高中數(shù)學(xué) 高一數(shù)學(xué)

基本初等函數(shù)（一）2.3冪函數(shù)一、冪函數(shù)1．冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)是常數(shù)）叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)．2．冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征冪函數(shù)的解析式是一個(gè)冪的形式，且需滿足：（1）指數(shù)為常數(shù)；（2）底數(shù)為自變量；（3）系數(shù)為1．3．冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系函數(shù)解析式相同點(diǎn)不同點(diǎn)指數(shù)函數(shù)右邊都是冪的形式指數(shù)是自變量，底數(shù)是常數(shù)冪函數(shù)底數(shù)是_______，指數(shù)是_______二、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．幾個(gè)常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)【注】?jī)绾瘮?shù)是常數(shù)）中，的取值不一樣，對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)的定義域不一樣．注意是正分?jǐn)?shù)或負(fù)分?jǐn)?shù)（正整數(shù)或負(fù)整數(shù)）時(shí)的不同．2．冪函數(shù)是常數(shù)）的指數(shù)對(duì)圖象的影響（1）當(dāng)_______時(shí)，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，類似于的圖象，且在第一象限內(nèi)，逆時(shí)針?lè)较蛑笖?shù)在增大；（2）當(dāng)_______時(shí)，函數(shù)圖象向x軸彎曲，類似于的圖象；（3）當(dāng)_______時(shí)，函數(shù)圖象向y軸彎曲，類似于的圖象，而且逆時(shí)針?lè)较蛑笖?shù)在增大．具體如下：αα>10<α<1α<0圖象特殊點(diǎn)過(guò)（0，0），（1，1）過(guò)（0，0），（1，1）過(guò)（1，1）凹凸性下凸上凸下凸單調(diào)性遞增遞增遞減舉例y=x2、3．常用結(jié)論（1）冪函數(shù)在_______上都有定義．（2）冪函數(shù)的圖象均過(guò)定點(diǎn)_______．（3）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象均過(guò)定點(diǎn)，且在上單調(diào)_______．（4）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象均過(guò)定點(diǎn)，且在上單調(diào)_______．（5）冪函數(shù)在第四象限無(wú)圖象．K知識(shí)參考答案：一、3．自變量 常數(shù)二、2．（1） （2） （3）3．（1） （2） （3）遞增 （4）遞減K—重點(diǎn)1．冪函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)；K—難點(diǎn)1．冪函數(shù)的性質(zhì)；K—易錯(cuò)1．要正確區(qū)分冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)；2．根據(jù)冪函數(shù)的定義求參數(shù)的值時(shí)，一定要把求出的參數(shù)的值代入題目中進(jìn)行取舍．1．K重點(diǎn)——冪函數(shù)的定義判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為（是常數(shù)）的形式，即滿足：（1）指數(shù)為常數(shù)；（2）底數(shù)為自變量；（3）系數(shù)為1．【例1】已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（2，），試求該函數(shù)的解析式．2．冪函數(shù)的圖象要牢記冪函數(shù)的圖象，并能靈活運(yùn)用．由冪函數(shù)的圖象，我們知道：（1）當(dāng)?shù)闹翟冢?，1）上時(shí)，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸（簡(jiǎn)記為“指大圖低”）；當(dāng)?shù)闹翟冢?，+∞）上時(shí)，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸．（2）任何冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸最多只有一個(gè)交點(diǎn)（原點(diǎn)）；任何冪函數(shù)的圖象都不經(jīng)過(guò)第四象限．【例2】已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為A． B．C． D．3．冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（1）冪函數(shù)的單調(diào)性主要用來(lái)比較指數(shù)相同、底數(shù)不同的冪的值的大小，這時(shí)需要注意冪函數(shù)的定義域和利用冪函數(shù)的奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（2）與冪函數(shù)有關(guān)的綜合性問(wèn)題一般是利用單調(diào)性、奇偶性以及函數(shù)圖象求函數(shù)值域、不等式解集等．【例3】如圖，冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且與軸，軸均無(wú)交點(diǎn)，求此函數(shù)的解析式及不等式的解集．．4．冪函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（1）注意利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較冪值大小的方法步驟．第一步，根據(jù)指數(shù)分清正負(fù)；第二步，正數(shù)區(qū)分大于1與小于1的情況，a>1，α>0時(shí)，aα>1；0<a<1，α>0時(shí)，0<aα<1；a>1，α<0時(shí)，0<aα<1；0<a<1，α<0時(shí)，aα>1；第三步，構(gòu)造冪函數(shù)應(yīng)用冪函數(shù)單調(diào)性，特別注意含字母時(shí)，要注意底數(shù)不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的情形．（2）給定一組數(shù)值，比較大小的步驟．第一步：區(qū)分正負(fù)．一種情形是冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)值即冪式確定符號(hào)；另一種情形是對(duì)數(shù)式確定符號(hào)，要根據(jù)各自的性質(zhì)進(jìn)行．第二步：正數(shù)通常還要區(qū)分大于1還是小于1．第三步：同底的冪，用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性；同指數(shù)的冪用冪函數(shù)單調(diào)性；同底的對(duì)數(shù)用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性．第四步：對(duì)于底數(shù)與指數(shù)均不相同的冪，或底數(shù)與真數(shù)均不相同的對(duì)數(shù)值大小的比較，通常是找一中間值過(guò)渡或化同底（化同指）、或放縮、有時(shí)作商（或作差）、或指對(duì)互化，對(duì)數(shù)式有時(shí)還用換底公式作變換等等．【例4】設(shè)，則的大小關(guān)系是A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．c>a>b D．b>c>a5．求出參數(shù)后，忽略檢驗(yàn)致錯(cuò)【例5】已知冪函數(shù)的定義域?yàn)椋覇握{(diào)遞減，則_______．1．如果冪函數(shù)f（x）=xα的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則α=A．–2 B．2 C． D．2．若冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，），則f（）的值是A．4 B．3 C．2 D．13．冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則f（2）的值等于A．4 B． C． D．4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為A．（–∞，0] B．[0，+∞） C．（0，+∞） D．（–∞，0）5．若冪函數(shù)y=f（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則此函數(shù)在定義域上是A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．偶函數(shù) D．奇函數(shù)6．若函數(shù)f（x）=（m2–m–1）xm是冪函數(shù)，且圖象與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)，則f（x）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是單調(diào)遞減函數(shù) D．在定義域內(nèi)有最小值7．冪函數(shù)f（x）=xα的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)α=___________．8．冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為_(kāi)__________．9．已知冪函數(shù)f（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，8），則f（3）=___________．10．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為A． B． C． D．11．已知點(diǎn)在冪函數(shù)f（x）=（a–1）xb的圖象上，則函數(shù)f（x）是A．定義域內(nèi)的減函數(shù) B．奇函數(shù)C．偶函數(shù) D．定義域內(nèi)的增函數(shù)12．已知點(diǎn)（a，）在冪函數(shù)f（x）=（a–1）xb的圖象上，則函數(shù)f（x）是A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．定義域內(nèi)的減函數(shù) D．定義域內(nèi)的增函數(shù)13．已知冪函數(shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過(guò)函數(shù)g（x）=ax–2–（a>0且a≠1）的圖象所過(guò)的定點(diǎn)，則冪函數(shù)f（x）不具有的特性是A．在定義域內(nèi)有單調(diào)遞減區(qū)間 B．圖象過(guò)定點(diǎn)（1，1）C．是奇函數(shù) D．其定義域是R14．若函數(shù)f（x）=（m+2）xa是冪函數(shù)，且其圖象過(guò)點(diǎn)（2，4），則函數(shù)g（x）=loga（x+m）的單調(diào)增區(qū)間為A．（–2，+∞） B．（1，+∞） C．（–1，+∞） D．（2，+∞）15．已知函數(shù)，則A．存在x0∈R，使得f（x）<0B．對(duì)于任意x∈[0，+∞），f（x）≥0C．存在x1，x2∈[0，+∞），使得D．對(duì)于任意x1∈[0，+∞），?x2∈[0，+∞）使得f（x1）>f（x2）16．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且與x軸、y軸均無(wú)交點(diǎn)，則整數(shù)m的值為_(kāi)__________．17．冪函數(shù)f（x）=（t3–t+1）x3t+1是奇函數(shù)，則f（2）=___________．18．已知，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．19．已知冪函數(shù)f（x）=x（m∈N*）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）試求m的值，并寫(xiě)出該冪函數(shù)的解析式；（2）試求滿足f（1+a）>f（3–）的實(shí)數(shù)a的取值范圍．20．已知冪函數(shù)f（x）=（m3–m+1）x的圖象與x軸和y軸都無(wú)交點(diǎn)．（1）求f（x）的解析式；（2）解不等式f（x+1）>f（x–2）．21．已知f（x）=（m2–m–1）x–5m–1是冪函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞