安徽省廬巢六校聯(lián)盟2023-2024學年高二上數(shù)學期末學業(yè)水平測試試題含解析

安徽省廬巢六校聯(lián)盟2023-2024學年高二上數(shù)學期末學業(yè)水平測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線的準線方程是A. B.C. D.2．某班進行了一次數(shù)學測試，全班學生的成績都落在區(qū)間內，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，若該班學生這次數(shù)學測試成績的中位數(shù)的估計值為，則的值為（）A. B.C. D.3．橢圓的左、右焦點分別為，過焦點的傾斜角為直線交橢圓于兩點，弦長，若三角形的內切圓的面積為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.4．設數(shù)列的前項和為，當時，，，成等差數(shù)列，若，且，則的最大值為（）A. B.C. D.5．如圖，某圓錐軸截面是等邊三角形，點是底面圓周上的一點，且，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.6．在等差數(shù)列中，為其前n項和，，則（）A.55 B.65C.15 D.607．函數(shù)f（x）＝的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.8．某市物價部門對5家商場的某商品一天的銷售量及其售價進行調查，5家商場的售價（元）和銷售量（件）之間的一組數(shù)據(jù)如表所示.按公式計算，與的回歸直線方程是，則下列說法錯誤的是（）售價99.51010.511銷售量1110865A.B.售價變量每增加1個單位時，銷售變量大約減少3.2個單位C.當時，的估計值為12.8D.銷售量與售價成正相關9．曲線為四葉玫瑰線，這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應用，苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來需要穿越相交道路的轉向都由環(huán)形匝道來實現(xiàn)，即讓左轉車輛行駛環(huán)道后自右側切向匯入高速公路，四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列結論正確的個數(shù)是()①曲線C關于點(0，0)對稱；②曲線C關于直線y＝x對稱；③曲線C的面積超過4π.A.0 B.1C.2 D.310．已知集合，則（）A. B.C. D.11．已知等差數(shù)列的公差為，則“”是“數(shù)列為單調遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件12．為了了解1000名學生的學習情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為50的樣本，則分段的間隔為（）A.20 B.25C.40 D.50二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某次數(shù)學期末試卷中有8道4選1的單選題14．如圖所示，二面角為，是棱上的兩點，分別在半平面內，且，，，，，則的長______15．若，，，四點中恰有三點在橢圓上，則橢圓C的方程為________.16．設命題：，，則為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點坐標分別為和，且該雙曲線經過點P(3，1)（1）求雙曲線的方程；（2）若F是雙曲線的右焦點，Q是雙曲線上的一點，過點F，Q的直線l與y軸交于點M，且，求直線l的斜率18．（12分）已知p：，q：（1）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)m的范圍19．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，且，直線過與交于兩點，的周長為8（1）求的方程；（2）過作直線交于兩點，且向量與方向相同，求四邊形面積的取值范圍20．（12分）如圖，在三棱柱中，面ABC，，，D為BC的中點（1）求證：平面；（2）若F為中點，求與平面所成角的正弦值21．（12分）已知數(shù)列的前n項和，滿足，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，求數(shù)列的前n項和.22．（10分）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴重疾病．而今年出現(xiàn)的新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株．人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等．在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡．應國務院要求，黑龍江某醫(yī)院選派醫(yī)生參加援鄂醫(yī)療，該院呼吸內科有3名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生，其中李亮（男）為科室主任；該院病毒感染科有2名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生，其中張雅（女）為科室主任，現(xiàn)在院方決定從兩科室中共選4人參加援鄂醫(yī)療（最后結果用數(shù)字表達）（1）若至多有1名主任參加，有多少種派法？（2）若呼吸內科至少2名醫(yī)生參加，有多少種派法？（3）若至少有1名主任參加，且有女醫(yī)生參加，有多少種派法？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)拋物線的概念，可得準線方程為2、A【解析】根據(jù)已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得結果.【詳解】由題意有，得，又由，得，解得，，有故選：A.3、C【解析】由題可得直線AB的方程，從而可表示出三角形面積，又利用焦點三角形及三角形內切圓的性質，也可表示出三角形面積，則橢圓的離心率即求.【詳解】由題知直線AB的方程為，即，∴到直線AB距離，又三角形的內切圓的面積為，則半徑為1，由等面積可得，.故選：C.4、A【解析】根據(jù)等差中項寫出式子，由遞推式及求和公式寫出和，進而得出結果.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，可得，則，，，可得數(shù)列中，每隔兩項求和是首項為，公差為的等差數(shù)列.則，，則的最大值可能為.由，，可得.因為，，，即，所以，則，當且僅當時，，符合題意，故的最大值為.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質和遞推式的應用，考查分析問題能力，屬于難題.5、C【解析】建立空間直角坐標系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計算即可.【詳解】以過點且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設異面直線與所成角為，則.故選：C.6、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式結合等差數(shù)列的性質即可求得.【詳解】解析：因為為等差數(shù)列，所以，即，.故選:B7、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項A,C，然后利用特殊值判斷即可【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域為，關于原點對稱.所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項A,C.當時，，排除選項D，故選：B8、D【解析】首先求出、，再根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點，即可求出，再根據(jù)回歸直線方程的性質一一判斷即可；【詳解】解：因為，，與回歸直線方程，恒過定點，，解得，故A正確，所以回歸直線方程為，即售價變量每增加1個單位時，銷售變量大約減少3.2個單位，故B正確；當時，即當時，的估計值為12.8，故C正確；因為回歸直線方程為，所以銷售量與售價成負相關，故D錯誤；故選：D9、C【解析】根據(jù)圖像或解析式即可判斷對稱性①②；估算第一象限內圖像面積即可判斷③.【詳解】①將點(－x，－y)代入后依然為，故曲線C關于原點對稱；②將點(y，x)代入后依然為，故曲線C關于y＝x對稱；③曲線C在四個象限的圖像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲線C上離原點最遠的點的距離為顯然第一象限內曲線C的面積小于以為直徑的圓的面積，又∵，∴第一象限內曲線C的面積小于，則曲線C的總面積小于4π.故③錯誤.故選：C.10、C【解析】解一元二次不等式求集合A，再由集合的交運算求即可.【詳解】由題設，，∴.故選：C.11、C【解析】利用等差數(shù)列的定義和數(shù)列單調性的定義判斷可得出結論.【詳解】若，則，即，此時，數(shù)列為單調遞增數(shù)列，即“”“數(shù)列為單調遞增數(shù)列”；若等差數(shù)列為單調遞增數(shù)列，則，即“”“數(shù)列為單調遞增數(shù)列”.因此，“”是“數(shù)列為單調遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.12、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣定義可求得結果【詳解】分段的間隔為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.84375【解析】合理設出事件，利用全概率公式進行求解.【詳解】設小王從這8題中任選1題，且作對為事件A，選到能完整做對的5道題為事件B，選到有思路的兩道題為事件C，選到完全沒有思路為事件D，則，，，由全概率公式可得：PA=PB故答案為：14、【解析】推導出，從而，結合，，，能求出的長【詳解】二面角為，是棱上的兩點，分別在半平面、內，且所以,所以，，，的長故答案為【點睛】本題主要考查空間向量的運算法則以及數(shù)量積的運算法則，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，是中檔題15、【解析】由于，關于軸對稱，故由題設知C經過，兩點，C不經過點，然后求出a，b，即可得到橢圓的方程.【詳解】解：由于，關于軸對稱，故由題設知經過，兩點，所以.又由知，不經過點，所以點在上，所以.因此，故方程為.故答案為：.【點睛】求橢圓的標準方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程②待定系數(shù)法：若焦點位置明確，則可設出橢圓的標準方程，結合已知條件求出，；若焦點位置不明確，則需要分焦點在軸上和軸上兩種情況討論，也可設橢圓的方程為16、，【解析】由全稱命題的否定即可得到答案【詳解】根據(jù)全稱命題的否定，可得為，【點睛】本題考查了含有量詞的命題否定，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意列方程組求解（2）待定系數(shù)法設直線后，由條件求出坐標后代入雙曲線方程求解【小問1詳解】，解得，故雙曲線方程為【小問2詳解】，故設直線方程為則，由得：故，點在雙曲線上，則，解得直線l的斜率為18、（1），；（2），【解析】解不等式，(1)由題意得，從而求得；(2)由題意可轉化為是的充分不必要條件，從而得到，化簡即可【小問1詳解】解不等式得，是的必要不充分條件，，解得，，即實數(shù)的范圍為，；小問2詳解】是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，故，解得，，即實數(shù)的范圍為，19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件直接求出半焦距，及長半軸長即可作答.(2)根據(jù)給定條件結合橢圓的對稱性可得四邊形為平行四邊形，設出直線l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達定理、對勾函數(shù)性質計算作答.【小問1詳解】依題意，橢圓半焦距，由橢圓定義知，的周長，解得，，因此橢圓的方程為.【小問2詳解】依題意，直線的斜率不為0，設直線的方程為，，由消去并整理得：，則，，因與方向相同，即，又橢圓是以原點O為對稱中心的中心對稱圖形，于是得，即四邊形為平行四邊形，其面積，則，令，則，則，顯然在上單調遞增，則當時，，即，從而可得，所以四邊形面積的取值范圍為.【點睛】結論點睛：過定點的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點，，則面積；過定點直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點，，則面積20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接交于點O，連接OD，通過三角形中位線證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】解法1：如圖，連接交于點O，連接OD，因為在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，所以O是的中點，因為D為BC的中點，所以在中，，因為平面，平面，所以平面平面解法2：因為在三棱柱中，面ABC，，所以BA，BC，兩兩垂直，故以B點為坐標原點，建立如圖的空間直角坐標系，因為，所以B（0,0,0），A（2,0,0），D（0,1,0），，，所以，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，∴，平面，所以平面；【小問2詳解】設與平面所成角為，由(1)知平面法向量為，F(xiàn)為中點，∴，，∴即與平面所成角正弦值為.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先將變?yōu)?，然后等式兩邊同除即可得答案；?）求出，再用錯位相減求和【小問1詳解】證明：∵∴由已知易得，∴∴數(shù)列是首項，公差為的等差數(shù)列；【小問2詳解】由（1）可知，∴∴①②①－②有∴22、（1）105種（2）105種（3）87種【解析】（1）至多有1名主任參加，包括兩種情況：一種是無主任參加，另一種是只有1名主任參加，利用分類計數(shù)原理可得結果；（2）呼吸內科至少2