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河南省開封市重點(diǎn)名校2024屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且,則C的離心率為()A. B.C. D.2.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A.(0,2) B.(0,1)C.(2,0) D.(1,0)3.某汽車制造廠分別從A,B兩類輪胎中各隨機(jī)抽取了6個(gè)進(jìn)行測試,下面列出了每一個(gè)輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程(單位:)A類輪胎:94,96,99,99,105,107B類輪胎:95,95,98,99,104,109根據(jù)以上數(shù)據(jù),下列說法正確的是()A.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)小于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)B.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差等于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差C.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)大于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)D.A類輪胎的性能更加穩(wěn)定4.世界上最早在理論上計(jì)算出“十二平均律”的是我國明代杰出的律學(xué)家朱載堉,他當(dāng)時(shí)稱這種律制為“新法密率”十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它前一個(gè)單音的頻率的比都相等,且最后一個(gè)單音是第一個(gè)單音頻率的2倍.已知第十個(gè)單音的頻率,則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是()A.880 B.622C.311 D.2205.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,當(dāng)時(shí),()A.11 B.20C.33 D.356.若關(guān)于一元二次不等式的解集為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.7.已知P是橢圓上的一點(diǎn),是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)且,則的面積是()A. B.2C. D.18.如圖所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為()A. B.C.8 D.129.在等差數(shù)列{an}中,a1=1,,則a7=()A.13 B.14C.15 D.1610.直線的一個(gè)方向向量為,則它的斜率為()A. B.C. D.11.平行六面體中,若,則()A. B.1C. D.12.已知x>0、y>0,且1,若恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知直線與直線平行,則實(shí)數(shù)______14.若函數(shù)的遞增區(qū)間是,則實(shí)數(shù)______.15.若拋物線經(jīng)過點(diǎn),則__________.16.已知,動點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡方程為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)隨著生活條件的改善,人們健身意識的增強(qiáng),健身器械比較暢銷,某商家為了解某種健身器械如何定價(jià)可以獲得最大利潤,現(xiàn)對這種健身器械進(jìn)行試銷售.統(tǒng)計(jì)后得到其單價(jià)x(單位:百元)與銷量y(單位:個(gè))的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表:單價(jià)x(百元/個(gè))3035404550日銷售量y(個(gè))1401301109080(1)已知銷量y與單價(jià)x具有線性相關(guān)關(guān)系,求y關(guān)于x的線性回歸方程;(2)若每個(gè)健身器械的成本為25百元,試銷售結(jié)束后,請利用(1)中所求的線性回歸方程確定單價(jià)為多少百元時(shí),銷售利潤最大?(結(jié)果保留到整數(shù)),附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.參考數(shù)據(jù):.18.(12分)如圖,在四棱錐中,面ABCD,,且,,,,,N為PD的中點(diǎn).(1)求證:平面PBC;(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M,使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在,求出的值,若不存在,說明理由.19.(12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,橢圓上一點(diǎn)滿足,且的面積為(1)求橢圓的方程;(2)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),過點(diǎn)作直線的垂線.設(shè)直線交軸于,交軸于,且點(diǎn),求的軌跡方程20.(12分)如圖,在半徑為6m的圓形O為圓心鋁皮上截取一塊矩形材料OABC,其中點(diǎn)B在圓弧上,點(diǎn)A,C在兩半徑上,現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個(gè)以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面不計(jì)剪裁和拼接損耗,設(shè)矩形的邊長|AB|xm,圓柱的體積為Vm3.(1)寫出體積V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出定義域;(2)當(dāng)x為何值時(shí),才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大最大體積是多少?21.(12分)已知為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,求數(shù)列前n項(xiàng)和22.(10分)如圖,在直三棱柱中,,,D為的中點(diǎn)(1)求證:平面;(2)求平面與平面的夾角的余弦值;(3)若E為的中點(diǎn),求與所成的角
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)雙曲線的定義及條件,表示出,結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)椋呻p曲線的定義可得,所以,;因?yàn)?由余弦定理可得,整理可得,所以,即.故選:A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:雙曲線的定義是入手點(diǎn),利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.2、D【解析】的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,故選D.【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義.解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容,它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)是我們要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容,一定要熟記掌握3、D【解析】根據(jù)眾數(shù)、極差、平均數(shù)和方差的定義以及計(jì)算公式即可求解.【詳解】解:對A:A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為99,B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為95,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對B:A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為13,B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為14,選項(xiàng)B錯(cuò)誤對C:A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為,B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為,選項(xiàng)C錯(cuò)誤對D:A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為,B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為,故A類輪胎的性能更加穩(wěn)定,選項(xiàng)D正確故選:D.4、C【解析】依題意,每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,由,算出公比,結(jié)合,即可求出.【詳解】設(shè)第一個(gè)單音的頻率為,則最后一個(gè)單音的頻率為,由題意知,且每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,設(shè)公比為,則,解得:又,則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是311,故選:C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是分析題意將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的知識,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】由數(shù)列的性質(zhì)可得,計(jì)算可得到答案.【詳解】由題意,.故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】結(jié)合判別式求得的取值范圍.【詳解】由于關(guān)于的一元二次不等式的解集為,所以,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:B7、A【解析】設(shè),先求出m、n,再利用面積公式即可求解.【詳解】在中,設(shè),則,解得:.因?yàn)?,所以,所以的面積是.故選:A8、B【解析】首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征,然后求解其表面積即可.【詳解】由題意知,該幾何體是一個(gè)由8個(gè)全等的正三角形圍成的多面體,正三角形的邊長為:,正三角形邊上的一條高為:,所以一個(gè)正三角形的面積為:,所以多面體的表面積為:.故選:B9、A【解析】利用等差數(shù)列的基本量,即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,,解得:,則.故選:A10、A【解析】根據(jù)的方向向量求得斜率.【詳解】且是直線的方向向量,.故選:A11、D【解析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算,表示出,和已知比較可求得的值,進(jìn)而求得答案.【詳解】在平行六面體中,有,故由題意可知:,即,所以,故選:D.12、B【解析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求的最小值,注意等號成立條件,再根據(jù)題設(shè)不等式恒成立有,解一元二次不等式求解集即可.【詳解】由題設(shè),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,∴要使恒成立,只需,故,∴.故選:B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】分類討論,兩種情況,結(jié)合直線平行的知識得出實(shí)數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí),直線與直線垂直;當(dāng)時(shí),,則且,解得.故答案為:14、【解析】求得二次函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,即可求得參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)開口向上,對稱軸為,故其單調(diào)增區(qū)間為,又由題可知:其遞增區(qū)間是,故.故答案為:.15、2【解析】將點(diǎn)代入拋物線方程即可得出答案.【詳解】解:因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn),所以,即.故答案為:2.16、【解析】表示出、,根據(jù)題意,列出等式,化簡整理即可得答案.【詳解】,由題意得,所以整理可得,即.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)確定單價(jià)為50百元時(shí),銷售利潤最大.【解析】(1)根據(jù)參考公式和數(shù)據(jù)求出,進(jìn)而求出線性回歸方程;(2)設(shè)出定價(jià),結(jié)合(1)求出利潤,進(jìn)而通過二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【小問1詳解】由題意,,則,,結(jié)合參考數(shù)據(jù)可得,,所以線性回歸方程為.【小問2詳解】設(shè)定價(jià)為x百元,利潤為,則,由題意,則(百元)時(shí),最大.故確定單價(jià)為50百元時(shí),銷售利潤最大.18、(1)證明見解析(2)存在,且【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法證得平面.(2)設(shè),利用直線與平面所成角的正弦值列方程,化簡求得.【小問1詳解】設(shè)是的中點(diǎn),連接,由于,所以四邊形是矩形,所以,由于平面,所以,以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,,,,設(shè)平面的法向量為,則,故可設(shè).,且平面,所以平面.【小問2詳解】,設(shè),則,,,設(shè)直線與平面所成角為,則,,兩邊平方并化簡得,解得或(舍去).所以存在,使直線與平面所成角的正弦值是,且.19、(1);(2).【解析】(1)利用可得,由橢圓關(guān)系可求得,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)將與橢圓方程聯(lián)立可得,得,結(jié)合韋達(dá)定理可確定點(diǎn)坐標(biāo),由此可得方程,進(jìn)而得到,化簡整理即可得到所求軌跡方程.【小問1詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知:;,即,,,解得:,,解得:(舍)或,,橢圓的方程為:;【小問2詳解】由得:,,整理可得:;,解得:,,則,令,解得:;令,解得:;,即,又,,則的軌跡方程為:.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:本題考查動點(diǎn)軌跡方程的求解問題,解題基本思路是能夠利用變量表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)坐標(biāo)之間關(guān)系,化簡整理消掉變量得到所求軌跡方程;易錯(cuò)點(diǎn)是忽略題目中的限制條件,軌跡中出現(xiàn)多余的點(diǎn).20、(1),;(2)時(shí),最大值為m3.【解析】(1)連接,在中,由,利用勾股定理可得,設(shè)圓柱底面半徑為,求出.利用(其中即可得出;(2)利用導(dǎo)數(shù),求出V的單調(diào)性,即可得出結(jié)論【小問1詳解】連接,在中,,,設(shè)圓柱底面半徑為,則,即,,其中【小問2詳解】由及,得,列表如下:,0↗極大值↘∴當(dāng)時(shí),有極大值,也是最大值為m321、(1)(2)【解析】(1)利用基本量法,求出首項(xiàng)和公比,即可求解.(2)利用錯(cuò)位相減法,即可求解.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為【小問2詳解】22、(1)證明見解析(2)(3)【解析】(1)連接,交于O,連接OD,根據(jù)中位線的性質(zhì),可證,根據(jù)線面平行的判定定理,即可得證;(2)如圖建系,求得各點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可求得平面與平面法向量,根據(jù)二面角的向量求法,即可得答案;(3)求得坐標(biāo),根據(jù)線線角的向量求
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