廣西賀州市桂梧高級中學2024屆數(shù)學高二上期末綜合測試試題含解析

廣西賀州市桂梧高級中學2024屆數(shù)學高二上期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．七巧板是中國古代勞動人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A. B.C. D.2．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B.9C. D.3．已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.4．橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則離心率（）A. B.C. D.5．某班新學期開學統(tǒng)計新冠疫苗接種情況，已知該班有學生45人，其中未完成疫苗接種的有5人，則該班同學的疫苗接種完成率為（）A. B.C. D.6．已知空間直角坐標系中的點，，，則點P到直線AB的距離為（）A. B.C. D.7．已知圓與圓，則圓M與圓N的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.相交C.外切 D.外離8．已知直線，當變化時，所有直線都恒過點（）A.B.C.D.9．若直線與直線垂直，則（）A.6 B.4C. D.10．已知，是球的球面上兩點，，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為（）A. B.C. D.11．如圖，我市某地一拱橋垂直軸截面是拋物線，已知水利人員在某個時刻測得水面寬，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為（）A. B.C. D.12．已知雙曲線，則該雙曲線的實軸長為（）A.1 B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．萬眾矚目的北京冬奧會將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運會之后，國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦奧運會開幕式.在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為________cm.14．已知直線l1：（1）x+y﹣2=0與l2：（1）x+ay﹣4=0平行，則a=_____.15．某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______.16．九連環(huán)是中國的一種古老智力游對，它用九個圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無窮.中國的末代皇帝溥儀（1906-1967）也曾有一個精美的由九個翡翠繯相連的銀制的九連環(huán)（如圖）.現(xiàn)假設(shè)有個圓環(huán)，用表示按照某種規(guī)則解下個圓環(huán)所需的銀和翠玉制九連環(huán)最少移動次數(shù)，且數(shù)列滿足，，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.（1）求的解析式；（2）若關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，為的導函數(shù)（1）求的定義域和導函數(shù)；（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對，都有成立，且存在，使成立，求實數(shù)a的取值范圍19．（12分）等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項和為，求.20．（12分）已知點A（1，2）在拋物線C∶上，過點A作兩條直線分別交拋物線于點D，E，直線AD，AE的斜率分別為kAD，kAE，若直線DE過點P（-1，-2）（1）求拋物線C的方程；（2）求直線AD，AE的斜率之積.21．（12分）函數(shù)（1）求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍22．（10分）2017年廈門金磚會晤期間產(chǎn)生碳排放3095噸．2018年起廈門市政府在下潭尾濕地生態(tài)公園通過種植紅樹林的方式中和會晤期間產(chǎn)生的碳排放，擬用20年時間將碳排放全部吸收，實現(xiàn)“零碳排放”目標，向世界傳遞低碳，環(huán)保辦會的積極信號，踐行金磚國家倡導的可持續(xù)發(fā)展精神據(jù)研究估算，紅樹林的年碳吸收量隨著林齡每年遞增2%，2018年公園已有的紅樹林年碳吸收量為130噸，如果從2019年起每年新種植紅樹林若干畝，新種植的紅樹林當年的年碳吸收量為m（）噸．2018年起，紅樹林的年碳吸收量依次記，，，…（1）①寫出一個遞推公式，表示與之間的關(guān)系；②證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）為了提前5年實現(xiàn)廈門會晤“零碳排放”的目標，m的最小值為多少？參考數(shù)據(jù)：，，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)正方形的邊長為，計算出陰影部分區(qū)域的面積和正方形區(qū)域的面積，然后利用幾何概型的概率公式計算出所求事件的概率.【詳解】設(shè)大正方形的邊長為，則面積為，陰影部分由一個大等腰直角三角形和一個梯形組成大等腰直角三角形的面積為，梯形的上底為，下底為，高為，面積為，故所求概率故選：D.2、A【解析】根據(jù)，將式子化為，進而化簡，然后結(jié)合基本不等式求得答案.【詳解】因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故選：A.3、B【解析】先求出向量與的夾角的余弦值，即可求出與的夾角.【詳解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴與的夾角為.故選：B.4、D【解析】根據(jù)長軸長是短軸長的2倍，得到，利用離心率公式即可求得答案.【詳解】∵，∴，故，故選：D5、D【解析】利用古典概型的概率求解.【詳解】該班同學的疫苗接種完成率為故選：D6、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】，0，，，1，，，，，，在上的投影為，則點到直線的距離為.故選：D7、B【解析】將兩圓方程化為標準方程形式，計算圓心距，和兩圓半徑的和差比較，可得答案,【詳解】圓,即，圓心，圓，即，圓心，則故有，所以兩圓是相交的關(guān)系，故選：B8、D【解析】將直線方程整理為，從而可得直線所過的定點.【詳解】可化為，∴直線過定點，故選：D.9、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.10、C【解析】當平面時，三棱錐體積最大，根據(jù)棱長與球半徑關(guān)系即可求出球半徑，從而求出表面積.【詳解】當平面時，三棱錐體積最大.又，則三棱錐體積，解得；故表面積.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查三棱錐與球的組合體的綜合問題，本題的關(guān)鍵是判斷當平面時，三棱錐體積最大.11、D【解析】代入計算即可.【詳解】設(shè)B點的坐標為，由拋物線方程得，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為2米.故選：D12、B【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接計算即可作答.【詳解】雙曲線的實半軸長，所以該雙曲線的實軸長為2.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20【解析】求出大橢圓的離心率等于小橢圓的離心率，然后求解小橢圓的長軸長【詳解】在大橢圓中，，，則，.因為兩橢圓扁平程度相同，所以離心率相等，所以在小橢圓中，，結(jié)合，得，所以小橢圓的長軸長為20.故填：20.【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，對橢圓相似則離心率相等這一基礎(chǔ)知識的考查14、2【解析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求解【詳解】因為已知兩直線平行，所以，解得故答案為：【點睛】本題考查兩直線平行的充要條件，兩直線平行的充要條件是，或，在均不為0時，用表示容易理解與記憶15、①.5②.【解析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.【詳解】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.解答題16、684【解析】利用累加法可求得的值.【詳解】當且時，，所以，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）求，由條件可得，得出關(guān)于的方程組，求解可得；（2）令，注意，所以在具有單調(diào)性時，則方程無解，求，對分類討論，求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)值的變化趨勢，即可求得結(jié)論.【詳解】解：（1），因為，所以，解得，，所以.（2）令，則.令，則在上單調(diào)遞增.當，即時，，所以單調(diào)遞增，又，所以；當，即時，則存在，使得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，則.當時，，所以在上有解.綜上，的取值范圍為.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義求參數(shù)，考查導數(shù)的綜合應用，涉及到單調(diào)區(qū)間、函數(shù)零點的問題，考查分類討論思想，屬于較難題.18、（1），（2）在單減，也單減，無增區(qū)間（3）【解析】（1）根據(jù)分母不等于0，對數(shù)的真數(shù)大于零即可求得函數(shù)的定義域，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導公式及商的導數(shù)公式即可求出函數(shù)的導函數(shù)；（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)的符號即可得出答案；（3）若對，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值即可求出的范圍，，，求出函數(shù)的值域，根據(jù)存在，使成立，則0在函數(shù)的值域中，從而可得出的范圍，即可得解.【小問1詳解】解：的定義域為，；【小問2詳解】解：當時，，恒成立，所以在和上遞減；【小問3詳解】解：若對，都有成立，即，即，令，，則，對于函數(shù)，，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，當時，，所以，所以，故恒成立，在為減函數(shù)，所以，所以，由（1）知，，所以，記，令，，則原式的值域為，因為存在，使成立，所以，，所以，綜上，【點睛】本題考查了函數(shù)的定義域及導數(shù)的四則運算，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了不等式恒成立問題，考查了計算能力及數(shù)據(jù)分析能力，對不等式恒成立合理變形轉(zhuǎn)化為求最值是解題關(guān)鍵.19、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于公差與公比的方程組，解方程組可得再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列通項公式得結(jié)果（2）根據(jù)錯誤相減法求數(shù)列的前項和為，注意作差時項符號的變化以及求和時項數(shù)的確定試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，則由得解得所以，.（2）由（1）可知，∴①②①—②得：，∴.點睛：用錯位相減法求和應注意的問題(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式；(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.20、（1）（2）【解析】（1）代入點即可求得拋物線方程；（2）聯(lián)立方程后利用韋達定理求出，，，，然后代入即可求得斜率的積.【小問1詳解】解：點A（1，2）在拋物線C∶上故【小問2詳解】設(shè)直線方程為：聯(lián)立方程，整理得：由題意及韋達定理可得：，21、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為和（2）【解析】（1）求出，然后可得答案；（2）由條件可得，設(shè)，則，然后利用導數(shù)可得在上單調(diào)遞增，，然后分、兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】由題可得令，得；令，得，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為和【小問2詳解】由，得，即設(shè)，則設(shè)，則當時，，，所以所以即在上單調(diào)遞增，則若，則，所以h(x)在上單調(diào)遞增所以h(x)≥h(0)＝0恒成立，符合題意若a＞2，則，必存在正實數(shù)，滿足：當時，，h(x)單調(diào)遞減，此時