北京交通大學(數(shù)字信號處理研究生課程)ch8-3小波與多分辨分析

近代數(shù)字信號處理

(AdvancedDigitalSignalProcessing)電子信息工程學院信號與圖像處理研究室信號時頻分析問題的提出短時傅里葉變換小波展開與小波變換小波變換與多分辨分析小波變換與濾波器組基于小波的信號處理及應用小波變換與多分辨分析信號空間(signalspace)尺度函數(shù)(scalingfunction)——j

(t)小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)多分辨分析(MRA)

尺度函數(shù)系數(shù)h0[n]與小波函數(shù)系數(shù)h1[n]的特性 尺度函數(shù)j(t)與小波函數(shù)y(t)的設計方法

為了從數(shù)學概念和工程概念上更好地理解小波分析，將通過分辨率的概念來闡述小波理論。

尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)

多分辨分析(MultiresolutionAnalysis,MRA)

小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)

信號空間(signalspace)小波變換與多分辨分析

由泛函理論，任意信號可以看作是某個特定集合中的一個元素，該特定集合包含相同屬性的所有信號。該特定的信號集合，稱為信號空間。

L2(R)信號空間包含所有定義在實數(shù)域R上的信號，且每個信號都滿足：

信號空間L2(R)稱之為平方可積空間

。小波變換與多分辨分析

信號空間(signalspace)由尺度函數(shù)j(t)經(jīng)過平移k而得到的函數(shù)定義為定義所有可由信號jk

(t)線性表達的信號空間V0為V0稱為由信號jk

(t)張成的閉信號空間

，且小波變換與多分辨分析

尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)

則表明存在著同時也意味著

若信號x(t)可以由信號jk

(t)線性表達，小波變換與多分辨分析

尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)

則同理可以得到由信號jj,k(t)張成的信號空間Vj

若由尺度函數(shù)j(t)經(jīng)過展縮和平移而得到的不同尺度j下的尺度函數(shù)jj,k(t)定義為小波變換與多分辨分析

尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)由尺度函數(shù)展縮可得不同尺度下的尺度信號尺度越大，對應的信號的分辨率越高。小波變換與多分辨分析

尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)

由于信號jj,k(t)比jj-1,k(t)在時域上更窄，因此jj,k(t)可以表達更多的信號，即信號jj,k(t)張成的信號空間Vj

比信號jj-1,k(t)張成的信號空間Vj-1

大。同理可得：小波變換與多分辨分析

尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)

由高分辨率尺度信號張成的信號空間包含由低分辨率尺度信號張成的信號空間，即存在：小波變換與多分辨分析

尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)

通過尺度函數(shù)j(t)的尺度展縮，就可以改變尺度函數(shù)的分辨率，從而建立了尺度函數(shù)、分辨率及信號空間之間的關系。

若信號x(t)可以由尺度函數(shù)jj,k(t)表達，則信號x(2t)可以由尺度函數(shù)jj+1,k(t)表達，即小波變換與多分辨分析

尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)

根據(jù)信號空間的包含關系，若存在則必然

這表明若信號x(t)可由尺度函數(shù)jj,k(t)線性表達，則必然可以由尺度函數(shù)jj+1,k(t)線性表達。低分辨率信號可以由高分辨率信號線性表達。

小波變換與多分辨分析

尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)h0[n]是尺度函數(shù)系數(shù)(scalingfunctioncoefficient)，也稱為尺度濾波器(scalingfilter)單位脈沖響應。

該式稱為尺度函數(shù)j(t)的多分辨分析(MRA)方程，該遞歸方程是尺度函數(shù)理論的基礎。

小波變換與多分辨分析

尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)

Haar尺度函數(shù)三角尺度函數(shù)小波變換與多分辨分析

尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)

根據(jù)信號空間的概念，由尺度函數(shù)j(t)同樣可以定義小波函數(shù)y(t)，再由小波函數(shù)y(t)經(jīng)過尺度展縮與平移得到小波信號yj,k(t)，即小波變換與多分辨分析

小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)

小波信號yj,k(t)設計為尺度信號jj,k(t)的正交信號，即存在WjVj正交和小波變換與多分辨分析

小波函數(shù)(waveletfunction)—y(t)信號x(t)

將信號x(t)展開為尺度信號jj,k(t)和小波信號yj,k(t)，可以更有效地表達信號x(t)中的不同分量，有利于信號的分析與處理。尺度信號jj,k(t)小波信號yj,k(t)粗略信息(coarseinformation)精細信息(fineinformation)小波變換與多分辨分析

小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)

…小波變換與多分辨分析

小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)初始尺度j=3初始尺度j=-3初始尺度j=j0初始尺度信號x(t)也可完全由小波信號表達信號x(t)可由小波信號和尺度信號共同表達小波變換與多分辨分析

小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)

由于小波函數(shù)y(t)隸屬于由尺度信號j(2t-k)張成的信號空間V1，表明y(t)可以由j(2t-k)線性表達，這就是小波函數(shù)y(t)的MRA方程：h1[n]稱為小波函數(shù)系數(shù)(waveletfunctioncoefficient)。

小波變換與多分辨分析

小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)若尺度函數(shù)j(t)與小波函數(shù)y(t)滿足正交性，即當h0[n]為有限長序列，且長度N為偶數(shù)時，則有

則小波函數(shù)