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§9.3二階常系數線性微分方程一、二階常系數齊次線性方程二、二階常系數非齊次線性方程三、n階線性微分方程解的結構稱為二階常系數齊次線性微分方程,一、二階常系數齊次線性方程稱為二階線性微分方程．稱為二階齊次線性微分方程．稱為二階非齊次線性微分方程．例如，定義9.4數.

則稱定理9.1例如,它們是線性無關的．故方程的通解為是方程的通解,所以特征方程的根為特征根的三種不同情況討論：方程有兩個線性無關的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為通過直接驗證可知，得齊次方程的通解為是方程的兩個線性無關的特解,二階常系數齊次線性微分方程求通解的一般步驟:(1)寫出相應的特征方程(2)求出特征方程的兩個根(3)根據特征方程的兩個根的不同情況,按照下列規(guī)則寫出微分方程的通解例1解特征方程為所以所給方程的通解為例2解特征方程為所以所給方程的通解為例3解方程的特征方程為于是容易得到:方程的通解為方程的通解為方程的通解為即得以上通解均不是周期函數,形如的方程,

稱為二階常系數非齊次線性微分方程,

其中二、二階常系數非齊次線性方程通常稱方程為方程

對應的齊次方程.定理9.2定理9.3是方程的通解.非齊次線性微分方程通解結構為關鍵：如何求非齊次線性微分方程特解．特點：待定系數法：先確定解的形式，再把形式解代入方程定出解中包含的常數的值，確定待定系數，從而求出方程的特解.例4解對應齊次方程的通解為設所給方程的特解為為待定常數,代入所給方程,得比較同冪次項系數,得于是方程通解為解：（1）

（2）是特征單根，設

代入方程，得

比較系數，得

（3）例5．求的一個特解.綜上討論，求非齊次線性微分方程特解時例6解對應齊次方程的通解為設所給方程的特解為代入所給方程,有比較同冪次項系數,得于是得方程的通解為例7、求的通解。解：①

是單根，設代入原方程，得

比較系數，得

∴（3）原方程通解為：

例8解對應齊次方程的通解為設所給方程的特解為代入所給方程,有于是得所給方程的通解是例9解對應齊次方程的特征方程為解得于是對應齊次方程的通解為設所給方程的特解為于是,得所給方程的通解是代入所給方程,有n階線性微分方程的一般形式為三、n階線性微分方程解的結構稱之為n階齊次線性微分方程，簡稱齊次線性方程.

稱為n階非齊次線性微分方程，簡稱非齊次線性方程，定義9.5使得等式定理9.4則定理9.5則也是方程的解,是方程的通解,定理9.6則例如，故它們在整個數軸上是線性相關的．是非齊次線性方程的通解.定理9.7的特解.則是非齊次線性方程的通解.n階常系數線性微分方程的一般形式為其對應的特征方程為n階常系數齊次線性微分方程的一般形式為根據特征方程的根的不同情況,按照下列規(guī)則寫出微分方程的通解n階非齊次線性微分方程的特解求法例8解對應齊次方程的特征方程為解得于是對應齊次方程的通解為設所給方

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