河南省開封市重點名校2024屆數學高二上期末統(tǒng)考試題含解析

河南省開封市重點名校2024屆數學高二上期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.2．拋物線y2=4x的焦點坐標是A.（0,2） B.（0,1）C.（2,0） D.（1,0）3．某汽車制造廠分別從A，B兩類輪胎中各隨機抽取了6個進行測試，下面列出了每一個輪胎行駛的最遠里程（單位：）A類輪胎：94，96，99，99，105，107B類輪胎：95，95，98，99，104，109根據以上數據，下列說法正確的是（）A.A類輪胎行駛的最遠里程的眾數小于B類輪胎行駛的最遠里程的眾數B.A類輪胎行駛的最遠里程的極差等于B類輪胎行駛的最遠里程的極差C.A類輪胎行駛的最遠里程的平均數大于B類輪胎行駛的最遠里程的平均數D.A類輪胎的性能更加穩(wěn)定4．世界上最早在理論上計算出“十二平均律”的是我國明代杰出的律學家朱載堉，他當時稱這種律制為“新法密率”十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它前一個單音的頻率的比都相等，且最后一個單音是第一個單音頻率的2倍.已知第十個單音的頻率，則與第四個單音的頻率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.2205．已知數列的前項和為，當時，（）A.11 B.20C.33 D.356．若關于一元二次不等式的解集為，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知P是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點且，則的面積是（）A. B.2C. D.18．如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為（）A. B.C.8 D.129．在等差數列{an}中，a1=1，，則a7=（）A.13 B.14C.15 D.1610．直線的一個方向向量為，則它的斜率為（）A. B.C. D.11．平行六面體中，若，則（）A. B.1C. D.12．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，則實數m的取值范圍為（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與直線平行，則實數______14．若函數的遞增區(qū)間是，則實數______.15．若拋物線經過點，則__________.16．已知，動點滿足，則點的軌跡方程為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著生活條件的改善，人們健身意識的增強，健身器械比較暢銷，某商家為了解某種健身器械如何定價可以獲得最大利潤，現(xiàn)對這種健身器械進行試銷售.統(tǒng)計后得到其單價x（單位：百元）與銷量y（單位：個）的相關數據如下表：單價x（百元/個）3035404550日銷售量y（個）1401301109080（1）已知銷量y與單價x具有線性相關關系，求y關于x的線性回歸方程；（2）若每個健身器械的成本為25百元，試銷售結束后，請利用（1）中所求的線性回歸方程確定單價為多少百元時，銷售利潤最大？（結果保留到整數），附：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.參考數據：.18．（12分）如圖，在四棱錐中，面ABCD，，且，，，，，N為PD的中點.（1）求證：平面PBC；（2）在線段PD上是否存在一點M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，說明理由.19．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上一點滿足，且的面積為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有且只有一個公共點，過點作直線的垂線．設直線交軸于，交軸于，且點，求的軌跡方程20．（12分）如圖，在半徑為6m的圓形O為圓心鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A，C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側面不計剪裁和拼接損耗，設矩形的邊長|AB|xm，圓柱的體積為Vm3.（1）寫出體積V關于x的函數關系式，并指出定義域；（2）當x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大最大體積是多少?21．（12分）已知為各項均為正數的等比數列，且，（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列前n項和22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）若E為的中點，求與所成的角

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據雙曲線的定義及條件，表示出，結合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點睛】關鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關系是求解的關鍵.2、D【解析】的焦點坐標為，故選D.【考點】拋物線的性質【名師點睛】本題考查拋物線的定義．解析幾何是中學數學的一個重要分支，圓錐曲線是解析幾何的重要內容，它們的定義、標準方程、簡單幾何性質是我們要重點掌握的內容，一定要熟記掌握3、D【解析】根據眾數、極差、平均數和方差的定義以及計算公式即可求解.【詳解】解：對A：A類輪胎行駛的最遠里程的眾數為99，B類輪胎行駛的最遠里程的眾數為95，選項A錯誤；對B：A類輪胎行駛的最遠里程的極差為13，B類輪胎行駛的最遠里程的極差為14，選項B錯誤對C：A類輪胎行駛的最遠里程的平均數為，B類輪胎行駛的最遠里程的平均數為，選項C錯誤對D：A類輪胎行駛的最遠里程的方差為，B類輪胎行駛的最遠里程的方差為，故A類輪胎的性能更加穩(wěn)定，選項D正確故選：D.4、C【解析】依題意，每一個單音的頻率構成一個等比數列，由，算出公比，結合，即可求出.【詳解】設第一個單音的頻率為，則最后一個單音的頻率為，由題意知，且每一個單音的頻率構成一個等比數列，設公比為，則，解得：又，則與第四個單音的頻率最接近的是311,故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題考查等比數列通項公式的運算，解題的關鍵是分析題意將其轉化為等比數列的知識，考查學生的計算能力，屬于基礎題.5、B【解析】由數列的性質可得，計算可得到答案.【詳解】由題意，.故答案為B.【點睛】本題考查了數列的前n項和的性質，屬于基礎題.6、B【解析】結合判別式求得的取值范圍.【詳解】由于關于的一元二次不等式的解集為，所以，解得，所以實數的取值范圍是.故選：B7、A【解析】設，先求出m、n，再利用面積公式即可求解.【詳解】在中，設，則,解得：.因為，所以，所以的面積是.故選：A8、B【解析】首先確定幾何體的空間結構特征，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意知，該幾何體是一個由8個全等的正三角形圍成的多面體，正三角形的邊長為：，正三角形邊上的一條高為：，所以一個正三角形的面積為：，所以多面體的表面積為：.故選：B9、A【解析】利用等差數列的基本量，即可求解.【詳解】設等差數列的公差為，，解得：，則.故選：A10、A【解析】根據的方向向量求得斜率.【詳解】且是直線的方向向量，.故選：A11、D【解析】根據空間向量的運算，表示出，和已知比較可求得的值，進而求得答案.【詳解】在平行六面體中，有，故由題意可知：，即，所以，故選：D.12、B【解析】應用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號成立條件，再根據題設不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【詳解】由題設，，當且僅當時等號成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分類討論，兩種情況，結合直線平行的知識得出實數.【詳解】當時，直線與直線垂直；當時，，則且，解得.故答案為：14、【解析】求得二次函數的單調增區(qū)間，即可求得參數的值.【詳解】因為二次函數開口向上，對稱軸為，故其單調增區(qū)間為，又由題可知：其遞增區(qū)間是，故.故答案為：.15、2【解析】將點代入拋物線方程即可得出答案.【詳解】解：因為拋物線經過點，所以，即.故答案為：2.16、【解析】表示出、，根據題意，列出等式，化簡整理即可得答案.【詳解】，由題意得，所以整理可得，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）確定單價為50百元時，銷售利潤最大.【解析】（1）根據參考公式和數據求出，進而求出線性回歸方程；（2）設出定價，結合（1）求出利潤，進而通過二次函數的性質求得答案.【小問1詳解】由題意，，則，，結合參考數據可得，，所以線性回歸方程為.【小問2詳解】設定價為x百元，利潤為，則，由題意，則（百元）時，最大.故確定單價為50百元時，銷售利潤最大.18、（1）證明見解析（2）存在，且【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）設，利用直線與平面所成角的正弦值列方程，化簡求得.【小問1詳解】設是的中點，連接，由于，所以四邊形是矩形，所以，由于平面，所以，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，，設平面的法向量為，則，故可設.，且平面，所以平面.【小問2詳解】，設，則，，，設直線與平面所成角為，則，，兩邊平方并化簡得，解得或（舍去）.所以存在，使直線與平面所成角的正弦值是，且.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用可得，由橢圓關系可求得，進而得到橢圓方程；（2）將與橢圓方程聯(lián)立可得，得，結合韋達定理可確定點坐標，由此可得方程，進而得到，化簡整理即可得到所求軌跡方程.【小問1詳解】由焦點坐標可知：；，即，，，解得：，，解得：（舍）或，，橢圓的方程為：；【小問2詳解】由得：，，整理可得：；，解得：，，則，令，解得：；令，解得：；，即，又，，則的軌跡方程為：.【點睛】思路點睛：本題考查動點軌跡方程的求解問題，解題基本思路是能夠利用變量表示出所求點的坐標，根據坐標之間關系，化簡整理消掉變量得到所求軌跡方程；易錯點是忽略題目中的限制條件，軌跡中出現(xiàn)多余的點.20、（1），；（2）時，最大值為m3.【解析】(1)連接，在中，由，利用勾股定理可得，設圓柱底面半徑為，求出．利用(其中即可得出；(2)利用導數，求出V的單調性，即可得出結論【小問1詳解】連接，在中，，，設圓柱底面半徑為，則，即，，其中【小問2詳解】由及，得，列表如下：，0↗極大值↘∴當時，有極大值，也是最大值為m321、（1）（2）【解析】(1)利用基本量法，求出首項和公比，即可求解.(2)利用錯位相減法，即可求解.【小問1詳解】設等比數列公比為【小問2詳解】22、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）連接，交于O，連接OD，根據中位線的性質，可證，根據線面平行的判定定理，即可得證；（2）如圖建系，求得各點坐標，進而可求得平面與平面法向量，根據二面角的向量求法，即可得答案；（3）求得坐標，根據線線角的向量求