線于點P，過點P作于點M．（1）求a的值和直線的函數(shù)表達式；（2）設(shè)的周長為的周長為，若，求m的值；（3）如圖2，當(dāng)，將線段繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，連接，求的最小值．

【鞏固提升】1．（2020·廣西貴港市·真題）如圖，動點在邊長為2的正方形內(nèi)，且，是邊上的一個動點，是邊的中點，則線段的最小值為（）A． B． C． D．

2．（2021·廣東肇慶市·八年級期末）如圖，等邊△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3.5cm，點P、Q分別為AB、AD上的兩個定點且BP=AQ=2cm，在BD上有一動點E使PE+QE最短，則PE+QE的最小值為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

3．（2020·廣州白云廣雅實驗學(xué)校九年級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點為D，且與軸分別交于A、B兩點（點A在點B的左邊），P為拋物線對稱軸上的動點，則的最小值是_____

4．（2020·陜西渭南市·九年級期末）如圖，是⊙的一條弦，點是⊙上一動點，且，點、分別是、的中點，直線與⊙交于、兩點，若⊙的半徑為，則的最大值為_______

5．（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學(xué)八年級期末）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于點A，B，直線分別交x軸，y軸于點D，E，且直線于點C．（1）如圖1，在y軸上有一長為的線段（點P在點Q上方），當(dāng)線段在y軸正半軸移動時，求的最小值．（2）如圖2，將沿直線方向平移至點E恰好位于x軸上時，記作，再將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為，旋轉(zhuǎn)中的三角形記作，在旋轉(zhuǎn)過程中，邊所在的直線分別交直線于點K，H，當(dāng)為等腰三角形時，請求出點的坐標(biāo)．

6．（2020·遼寧沈陽市·九年級期末）如圖，在邊長為16的菱形中