全微分方程的解法課件

恰當(dāng)方程（全微分方程）

一、概念

二、全微分方程的解法全微分方程的解法全微分方程的解法

一、概念若有全微分形式則稱為全微分方程。定義:例1：所以是全微分方程.方程是否為全微分方程？解：通解則為（C為任意常數(shù)）。全微分方程的解法全微分方程的解法問(wèn)題:（1）如何判斷全微分方程？（2）如何求解全微分方程？（3）如何轉(zhuǎn)化為全微分方程？定理1設(shè)函數(shù)

和

在一個(gè)矩形區(qū)域是全微分方程中連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則

（1）證明必要性

證明：

因?yàn)槭侨⒎址匠?，全微分方程的解法則存在原函數(shù)，使得

所以

將以上二式分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得到

又因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)連續(xù)，

，即

所以

全微分方程的解法（2）證明充分性

設(shè)

，求一個(gè)二元函數(shù)使它滿足

即由第一個(gè)等式，應(yīng)有

代入第二個(gè)等式，應(yīng)有

這里全微分方程的解法因此，則因此可以取此時(shí)

這里由于，故曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。因此全微分方程的解法

二、全微分方程的解法(1)線積分法:或(2)偏積分法第一個(gè)等式對(duì)積分

全微分方程的解法代入第二個(gè)等式求

，即可得

(3)湊微分法直接湊微分得

例2：驗(yàn)證方程是全微分方程，并求它的通解。由于

解：全微分方程的解法所以方程為全微分方程。(1)線積分法:故通解為全微分方程的解法(2)偏積分法:假設(shè)所求全微分函數(shù)為,則有代入可得因此從而即全微分方程的解法(3)湊微分法:由于

方程的通解為：根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)驗(yàn),原方程可寫(xiě)為全微分方程的解法例3：驗(yàn)證方程是全微分方程，并求它的通解。

由于

解：

所以方程為全微分方程。(1)線積分法:全微分方程的解法故通解為(2)偏積分法:假設(shè)所求全微分函數(shù)為,則有

所以從而即全微分方程的解法(3)湊微分法:方程的通解為：根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)驗(yàn),原方程可寫(xiě)為練習(xí)：驗(yàn)證方程是全微分方程，并求它的通解。方程的通解為：

全微分方程的解法積分因子法

一、概念

二、積分因子的求法全微分方程的解法一、定義:0),(1yxm連續(xù)可微函數(shù)，使方程0),(),(),(),(=m+mdyyxQyxdxyxPyx成為全.微分方程則稱),(yxm為方程的積分因子.例1驗(yàn)證是方程的積分因子，并求方程的通解。

解：是全微分方程。方程通解為全微分方程的解法1.公式法:求解不容易特殊地:(兩邊同除)a.當(dāng)只與有關(guān)時(shí)，

二、積分因子的求法全微分方程的解法b.當(dāng)只與有關(guān)時(shí)，全微分方程的解法2.觀察法:憑觀察湊微分得到常見(jiàn)的全微分表達(dá)式全微分方程的解法一般可選用的積分因子有等?？蛇x用的積分因子有可選用的積分因子有全微分方程的解法例2解則原方程成為.的通解求微分方程1.公式法:原方程的通解為全微分方程的解法2.觀察法:將方程左端重新組合,有可選用的積分因子有可