福建省泉州第十六中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

福建省泉州第十六中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．若對任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.， B.C.， D.3．已知E、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線l過點(diǎn)E，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則的周長為A.10 B.12C.16 D.204．曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）A.3 B.C.2 D.5．已知直線過點(diǎn)，，則該直線的傾斜角是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.7．已知拋物線的方程為，則此拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.8．已知橢圓與圓在第二象限的交點(diǎn)是點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，到直線的距離是，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.9．過點(diǎn)且垂直于的直線方程為（）A. B.C. D.10．在等差數(shù)列中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，其公比為q，前n項(xiàng)和為，滿足，且是與的等差中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C D.12．已知向量，，若與共線，則實(shí)數(shù)值為（）A. B.C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，P是C上一點(diǎn)，若|PF|＝5，則|PM|＝__.14．在等比數(shù)列中，若，，則數(shù)列的公比為___________.15．已知拋物線：上有兩動點(diǎn)，，且，則線段的中點(diǎn)到軸距離的最小值是___________.16．若，則___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角的對邊分別為，已知，,且.（1）求角的大?。唬?）若，面積為，試判斷的形狀，并說明理由.18．（12分）已知等比數(shù)列滿足，.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，設(shè)（），記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.19．（12分）在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）某企業(yè)搜集了某產(chǎn)品的投人成本x（單位：萬元）與銷售收入y（單位：萬元）的六組數(shù)據(jù)，并將其繪制成如圖所示的散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出，y與x之間是線性相關(guān)的.（1）試用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若投入成本不高于10萬元，則可以根據(jù)（1）中的回歸方程估計(jì)產(chǎn)品銷售收入；若投入成本高于10萬元，投入成本x（單位：萬元）與銷售收入y（單位：萬元）之間的關(guān)系式為.若該企業(yè)要追求更高的毛利率（毛利率），試問該企業(yè)對該產(chǎn)品的投入成本選擇收人7萬元更好，還是選擇12萬元更好？說明你的理由.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.參考數(shù)據(jù)：.21．（12分）已知命題實(shí)數(shù)滿足不等式，命題實(shí)數(shù)滿足不等式.（1）當(dāng)時(shí)，命題，均為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，試問拋物線上是否存在定點(diǎn)使得直線與的斜率互為倒數(shù)？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由定義證明函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)不等式恒能成立的性質(zhì)得出，從而得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】任取，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，使得，則即故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化時(shí)要注意全稱量詞與存在量詞對題意的影響．等價(jià)轉(zhuǎn)化如下：(1)，，使得成立等價(jià)于(2)，，不等式恒成立等價(jià)于(3)，，使得成立等價(jià)于(4)，，使得成立等價(jià)于2、D【解析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，再結(jié)合題意得數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，即，再解不等式即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意：數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，由于數(shù)列滿足，所以對任意的都成立，故數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，所以，解得故選：3、D【解析】利用橢圓的定義即可得到結(jié)果【詳解】橢圓，可得，三角形的周長，，所以：周長，由橢圓的第一定義，，所以，周長故選D【點(diǎn)睛】本題考查橢圓簡單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓的定義的應(yīng)用，三角形的周長的求法，屬于基本知識的考查4、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，依題意即過切點(diǎn)的切線恰好與直線平行，此時(shí)切點(diǎn)到直線的距離最小，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以切點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的距離，所以曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是；故選：D5、C【解析】根據(jù)直線的斜率公式即可求得答案.【詳解】設(shè)該直線的傾斜角為，該直線的斜率，即.故選：C6、D【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的奇偶性判斷出的單調(diào)性，由此化簡不等式來求得不等式的解集.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增.因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.，，，或.即不等式的解集為.故選：D7、A【解析】由拋物線的方程直接寫出其準(zhǔn)線方程即可.【詳解】由拋物線的方程為，則其準(zhǔn)線方程為：故選：A8、B【解析】連接，得到，作，求得，利用橢圓的定義，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，連接，因?yàn)閳A，可得，過點(diǎn)作，可得，且，由橢圓的定義，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，兩側(cè)同除，可得，解得或，又因?yàn)椋詸E圓的離心率為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，直角三角形的勾股定理，以及橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理，列出關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】求出直線l的斜率，再借助垂直關(guān)系的條件即可求解作答.【詳解】直線的斜率為，而所求直線垂直于直線l，則所求直線斜率為，于是有：，即，所以所求直線方程為.故選：B10、A【解析】根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的不等式，從而可求的取值范圍.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，所以，即，從?故選：A.11、D【解析】根據(jù)題意求得，即可判斷AB，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可判斷C；再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可判斷D.【詳解】解：因?yàn)楦黜?xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，又因是與的等差中項(xiàng)，所以，即，解得或（舍去），故B錯(cuò)誤；所以，故A錯(cuò)誤；所以，故C錯(cuò)誤；所以，故D正確.故選：D.12、D【解析】根據(jù)空間向量共線有，，結(jié)合向量的坐標(biāo)即可求的值.【詳解】由題設(shè)，有，，則，可得.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)及拋物線方程可求坐標(biāo)，進(jìn)而得解.【詳解】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，由題意可得，設(shè)，有拋物線的性質(zhì)可得：，解得x＝4，代入拋物線的方程可得，所以，故答案為：.14、##【解析】求出等比數(shù)列的公比，利用定義可求得數(shù)列的公比.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因此，數(shù)列的公比為.故答案為：.15、2【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，由，結(jié)合拋物線的定義可得線段的中點(diǎn)到軸距離的最小值.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上的投影為，點(diǎn)在直線上的投影為，線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)到軸的距離為，則,∴，當(dāng)且僅當(dāng)即三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，∴線段的中點(diǎn)到軸距離的最小值是2，故答案為：2.16、【解析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出，即可得出答案.【詳解】解：由，得，則，所以，所以，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）為等邊三角形【解析】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得sinB（2cosA﹣1）＝0，從而得角A；（2）由S△ABC＝bcsinA＝，可得bc＝3，①；再由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA可得b2+c2＝6，②；聯(lián)立①②可求得b＝c＝，從而可判斷△ABC的形狀【詳解】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC＝0，∴2sinBcosA﹣sin（A+C）＝0，sinB（2cosA﹣1）＝0∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA＝．∵0＜A＜π，∴A＝（2）△ABC為等邊三角形，∵S△ABC＝bcsinA＝，即bcsin＝，∴bc＝3，①∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，A＝，a＝，∴b2+c2＝6，②由①②得b＝c＝，∴△ABC為等邊三角形【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，著重考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查方程思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題18、（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知建立方程組，求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得和（），運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列的和【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由，可得，記為①又因?yàn)?，可得，即記為②，由①②可得或，故的通?xiàng)公式為或（Ⅱ）由（Ⅰ）及可知，所以（），所以③④③－④得，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和.（2）錯(cuò)位相減法：若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求.（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，相消剩下首尾的若干項(xiàng).常見的裂頂有，，等.（4）分組求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和.（5）倒序相加法.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）令，分和去掉絕對值，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，，所以，所以，則.【小問2詳解】令，解得，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，.20、（1）（2）該企業(yè)對該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬元更好，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)公式計(jì)算出和，求出線性回歸方程；（2）分別求出投入成本7萬和12萬時(shí)的毛利率，比較出大小即可得到答案.【小問1詳解】，，，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為；【小問2詳解】該企業(yè)對該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬元更好，理由如下：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)毛利率為×100％≈34％；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)毛利率為=40％，因?yàn)?0％>34％，所以該企業(yè)對該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬元更好.21、（1）；（2）.【解析】（1）分別求出命題，均為真命題時(shí)的取值范圍，再求交集即可.（2）利用集合間的關(guān)系求解即可.【詳解】實(shí)數(shù)滿足不等式，即命題實(shí)數(shù)滿足不等式，即（1）當(dāng)時(shí)，命題，均為真命題，則且則實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）若是的充分不必要條件，則是的真子集則且解得故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】判斷充分條件與必要條件應(yīng)注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)