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文檔簡(jiǎn)介
第一章矢量分析簡(jiǎn)要介紹矢量分析和場(chǎng)論基礎(chǔ)。散度、旋度和梯度的基本概念;算符運(yùn)算公式;散度、旋度和梯度在曲線正交坐標(biāo)系中的表示討論了矢量場(chǎng)的基本構(gòu)成及其與源的關(guān)系。球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1.1矢量代數(shù)運(yùn)算1.2場(chǎng)論-梯度、散度和旋度1.3矢量微分算子1.4矢量積分定理1.5*
并矢及其運(yùn)算規(guī)則1.6*
正交曲線坐標(biāo)系主要內(nèi)容球坐標(biāo)柱坐標(biāo)一、矢量與矢量場(chǎng)1、矢量及表示2、標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)空間某一區(qū)域定義一個(gè)矢量函數(shù),其大小和方向隨空間坐標(biāo)的變化而變化,有時(shí)還可隨時(shí)間變化。則稱該區(qū)域存在一矢量場(chǎng)。如速度場(chǎng),電場(chǎng)、磁場(chǎng)等.1.1矢量代數(shù)運(yùn)算標(biāo)量場(chǎng)空間某一區(qū)域定義一個(gè)標(biāo)量函數(shù),其值隨空間坐標(biāo)的變化而變化,有時(shí)還可隨時(shí)間變化。則稱該區(qū)域存在一標(biāo)量場(chǎng)。如溫度場(chǎng),電位場(chǎng),高度場(chǎng)等球坐標(biāo)柱坐標(biāo)二、矢量代數(shù)2.點(diǎn)乘(標(biāo)量積、投影積)--對(duì)應(yīng)分量相乘的和3.叉乘(矢量積)-行列式展開1、矢量和球坐標(biāo)柱坐標(biāo)4、矢量代數(shù)公式(1)(2)(3)(4)球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1、直角坐標(biāo)系(x,y,z)方向單位矢量:矢量表示:位置矢量:三、常用坐標(biāo)系球坐標(biāo)柱坐標(biāo)方向單位矢量:矢量表示:位置矢量:2、圓柱坐標(biāo)系()球坐標(biāo)柱坐標(biāo)方向單位矢量:矢量表示:位置矢量:3、球面坐標(biāo)系()球坐標(biāo)柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間單位矢量變換關(guān)系球面坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間單位矢量變換關(guān)系4、坐標(biāo)變換球坐標(biāo)柱坐標(biāo)一、標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.等值面(線)
由所有場(chǎng)值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面,即為等值面。即若標(biāo)量函數(shù)為,則等值面方程為:1.2場(chǎng)論——梯度、散度和旋度球坐標(biāo)柱坐標(biāo)式中:為垂直于等值面(線)的方向。3、梯度的物理意義1)、標(biāo)量場(chǎng)的梯度為一矢量,且是坐標(biāo)位置的函數(shù);2)、標(biāo)量場(chǎng)的梯度表征標(biāo)量場(chǎng)變化規(guī)律:其方向?yàn)闃?biāo)量場(chǎng)增加最快的方向,其幅度表示標(biāo)量場(chǎng)的最大增加率。2、梯度的定義球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1)在直角坐標(biāo)系中:2)在柱面坐標(biāo)系中:3)在球面坐標(biāo)系中:4、直角、圓柱和球坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1、矢量線(力線)2、矢量場(chǎng)的通量
矢量線的疏密表征矢量場(chǎng)的大??;矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場(chǎng)的方向;若矢量場(chǎng)分布于空間中,在空間中存在任意曲面S,則定義:為矢量沿有向曲面S的通量。二、矢量場(chǎng)的通量散度球坐標(biāo)柱坐標(biāo)
矢量場(chǎng)的通量
物理意義:表示穿入和穿出閉合面S的矢量通量的代數(shù)和。
討論:1)面元定義;2)
3)通過閉合面S的通量的物理意義:a)若,閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源;b)若,閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負(fù)源;c)若,閉合面無源。若S為閉合曲面球坐標(biāo)柱坐標(biāo)在場(chǎng)空間中任意點(diǎn)M處作一個(gè)閉合曲面,所圍的體積為,則定義場(chǎng)矢量在M點(diǎn)處的散度為:3、矢量場(chǎng)的散度的定義球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1)矢量場(chǎng)的散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性;2)矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量;3)矢量場(chǎng)的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù);4、散度的物理意義(無源)(正源)
負(fù)源)4)矢量場(chǎng)的散度值表征空間中通量源的密度。
討論:在矢量場(chǎng)中,1)若,則該矢量場(chǎng)稱為有源場(chǎng),為源密度;2)若處處成立,則該矢量場(chǎng)稱為無源場(chǎng)。球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1)在直角坐標(biāo)系下:5、散度的計(jì)算球坐標(biāo)柱坐標(biāo)已知矢量,求穿過一個(gè)球心在原點(diǎn),半徑為a的球面的通量和散度?!纠}1.2.1】球坐標(biāo)柱坐標(biāo)
已知求:矢量在R0處的散度?!纠}1.2.2】*球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1、矢量的環(huán)流
環(huán)流的計(jì)算環(huán)流的定義:在場(chǎng)矢量空間中,取一有向閉合路徑l,則稱沿l積分的結(jié)果稱為矢量沿l的環(huán)流。即:討論:1)線元矢量的定義;3)環(huán)流意義:若矢量場(chǎng)環(huán)流為零,矢量場(chǎng)無渦漩流動(dòng);反之,則矢量場(chǎng)存在渦漩運(yùn)動(dòng)2)反映矢量場(chǎng)漩渦源分布情況。三、矢量場(chǎng)的環(huán)流旋度球坐標(biāo)柱坐標(biāo)在場(chǎng)矢量空間中,圍繞空間某點(diǎn)M取一面元
S,其邊界曲線為C,面元法線方向?yàn)?,?dāng)面元面積無限縮小時(shí),可定義在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)量面密度
表示矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向的漩渦源密度;M2.環(huán)流面密度球坐標(biāo)柱坐標(biāo)
旋度是一個(gè)矢量,模值等于環(huán)量密度的最大值;方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。用表示,即:式中:表示矢量場(chǎng)旋度的方向;3.矢量場(chǎng)的旋度球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1)矢量的旋度為矢量,是空間坐標(biāo)的函數(shù);2)矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的漩渦源密度;4.旋度的物理意義球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1)在直角坐標(biāo)系下:5.旋度的計(jì)算球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1.3矢量微分算子一、微分算子的定義
微分算子是一個(gè)“符號(hào)”矢量,梯度散度1、直角坐標(biāo)系球坐標(biāo)柱坐標(biāo)旋度注意:算子在上述的定義與規(guī)定下可以將它看成一矢量來按照矢量代數(shù)規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算,但又不能完全將它與一普通矢量等同,因?yàn)樗姆至渴俏⒎炙惴皇钦鎸?shí)矢量的分量。這樣,兩個(gè)普通矢量代數(shù)運(yùn)算的某些性質(zhì)對(duì)就不成立。從以上的過程中可以清楚地看出,算子確實(shí)把對(duì)矢量函數(shù)的微分運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)槭噶克阕优c矢量的代數(shù)運(yùn)算。例如:普通矢量有,但是,,即算子進(jìn)行運(yùn)算時(shí),除了上面的定義與規(guī)定外,還必須對(duì)包含有算子的算式做進(jìn)一步的補(bǔ)充定義。球坐標(biāo)柱坐標(biāo)2、圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)柱坐標(biāo)3、在球坐標(biāo)系球坐標(biāo)柱坐標(biāo)【例題1.3.1】
求矢量場(chǎng)沿xy平面內(nèi)一閉合回路C的線積分,此閉合回路由(0,0)和()之間的一段拋物線和兩段平行于坐標(biāo)軸的直線段組成。再計(jì)算
的旋度。球坐標(biāo)柱坐標(biāo)【例題1.3.2】
求二維標(biāo)量場(chǎng)的梯度,并取一閉合回路C,證明球坐標(biāo)柱坐標(biāo)證明:說明:【例題1.3.3】
若球坐標(biāo)柱坐標(biāo)二、含有算子算式證明:球坐標(biāo)柱坐標(biāo)證明:球坐標(biāo)柱坐標(biāo)三、二重算子球坐標(biāo)柱坐標(biāo)【例題1.3.4】
證明一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度必?zé)o旋,一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度必?zé)o散。球坐標(biāo)柱坐標(biāo)四、包含算子的恒等式(1)(2)(3)(4)(5)(6)球坐標(biāo)柱坐標(biāo)(7)(8)(9)(10)球坐標(biāo)柱坐標(biāo)(11)(12)(13)(14)(15)球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1.4矢量積分定理一、高斯散度定理
證明:球坐標(biāo)柱坐標(biāo)從散度定義,可以得到:則在一定體積V內(nèi)的總的通量為:式中:S為包圍
V的閉合面式中:S為包圍體積V的閉合面得證!證明球坐標(biāo)柱坐標(biāo)由旋度的定義對(duì)于有限大面積s,可將其按如圖方式進(jìn)行分割,對(duì)每一小面積元有證明:=得證!
意義:矢量場(chǎng)的旋度在曲面上的積分等于該矢量場(chǎng)在限定該曲面的閉合曲線上的線積分。二、斯托克斯定理球坐標(biāo)柱坐標(biāo)【例題1.4.1】
矢量場(chǎng)中有一半球面
計(jì)算斯托克斯定理中兩邊的積分值。球坐標(biāo)柱坐標(biāo)三、平面格林定理球坐標(biāo)柱坐標(biāo)四、標(biāo)量格林定理
(1)(2)格林第一定理
格林第二定理令:球坐標(biāo)柱坐標(biāo)證明:第一定理代入式(1)后求得又有代回前一式得球坐標(biāo)柱坐標(biāo)證明:第二定理令式(1)中的換位置,得將上式與(1)式相減,求得得證球坐標(biāo)柱坐標(biāo)六并矢格林定理五矢量格林定理球坐標(biāo)柱坐標(biāo)
七其他積分定理球坐標(biāo)柱坐標(biāo)證明(1)在高斯散度定理中令C
是常矢量
將以上二式代回高斯定理,得C提出積分號(hào)外,得C是非零常矢量,可約去,得證球坐標(biāo)柱坐標(biāo)證明(2)在高斯散度定理中令C
是常矢量
將以上二式代回式高斯定理,得C提出積分號(hào)外得C是非零常矢量,可約去,得證球坐標(biāo)柱坐標(biāo)證明(3)。
球坐標(biāo)柱坐標(biāo)(1)矢量場(chǎng)除有散和有旋特性外,是否存在別的特性?(2)是否存在不同于通量源和旋渦源的其它矢量場(chǎng)的激勵(lì)源?(3)如何唯一的確定一個(gè)矢量場(chǎng)?
現(xiàn)在我們考慮如下問題球坐標(biāo)柱坐標(biāo)1、定理內(nèi)容:空間區(qū)域V上的任意矢量場(chǎng),如果它的散度、旋度和邊界條件為已知,則該矢量場(chǎng)唯一確定,并且可以表示為一無旋矢量場(chǎng)和一無散矢量場(chǎng)的疊加,即:其中為無散場(chǎng),為無旋場(chǎng)。
八、矢量場(chǎng)的Helmholtz定理球坐標(biāo)柱坐標(biāo)Helmholtz定理明確回答了上述三個(gè)問題。即任一矢量場(chǎng)由兩個(gè)部分構(gòu)成,其中一部分是無散場(chǎng),由旋渦源激發(fā);并且滿足:另一部分是無旋場(chǎng),由通量源激發(fā),滿足:球坐標(biāo)柱坐標(biāo)根據(jù)矢量場(chǎng)的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類:1)調(diào)和場(chǎng)若矢量場(chǎng)在某區(qū)域V內(nèi),處處有:和則在該區(qū)域V內(nèi),場(chǎng)為調(diào)和場(chǎng)。注意:不存在在整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場(chǎng)。2、矢量場(chǎng)的分類球坐標(biāo)柱坐標(biāo)
若矢量場(chǎng)在某區(qū)域V內(nèi),處處,但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi),,則稱在該區(qū)域V內(nèi),場(chǎng)為有源無旋場(chǎng)。2)有源無旋場(chǎng)為保守場(chǎng),其重要性質(zhì)為:1)為矢量場(chǎng)通量源密度;保守場(chǎng)場(chǎng)矢量沿任何閉合路徑積分結(jié)果等于零。討論:2)有源無旋場(chǎng)球坐標(biāo)柱坐標(biāo)
若矢量場(chǎng)在某區(qū)域V內(nèi),處處,但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi),有,則稱在該區(qū)域V內(nèi),場(chǎng)為無源有旋場(chǎng)。說明:式中為矢量場(chǎng)漩渦源密度。3)無源有旋場(chǎng)球坐標(biāo)柱坐標(biāo)
若矢量場(chǎng)在某區(qū)域V內(nèi),在某些位置或整個(gè)空間內(nèi),有則在該區(qū)域V內(nèi),場(chǎng)為有源有旋場(chǎng)。
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