球坐標柱坐標課件

第一章矢量分析簡要介紹矢量分析和場論基礎(chǔ)。散度、旋度和梯度的基本概念；算符運算公式；散度、旋度和梯度在曲線正交坐標系中的表示討論了矢量場的基本構(gòu)成及其與源的關(guān)系。球坐標柱坐標1.1矢量代數(shù)運算1.2場論-梯度、散度和旋度1.3矢量微分算子1.4矢量積分定理1.5*

并矢及其運算規(guī)則1.6*

正交曲線坐標系主要內(nèi)容球坐標柱坐標一、矢量與矢量場1、矢量及表示2、標量場與矢量場矢量場空間某一區(qū)域定義一個矢量函數(shù),其大小和方向隨空間坐標的變化而變化，有時還可隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一矢量場。如速度場,電場、磁場等.1.1矢量代數(shù)運算標量場空間某一區(qū)域定義一個標量函數(shù),其值隨空間坐標的變化而變化，有時還可隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一標量場。如溫度場,電位場,高度場等球坐標柱坐標二、矢量代數(shù)2.點乘（標量積、投影積）--對應分量相乘的和3.叉乘（矢量積）－行列式展開1、矢量和球坐標柱坐標4、矢量代數(shù)公式（1）（2）（3）（4）球坐標柱坐標1、直角坐標系（x,y,z）方向單位矢量：矢量表示：位置矢量：三、常用坐標系球坐標柱坐標方向單位矢量：矢量表示：位置矢量：2、圓柱坐標系()球坐標柱坐標方向單位矢量：矢量表示：位置矢量：3、球面坐標系()球坐標柱坐標圓柱坐標系與直角坐標系間單位矢量變換關(guān)系球面坐標系與直角坐標系間單位矢量變換關(guān)系4、坐標變換球坐標柱坐標一、標量場的梯度1.等值面（線）

由所有場值相等的點所構(gòu)成的面，即為等值面。即若標量函數(shù)為，則等值面方程為：1.2場論——梯度、散度和旋度球坐標柱坐標式中：為垂直于等值面（線）的方向。3、梯度的物理意義1)、標量場的梯度為一矢量，且是坐標位置的函數(shù)；2)、標量場的梯度表征標量場變化規(guī)律：其方向為標量場增加最快的方向，其幅度表示標量場的最大增加率。2、梯度的定義球坐標柱坐標1）在直角坐標系中：2）在柱面坐標系中：3）在球面坐標系中：4、直角、圓柱和球坐標系中梯度的表達式球坐標柱坐標1、矢量線（力線）2、矢量場的通量

矢量線的疏密表征矢量場的大??；矢量線上每點的切向代表該處矢量場的方向；若矢量場分布于空間中，在空間中存在任意曲面S，則定義：為矢量沿有向曲面S的通量。二、矢量場的通量散度球坐標柱坐標

矢量場的通量

物理意義：表示穿入和穿出閉合面S的矢量通量的代數(shù)和。

討論：1）面元定義；2）

3)通過閉合面S的通量的物理意義：a)若，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；b)若，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負源；c)若，閉合面無源。若S為閉合曲面球坐標柱坐標在場空間中任意點M處作一個閉合曲面，所圍的體積為，則定義場矢量在M點處的散度為：3、矢量場的散度的定義球坐標柱坐標1)矢量場的散度代表矢量場的通量源的分布特性；2)矢量場的散度是一個標量；3)矢量場的散度是空間坐標的函數(shù)；4、散度的物理意義(無源）(正源)

負源)4)矢量場的散度值表征空間中通量源的密度。

討論：在矢量場中，1）若，則該矢量場稱為有源場，為源密度；2）若處處成立，則該矢量場稱為無源場。球坐標柱坐標1)在直角坐標系下：5、散度的計算球坐標柱坐標已知矢量，求穿過一個球心在原點，半徑為a的球面的通量和散度。【例題1.2.1】球坐標柱坐標

已知求：矢量在R0處的散度。【例題1.2.2】*球坐標柱坐標1、矢量的環(huán)流

環(huán)流的計算環(huán)流的定義：在場矢量空間中，取一有向閉合路徑l，則稱沿l積分的結(jié)果稱為矢量沿l的環(huán)流。即：討論：1）線元矢量的定義；3）環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流為零，矢量場無渦漩流動；反之，則矢量場存在渦漩運動2)反映矢量場漩渦源分布情況。三、矢量場的環(huán)流旋度球坐標柱坐標在場矢量空間中，圍繞空間某點M取一面元

S，其邊界曲線為C，面元法線方向為，當面元面積無限縮小時，可定義在點M處沿方向的環(huán)量面密度

表示矢量場在點M處沿方向的漩渦源密度；M2.環(huán)流面密度球坐標柱坐標

旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。用表示，即：式中：表示矢量場旋度的方向；3.矢量場的旋度球坐標柱坐標1）矢量的旋度為矢量，是空間坐標的函數(shù)；2）矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度；4.旋度的物理意義球坐標柱坐標1)在直角坐標系下：5.旋度的計算球坐標柱坐標1.3矢量微分算子一、微分算子的定義

微分算子是一個“符號”矢量，梯度散度1、直角坐標系球坐標柱坐標旋度注意：算子在上述的定義與規(guī)定下可以將它看成一矢量來按照矢量代數(shù)規(guī)則進行運算，但又不能完全將它與一普通矢量等同，因為它的分量是微分算符而不是真實矢量的分量。這樣，兩個普通矢量代數(shù)運算的某些性質(zhì)對就不成立。從以上的過程中可以清楚地看出，算子確實把對矢量函數(shù)的微分運算轉(zhuǎn)變?yōu)槭噶克阕优c矢量的代數(shù)運算。例如：普通矢量有，但是，，即算子進行運算時，除了上面的定義與規(guī)定外，還必須對包含有算子的算式做進一步的補充定義。球坐標柱坐標2、圓柱坐標系球坐標柱坐標3、在球坐標系球坐標柱坐標【例題1.3.1】

求矢量場沿xy平面內(nèi)一閉合回路C的線積分，此閉合回路由（0，0）和（）之間的一段拋物線和兩段平行于坐標軸的直線段組成。再計算

的旋度。球坐標柱坐標【例題1.3.2】

求二維標量場的梯度，并取一閉合回路C，證明球坐標柱坐標證明：說明：【例題1.3.3】

若球坐標柱坐標二、含有算子算式證明：球坐標柱坐標證明：球坐標柱坐標三、二重算子球坐標柱坐標【例題1.3.4】

證明一個標量場的梯度必無旋，一個矢量場的旋度必無散。球坐標柱坐標四、包含算子的恒等式（1）（2）（3）（4）（5）（6）球坐標柱坐標（7）（8）（9）（10）球坐標柱坐標（11）（12）（13）（14）（15）球坐標柱坐標1.4矢量積分定理一、高斯散度定理

證明：球坐標柱坐標從散度定義，可以得到：則在一定體積V內(nèi)的總的通量為：式中：S為包圍

V的閉合面式中：S為包圍體積V的閉合面得證！證明球坐標柱坐標由旋度的定義對于有限大面積s，可將其按如圖方式進行分割，對每一小面積元有證明：＝得證！

意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的線積分。二、斯托克斯定理球坐標柱坐標【例題1.4.1】

矢量場中有一半球面

計算斯托克斯定理中兩邊的積分值。球坐標柱坐標三、平面格林定理球坐標柱坐標四、標量格林定理

(1)(2)格林第一定理

格林第二定理令：球坐標柱坐標證明：第一定理代入式（1）后求得又有代回前一式得球坐標柱坐標證明：第二定理令式（1）中的換位置，得將上式與（1）式相減，求得得證球坐標柱坐標六并矢格林定理五矢量格林定理球坐標柱坐標

七其他積分定理球坐標柱坐標證明(1)在高斯散度定理中令C

是常矢量

將以上二式代回高斯定理，得C提出積分號外，得C是非零常矢量，可約去，得證球坐標柱坐標證明(2)在高斯散度定理中令C

是常矢量

將以上二式代回式高斯定理，得C提出積分號外得C是非零常矢量，可約去，得證球坐標柱坐標證明(3)。

球坐標柱坐標（1）矢量場除有散和有旋特性外，是否存在別的特性？（2）是否存在不同于通量源和旋渦源的其它矢量場的激勵源？（3）如何唯一的確定一個矢量場？

現(xiàn)在我們考慮如下問題球坐標柱坐標1、定理內(nèi)容：空間區(qū)域V上的任意矢量場，如果它的散度、旋度和邊界條件為已知，則該矢量場唯一確定，并且可以表示為一無旋矢量場和一無散矢量場的疊加，即：其中為無散場，為無旋場。

八、矢量場的Helmholtz定理球坐標柱坐標Helmholtz定理明確回答了上述三個問題。即任一矢量場由兩個部分構(gòu)成，其中一部分是無散場，由旋渦源激發(fā)；并且滿足：另一部分是無旋場，由通量源激發(fā)，滿足：球坐標柱坐標根據(jù)矢量場的散度和旋度值是否為零進行分類：1)調(diào)和場若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處處有：和則在該區(qū)域V內(nèi)，場為調(diào)和場。注意：不存在在整個空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。2、矢量場的分類球坐標柱坐標

若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處處，但在某些位置或整個空間內(nèi)，，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場為有源無旋場。2)有源無旋場為保守場，其重要性質(zhì)為：1)為矢量場通量源密度；保守場場矢量沿任何閉合路徑積分結(jié)果等于零。討論：2)有源無旋場球坐標柱坐標

若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處處，但在某些位置或整個空間內(nèi)，有，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場為無源有旋場。說明：式中為矢量場漩渦源密度。3)無源有旋場球坐標柱坐標

若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，在某些位置或整個空間內(nèi)，有則在該區(qū)域V內(nèi)，場為有源有旋場。

有源