2015年秋九年級數(shù)學(xué)新北師大版上冊導(dǎo)學(xué)案：1.2 矩形的性質(zhì)與判定

2015年秋九年級數(shù)學(xué)新北師大版上冊導(dǎo)學(xué)案：1.2矩形的性質(zhì)與判定一、課前自主思考什么是矩形？矩形有哪些特征？一個四邊形是否一定是矩形？為什么？矩形有哪些重要的性質(zhì)？在平面直角坐標(biāo)系中，如何通過點的坐標(biāo)判斷一個四邊形是否為矩形？如何在矩形中尋找對角線的中點？二、課堂探究1.矩形的定義矩形是一種特殊的四邊形，具有以下特征：四條邊分別兩兩相等四個內(nèi)角均為直角對角線相等且互相平分2.矩形的判定一個四邊形是否為矩形，可以通過以下條件進(jìn)行判定：四條邊分別兩兩相等對角線相等任意一條對角線是另一條對角線的中垂線如果其中任何一條條件不滿足，則該四邊形不是矩形。3.矩形的性質(zhì)矩形的對邊平行且相等。證明：設(shè)矩形ABCDEFGH的對邊AB和CD相等，EF和GH相等，則有AB//CD，EF//GH，又因為AB垂直BC，CD垂直AD，EF垂直FE，GH垂直GE，所以AB//CD//EF//GH。于是可得到ABCD和EFGH分別為平行四邊形，且AB=CD=EF=GH，因此矩形的對邊平行且相等。矩形的對角線相等且互相垂直。證明：設(shè)對角線AC和BD相交于點O，四個內(nèi)角分別為〇1、〇2、〇3和〇4，因為ABCD是矩形，所以AB//CD，AD//BC，又∠1+∠4=180°，∠2+∠3=180°，因此∠1=∠3、∠2=∠4，得出△ABC≌△CDA，△ABD≌△CBD，因此AC=BD，同時∠1和∠2互為補角，∠3和∠4互為補角，即AC和BD互相垂直。矩形的周長與面積設(shè)矩形的長、寬分別為L、W，則：周長=2(L+W)面積=LW矩形的對角線互相平分證明：設(shè)對角線AC和BD相交于點O，平分于E和F，則EO=OC、FO=OD，又因為長方形AEOF和BEFO分別相等，所以AE=EB、OF=FE，因此AO=BO，即AC和BD互相平分。4.矩形對角線中點的坐標(biāo)設(shè)矩形的對角線為AC和BD，對角線交點為O，則對角線中點為M，N。由矩形的性質(zhì)可知AC和BD相等且互相平分，所以O(shè)M=ON=MC=ND，即M和N分別是AC和BD的中點。在平面直角坐標(biāo)系中，如果已知A(x1,y1)、B(x2,y2)兩個點，可以使用以下公式計算AC和BD的長度：AC的長度為√[(x2-x1)2+(y2-y1)2]BD的長度為√[(x2-x1)2+(y2-y1)2]同時可以使用以下公式計算M和N的坐標(biāo)：M的坐標(biāo)為(x1+x2)/2，(y1+y2)/2N的坐標(biāo)為(x1+x2)/2，(y1+y2)/2三、課后鞏固在平面直角坐標(biāo)系中，已知四個點A(1,3)、B(4,3)、C(4,2)、D(1,2)，判斷四邊形ABCD是否為矩形。已知矩形的長為8cm，寬為6cm，求其面積和周長。在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的一個頂點為A(-3,5)，對角線中點為B(2,1)，求矩形的面積和周長。參考答案計算各邊長度：AB=3，BC=2，CD=3，DA=2，同時由于對角線AC和BD長度相等且互相平分，所以AC=BD=√[32+22]=√13，但任意一條對角線不是另一條對角線的中垂線，因此四邊形ABCD不是矩形。面積=長×寬=8×6=48cm2，周長=2(長+寬)=2(8+6)=28cm。由于已知對角線中點為B(2,1)，因此矩形的另一個頂點為C(-7,-3)或D(-7,9)，假設(shè)為C(-7,-3)。由于已知頂點A