廣東深圳市紅嶺中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題含解析

廣東深圳市紅嶺中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．展開式的第項(xiàng)為（）A. B.C. D.2．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A B.C. D.3．已知，是球的球面上兩點(diǎn)，，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為（）A. B.C. D.4．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.64 B.72C.80 D.1445．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是（）A. B.C. D.6．《萊茵德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把93個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得面包個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最大的一份是（）個(gè)A.12 B.24C.36 D.487．已知直線與橢圓：（）相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線：上，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.8．已知，則下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.9．已知直線：與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A、B兩點(diǎn)，若C為直線與y軸的交點(diǎn)，且，則k等于（）A.4 B.6C. D.10．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過C上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)B反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)N．下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則平分C.若，則 D.若，延長(zhǎng)AO交直線于點(diǎn)D，則D，B，N三點(diǎn)共線11．雙曲線C:的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作雙曲線C的兩條漸近線的垂線，垂足分別為H1，H2.若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.212．關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，則_________.14．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x=_____________，y=_____________15．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_____16．過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和.18．（12分）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.（1）當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；（2）是否存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面所成的二面角的余弦值為，若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由.19．（12分）已知點(diǎn)在橢圓：上，橢圓E的離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）若不平行于坐標(biāo)軸且不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，判斷是否可能為等邊三角形，并說明理由.20．（12分）在①，；②，；③，.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.問題：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21．（12分）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且滿足下列條件，求相應(yīng)的方程.（1）過點(diǎn)；（2）與直線垂直.22．（10分）已知P，Q的坐標(biāo)分別為，，直線PM，QM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是.設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓的半徑為1，直線：與圓相切，且與曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B.當(dāng)，且滿足時(shí)，求面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由展開式的通項(xiàng)公式求解即可【詳解】因?yàn)椋哉归_式的第項(xiàng)為，故選：B2、A【解析】構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價(jià)于即可得解.【詳解】設(shè)，則，∴在R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價(jià)于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A3、C【解析】當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，根據(jù)棱長(zhǎng)與球半徑關(guān)系即可求出球半徑，從而求出表面積.【詳解】當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大.又，則三棱錐體積，解得；故表面積.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三棱錐與球的組合體的綜合問題，本題的關(guān)鍵是判斷當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大.4、B【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，求得，再用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，，解得，.故選：B.5、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)概念和幾何意義判斷【詳解】由題意得，圖象上某點(diǎn)處的切線斜率隨增大而減小，滿足要求的只有A故選：A6、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，根據(jù)題意，由求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，由題意得：，即，解得，所以，故選：D7、A【解析】將直線代入橢圓方程整理得關(guān)于的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再由條件得到，再由，，的關(guān)系和離心率公式，即可求出離心率.【詳解】解：將直線代入橢圓方程得，，即，設(shè)，，，，則，即中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，由于線段的中點(diǎn)在直線上，則，又，則，，即橢圓的離心率為.故選：A8、B【解析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.【詳解】對(duì)于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以不成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，故D不正確.故選：B9、D【解析】先求出雙曲線的漸近線方程，然后分別與直線聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用可求解.【詳解】由雙曲線方程可知其漸近線方程為：，當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故選：D10、D【解析】根據(jù)求出焦點(diǎn)為、點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出可判斷AC；時(shí)可得，．由可判斷B；求出點(diǎn)坐標(biāo)可判斷D.【詳解】如圖，若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，整理得，與拋物線方程聯(lián)立得，解得或，所以，所以，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；時(shí)，因?yàn)?，所以．又，，所以不平分，選項(xiàng)B不正確；若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，所以，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，所以，直線的方程為，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)D，所以則，所以D，B，N三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D正確；故選：D.11、D【解析】將條件轉(zhuǎn)化為該雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，可得，由離心率公式即可得解.【詳解】由題意，(為坐標(biāo)原點(diǎn))，所以該雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，所以，即，所以離心率.故選：D.12、B【解析】設(shè)，解集為所以二次函數(shù)圖像開口向下，且與交點(diǎn)為，由韋達(dá)定理得所以的解集為，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：，所以.故答案為：5.14、①.3②.5【解析】根據(jù)莖葉圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，列方程求出x、y.【詳解】由題意，甲組數(shù)據(jù)為56，62，65，70+x，74；乙組數(shù)據(jù)為59，61，67，60+y，78.要使兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等，有65=60+y，所以y=5.又平均數(shù)相同，則，解得x=3.故答案為：3；5.15、4【解析】設(shè)，寫出、的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有，根據(jù)橢圓的有界性即可求的最大值.【詳解】由題意知：，，若，∴，，∴，而，則，而，∴當(dāng)時(shí)，.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及橢圓的有界性求最值.16、3【解析】根據(jù)拋物線焦半徑公式，所以.故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意求出首項(xiàng)和公比即可得出通項(xiàng)公式；（2）可得是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求出.【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由題意得，解得，因此，；（2），則，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，記數(shù)列前項(xiàng)和為，則.18、（1）（2）存在，A1P=【解析】（1）作出線面角，因?yàn)閷?duì)邊為定值，所以鄰邊最小時(shí)線面角最大；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求二面角列方程可得.【小問1詳解】直線PN與平面A1B1C1所成的角即為直線PN與平面ABC所成角，過P作,即PN與面ABC所成的角，因?yàn)镻H為定值，所以當(dāng)NH最小時(shí)線面角最大，因?yàn)楫?dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，,此時(shí)NH最小，即PN與平面ABC所成角最大，此時(shí).【小問2詳解】以AB,AC,AA1為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系，則：A（0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)設(shè)=，，，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，解得，平面AC1C的法向量為,.所以P點(diǎn)為A1B1的四等分點(diǎn)，且A1P=.19、（1）（2）三角形不可能是等邊三角形，理由見解析【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)和離心率可得橢圓方程；（2）假設(shè)為等邊三角形，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得的中點(diǎn)的坐標(biāo)，，利用得出矛盾.小問1詳解】由點(diǎn)在橢圓上，得，即，又，即，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】假設(shè)為等邊三角形，設(shè)，，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，由得，故，所以的中點(diǎn)為，所以，故，與等邊三角形中矛盾，所以假設(shè)不成立，故三角形不可能是等邊三角形.20、（1）（2）【解析】（1）選①，利用化已知等式為，得是等差數(shù)列，公差，求出其通項(xiàng)公式后，再由求得通項(xiàng)公式，注意；選②，由可變形已知條件得是等差數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式；選③，已知式兩邊同除以，得出，以下同選①；（2）由錯(cuò)位相減法求和【小問1詳解】選①，由得，，所以，即，所以是等差數(shù)列，公差，又，，，所以，，時(shí)，也適合所以；選②，由得，所以等差數(shù)列，公差為，又，所以；選③，由得，以下同選①，【小