北京市西城區(qū)第四中學2023年高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

北京市西城區(qū)第四中學2023年高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線，其中一條漸近線與x軸的夾角為，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.2．在四面體中，點G是的重心，設，，，則（）A. B.C. D.3．用3，4，5，6，7，9這6個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，下列結論正確的有（）A.在這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)共有480個B.在這樣的六位數(shù)中，3、5、7、9相鄰的共有120個C.在這樣的六位數(shù)中，4，6不相鄰的共有504個D.在這樣六位數(shù)中，4個奇數(shù)從左到右按照從小到大排序的共有60個4．若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則直線A1C1到平面ACD1的距離為（）A.1 B.C. D.5．某學校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中學生中抽取容量為50的樣本，則應從高三年級抽取的學生數(shù)為（）A.10 B.15C.20 D.306．雙曲線：的一條漸近線與直線垂直，則它的離心率為（）A. B.C. D.7．《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M是的中點，，，，若，則（）A. B.C. D.8．在中，，，，則此三角形（）A.無解 B.一解C.兩解 D.解的個數(shù)不確定9．如圖，P為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，圓錐PO的軸截面PAE是邊長為2的等邊三角形，是底面圓的內接正三角形．則（）A. B.C. D.10．已知公差為的等差數(shù)列滿足，則（）A B.C. D.11．若橢圓對稱軸是坐標軸，長軸長為，焦距為，則橢圓的方程（）A. B.C.或 D.以上都不對12．若，則圖像上的點的切線的傾斜角滿足（）A.一定為銳角 B.一定為鈍角C.可能為 D.可能為直角二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的右焦點到C的漸近線的距離為，則C漸近線方程為______14．直線的傾斜角的取值范圍是______.15．寫出直線一個方向向量______16．將參加冬季越野跑的名選手編號為：，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為的樣本，把編號分為組后，第一組的到這個編號中隨機抽得的號碼為，這名選手穿著三種顏色的衣服，從到穿紅色衣服，從到穿白色衣服，從到穿黃色衣服，則抽到穿白色衣服的選手人數(shù)為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，且其左頂點到右焦點的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）設點、在橢圓上，以線段為直徑的圓過原點，試問是否存在定點，使得到直線的距離為定值？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說理由.18．（12分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓C上.（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知直線與橢圓C交于P，Q兩點，點M是線段PQ的中點，直線過點M，且與直線l垂直.記直線與y軸的交點為N，求的取值范圍.19．（12分）在平面直角坐標系中，已知點在橢圓上，其中為橢圓E的離心率（1）求b的值；（2）A，B分別為橢圓E的左右頂點，過點的直線l與橢圓E相交于M，N兩點，直線與交于點T，求證：20．（12分）設銳角三角形ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，.（1）求B的大?。?）若，，求b.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為上一點，且.請用空間向量知識解答下列問題：（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的大小.22．（10分）已知橢圓：，的左右焦點，是雙曲線的左右頂點，的離心率為，的離心率為，點在上，過點E和，分別作直線交橢圓于，和，點，如圖.（1）求，的方程；（2）求證：直線和的斜率之積為定值；（3）求證：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由已知條件計算可得，即得到結果.【詳解】由雙曲線，可知漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線與x軸的夾角為，故，即漸近線方程為.故選：C2、B【解析】結合重心的知識以及空間向量運算求得正確答案.【詳解】設是中點，.故選：B3、A【解析】A選項，特殊位置優(yōu)先考慮求出這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)個數(shù)；B選項，相鄰問題捆綁法求解；C選項，不相鄰問題插空法求解；D選項，定序問題使用倍縮法求解.【詳解】用3，4，5，6，7，9這6個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，個位為3,5,7,9中的一位，有種，其余五個數(shù)位上的數(shù)字進行全排列，有種，綜上：在這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)共有個，A正確；在這樣的六位數(shù)中，3、5、7、9相鄰，將3、5、7、9捆綁，有種排法，再與4,6進行全排列，故共有個，B錯誤；在這樣的六位數(shù)中，4，6不相鄰，先將3、5、7、9進行全排列，再從五個位置中任選兩個將4,6排列，綜上共有個，C錯誤；在這樣的六位數(shù)中，4個奇數(shù)從左到右按照從小到大排序的共有個，D錯誤.故選：A4、B【解析】先證明點A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離，再建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【詳解】因為平面平面，所以A1C1//平面ACD1，則點A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離.建立如圖所示的空間直角坐標系，易知＝(0,0,1)，由題得平面,所以平面,所以,同理,因為平面，所以平面，所以是平面一個法向量，所以平面ACD1的一個法向量為＝(1,1,1)，故所求的距離為.故選：B【點睛】方法點睛：求點到平面的距離常用的方法有：（1）幾何法（找作證指求）；（2）向量法；（3）等體積法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.5、C【解析】根據(jù)抽取比例乘以即可求解.【詳解】由題意可得應從高三年級抽取的學生數(shù)為，故選：C.6、A【解析】先利用直線的斜率判定一條漸近線與直線垂直，求出，再利用雙曲線的離心率公式和進行求解.【詳解】因為直線的斜率為，所以雙曲線的一條漸近線與直線垂直，所以，即，則雙曲線的離心率.故選：A.卷II（非選擇題7、C【解析】建立坐標系，坐標表示向量，求出點坐標，進而求出結果.【詳解】以為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系.不妨令，則，，，，，.因為，所以，則，，，，則解得，，，故.故選：C8、C【解析】利用正弦定理求出的值，再根據(jù)所求值及a與b的大小關系即可判斷作答.【詳解】在中，，，，由正弦定理得，而為銳角，且，則或，所以有兩解故選：C9、B【解析】先求出，再利用向量的線性運算和數(shù)量積計算求解.【詳解】解：由題得,,故選：B10、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和，即可得到答案.【詳解】∵數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，∴，∴.故選：C11、C【解析】求得、、的值，由此可得出所求橢圓的方程.【詳解】由題意可得，解得，，由于橢圓的對稱軸是坐標軸，則該橢圓的方程為或.故選：C.12、C【解析】求出導函數(shù)，判斷導數(shù)的正負，從而得出結論【詳解】，時，，遞減，時，，遞增，而，所以切線斜率可能為正數(shù)，也可能為負數(shù)，還可以為0，則傾斜角可為銳角，也可為鈍角，還可以為，當時，斜率不存在，而存在，則不成立.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)給定條件求出雙曲線漸近線，再用點到直線的距離公式計算作答【詳解】雙曲線的漸近線為：，即，依題意，，即，解得，所以C漸近線方程為.故答案為：14、【解析】先求出直線的斜率取值范圍，再根據(jù)斜率與傾斜角的關系，即可求出【詳解】可化為：，所以，由于，結合函數(shù)在上的圖象，可知故答案為：【點睛】本題主要考查斜率與傾斜角的關系的應用，以及直線的一般式化斜截式，屬于基礎題15、【解析】本題可先將直線的一般式化為斜截式，然后根據(jù)斜率即可得到直線的一個方向向量.【詳解】由題意可知，直線可以化為，所以直線的斜率為，直線的一個方向向量可以寫為.故答案為：.16、【解析】，所以抽到穿白色衣服的選手號碼為，共三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，.【解析】（1）由題設可知求出，再結合，從而可求出橢圓的方程，（2）①若直線與軸垂直，由對稱性可知，代入橢圓方程可求得結果，②若直線不與軸垂直，設直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，然后利用根與系數(shù)的關系，設，，再由條件，得，從而得，再利用點到直線的距離公式可求得結果【詳解】（1）由題設可知解得，，，所以橢圓的方程為：；（2）設，，①若直線與軸垂直，由對稱性可知，將點代入橢圓方程，解得，原點到該直線的距離；②若直線不與軸垂直，設直線的方程為，由消去得，則由條件，即，由韋達定理得，整理得，則原點到該直線的距離；故存在定點，使得到直線的距離為定值.18、（1）（2）【解析】（1）求出后可得橢圓的方程.（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，消去后利用韋達定理可用表示，利用換元法和二次函數(shù)的性質可求的取值范圍.小問1詳解】由題意可得，解得，.故橢圓C的標準方程為.【小問2詳解】設，，.聯(lián)立，整理得，則，解得，從而，.因為M是線段PQ的中點，所以，則，故.直線的方程為，即.令，得，則，所以.設，則，故.因為，所以，所以.19、（1）1（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)點在橢圓E上建立方程，結合，然后解出方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，表示出直線與，求得交點的坐標，再分別表示出直線和的斜率并作差，通過韋達定理證明直線和的斜率相等即可.【小問1詳解】由點在橢圓E上，得：又，即解得：【小問2詳解】依題意，得，且直線l與x軸不會平行設直線l的方程為，，由方程組消去x可得：則有：，且直線的方程為，直線的方程為由方程組可得：設直線的斜率分別是，則有：可得：又可得：故【點睛】（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系（2）涉及到直線方程時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分20、（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理，可得，進而可求出和角；（2）利用余弦定理，可得，即可求出.【詳解】（1）由，得，因為，所以，又因為B為銳角，所以（2）由余弦定理，可得，解得【點睛】本題考查正弦、余弦定理在解三角形中的運用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）以為原點，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，證明出，，結合線面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的大小.【小問1詳解】證明：底面，，故以為原點，、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，所以，，，，則，，即，，又，所以，平面.【小問2詳解】解：知，，，設平面的法向量為，則，，即，令，可得，設平面的法向量為，由，，即，令，可得，，因此，平面與平面夾角的大小為.22、（1）：；：（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1