2024屆新教材一輪復習人教A版 　數列求和 課件（58張）

3．數列求和方法(1)公式法求和：使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比數列或可化為等差、等比數列的求和方法．(2)錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和就是用此法推導的．(3)倒序相加法：如果一個數列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數列的前n項和即是用此法推導的．(4)分組求和法：一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后再相加減．(5)并項求和法：一個數列的前n項和，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．1．先看數列通項特點，再想求和方法．2．常見的拆項公式：(1)若{an}為各項都不為0的等差數列，公差為d(d≠0)，B2．(基本方法：錯位相減法求和)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________________(x≠0且x≠1).3．(基本能力：分組轉化法求和)(2－1)＋(22－2)＋…＋(210－10)＝________________．答案：211－574．(基本能力：并項求和)數列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，則S17＝________________．答案：9答案：33類型2并項轉化法求和[例2]

(2020·高考全國卷Ⅰ)數列{an}滿足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16項和為540，則a1＝________________．解析：法一：因為an＋2＋(－1)nan＝3n－1，所以當n為偶數時，an＋2＋an＝3n－1，所以a2＋a4＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41，所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92.7因為數列{an}的前16項和為540，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.①因為當n為奇數時，an＋2－an＝3n－1，所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38，所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.②由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184.又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，所以a1＋a1＋10＋a1＋44＋a1＋102＝184，所以a1＝7.并項求和時，分析是“兩項之并”“三項之并”或“四項之并”一般常與周期結合起來．如例2，當n為偶數時“兩項之并”，再組合為“兩組之和”．當n為奇數時“兩項之并”，再組合為“兩組之差”．

[題組突破]1．若數列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數列{an}的前n項和為(

)A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2CB方法總結1．裂項相消法就是將數列的通項拆分成兩個式子的差，然后通過累加抵消掉中間的許多項的求和方法，此種方法適用于通項可以分裂成兩式之差，尤其是分母為等差數列的兩項之積的類型的數列求和問題．破解此類題的關鍵點：(1)定通項，即根據已知條件求出數列的通項公式．(2)巧裂項，即根據通項公式的特征進行準確裂項，把數列的每一項，表示為兩項之差的形式．(3)消項求和，即通過累加抵消掉中間的項，達到消項的目的，準確求和．2．為了準確裂項、消項，一般先試裂、試消：裂項注意系數“配平”，消項時，前面剩多少項，最后就剩相同的項數．3．當每項不能分解成兩項之差時，需結合條件中公式的特點，運用裂項前和裂項后相等進行檢驗，故將每項分解成兩項之和．裂項相消法的實質是將數列中的每項進行分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的，可能是和式或差式．

解析：(1)因為6Sn＝3n＋1＋a(n∈N*)，所以當n＝1時，6S1＝6a1＝9＋a，當n≥2時，6an＝6(Sn－Sn－1)＝2×3n，即an＝3n－1，因為{an}是等比數列，所以a1＝1，則9＋a＝6，得a＝－3，所以數列{an}的通項公式為an＝3n－1(n∈N*).[典例剖析]類型1錯位相減求和[例1]

(2020·高考全國卷Ⅰ)設{an}是公比不為1的等比數列，a1為a2，a3的等差中項．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求數列{nan}的前n項和．解析：(1)設{an}的公比為q，由題設得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2，所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2，故{an}的公比為－2.方法總結1．如果數列{an}是一個由等差數列{bn}及等比數列{cn}對應項之積組成的數列，即an＝bn·cn，則其前n項和Sn的求解常用錯位相減法．破解此類題的關鍵點：(1)巧分拆，即將數列的通項公式分拆為等差數列與等比數列積的形式，并求出公差和公比．

(2)構差式，即寫出Sn的解析式，再乘以公比或除以公比，然后將兩式相減．(3)后求和，根據差式的特征準確進行求和．2．在Sn兩邊同乘公比q時，要保證q≠