2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)新高考一輪復(fù)習(xí)專題空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練含解析VIP

Page1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題（本大題共5小題，共25.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）若一個(gè)正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球，則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為(

)A. B. C. D.北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，將地球看作一個(gè)球，衛(wèi)星信號像一條條直線一樣發(fā)射到達(dá)球面，所覆蓋的范圍即為一個(gè)球冠，稱此球冠的表面積為衛(wèi)星信號的覆蓋面積．球冠即球面被平面所截得的一部分，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得較短的一段叫做球冠的高．設(shè)球面半徑為R，球冠的高為h，則球冠的表面積為已知一顆地球靜止同步通信衛(wèi)星距地球表面的最近距離與地球半徑之比為5，則它的信號覆蓋面積與地球表面積之比為(

)A. B. C. D.“迪拜世博會(huì)”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明．它的形狀可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛好者制作了一個(gè)中國館的實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為12cm，外層底面直徑為16cm，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為20cm的球面上.此模型的體積為(

)A. B. C. D.在四面體ABCD中，BA，BC，BD兩兩垂直，，，則四面體ABCD內(nèi)切球的半徑為(

)A. B. C. D.已知長方體中，，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，過的平面與DM，都平行，則平面截長方體所得截面的面積為(

)A. B. C. D.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為3的扇形，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.此圓錐的體積為

B.設(shè)A為圓錐底面圓周上一點(diǎn)，P為圓錐的頂點(diǎn)，E為線段PA的中點(diǎn)，從點(diǎn)A引一條曲線段繞圓錐側(cè)面到點(diǎn)E，則曲線段長度的最小值為

C.此圓錐的內(nèi)切球的表面積為

D.此圓錐的內(nèi)接圓柱的半徑為時(shí)，內(nèi)接圓柱的體積最大已知圓臺的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，，母線AB長為2，E為母線AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.圓臺母線AB與底面所成角為

B.圓臺的側(cè)面積為

C.圓臺外接球半徑為2

D.在圓臺的側(cè)面上，從C到E的最短路徑的長度為5已知正方體的棱長為如圖所示，點(diǎn)M為線段含端點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)A，，M確定的平面為，則下列說法正確的是(

)A.平面截正方體的截面始終為四邊形

B.點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，三棱錐的體積為定值

C.平面截正方體的截面面積的最大值為

D.三棱錐的外接球表面積的取值范圍為小淘氣找到了一支粉筆，測量后發(fā)現(xiàn)該粉筆的形狀恰好是正六棱臺正六棱臺：棱臺的上下底面均為正六邊形，所有側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，該點(diǎn)在棱臺上、下底面的投影為分別為上、下底面的中心，棱臺的高為若，，單位：，不考慮其它因素，則A.粉筆的體積為

B.若小淘氣將該粉筆磨成一個(gè)體積最大的正六棱錐，則該棱錐的體積為

C.若小淘氣將該粉筆磨成一個(gè)體積最大的圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為

D.若小淘氣將該粉筆磨成一個(gè)體積最大的球，則該球的半徑為3mm三、填空題（本大題共6小題，共30.0分）如圖所示，在正方體中，，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，過點(diǎn)B的平面平面AMN，則平面截該正方體所得截面的面積為__________.

為邊長為2cm的正三角形，則其水平放置斜二測畫法的直觀圖的面積為__________，其直觀圖的周長為__________.已知三棱錐的棱AP、AB、AC兩兩互相垂直，，以頂點(diǎn)P為球心，4為半徑作一個(gè)球，球面與該三棱錐的表面相交得到四段弧，則最長弧的弧長等于__________.已知正方體的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，如圖，則四棱錐的體積為______.在通用技術(shù)課上，老師給同學(xué)們提供了一個(gè)如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型，并要求同學(xué)們將該四棱錐切割成三個(gè)小四棱錐.某小組經(jīng)討論后給出如下方案：第一步，過點(diǎn)A作一個(gè)平面分別交PB，PC，PD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，得到四棱錐第二步，將剩下的幾何體沿平面ACF切開，得到另外兩個(gè)小四棱錐.在實(shí)施第一步的過程中，為方便切割，需先在模型表面畫出截面四邊形AEFG，若，，則的值為__________在棱長為2的正方體中，E為CD中點(diǎn)，O為側(cè)面的中心，平面，則__________.四、解答題（本大題共3小題，共36.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分如圖，在正三棱柱容器中，，，由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點(diǎn)的最短路線與的交點(diǎn)記為M，求：求該最短路線的長；用含a的表達(dá)式表示；若該正三棱柱容器外接球的表面積為，求能放入該容器的最大的球的體積．本小題分

如圖，某甜品創(chuàng)作一種冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圓錐形，現(xiàn)把半徑為10cm的圓形蛋皮等分成5個(gè)扇形，用一個(gè)扇形蛋皮固成圓錐的側(cè)面蛋皮厚度忽略不計(jì)

這種蛋筒的表面積；

若要制作500個(gè)這樣的蛋筒，需要多少升冰淇淋？精確到本小題分如圖圓臺，在軸截面ABCD中，，且

求圓臺的體積；

求沿著該圓臺側(cè)面，從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離；

答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本題考查棱柱結(jié)構(gòu)特征和空間想象能力，考查球的表面積公式，求內(nèi)切球與外接球的半徑是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)正六棱柱底面正六角形的邊長為a，分別求出外接球的半徑和內(nèi)切球半徑，即可求出內(nèi)切球與外接球表面積之比．【解答】解：設(shè)正六棱柱底面正六角形的邊長為a，

當(dāng)球內(nèi)切于正六棱柱時(shí)，球的半徑等于正六棱柱的底面正六角形的內(nèi)切圓半徑，故正六棱柱的高為，

當(dāng)球外接正六棱柱時(shí)，球心是上下底面中心連線段的中點(diǎn)，且球心與正六棱柱兩個(gè)底面正六角形構(gòu)成兩個(gè)正六棱錐，則，

外接球與內(nèi)切球半徑之比為：：：

外接球與內(nèi)切球表面積之比為：

故本題選

2.【答案】D

【解析】【分析】本題考查球及其結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.

若O為球心，P為衛(wèi)星位置，故，，，

計(jì)算得出，即可求出的值.【解答】解：如下截面圖，若O為球心，P為衛(wèi)星位置，故，，，

所以，所以，

即，

所以

故選

3.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了簡單組合體及其結(jié)構(gòu)特征和圓柱的體積，屬于一般題.

利用圓柱的外接結(jié)構(gòu)特征得內(nèi)、外層圓柱的高，再利用圓柱的體積，計(jì)算得結(jié)論.【解答】解：作該幾何體的軸截圖如下：

圓O是直徑為20cm的球的軸截圖，

矩形ABCD是內(nèi)層圓柱的軸截圖，是其上底面圓心，

矩形EFGH是外層圓柱的軸截圖，是其上底面圓心，

則，，，

因此在中，，

在中，，

所以，

因此該幾何體外層圓柱的高為，

所以該幾何體的體積為

故選

4.【答案】C

【解析】【分析】本題考查三棱錐的體積與表面積、簡單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.

利用三四面體的體積，即可求出結(jié)果.【解答】解：如圖：

因?yàn)锽A，BC，BD兩兩垂直，，，

所以，，

取CD的中點(diǎn)E，連接AE，則，

所以，

所以的面積為，

所以四面體ABCD的表面積，

又四面體ABCD的體積，

所以四面體ABCD內(nèi)切球的半徑

故選

5.【答案】A

【解析】【分析】

分別取，，CD的中點(diǎn)H，E，F(xiàn)，連接相關(guān)線段，則可得梯形即為所求截面，求出其面積可得答案．

本題考查了空間幾何體的截面問題，屬于中檔題．【解答】解：設(shè)E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接，，EF，AF，

則又，所以

所以E，F(xiàn)，A，四點(diǎn)共面，四邊形為過點(diǎn)的平面截長方體所得的一個(gè)截面四邊形．

設(shè)H為的中點(diǎn)，連接MH，CH，

因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，，

所以四邊形CDMH為平行四邊形，所以，

因?yàn)?，?/p>

所以四邊形為平行四邊形，所以，

所以，

又平面，平面，

所以平面，

連接，F(xiàn)N，因?yàn)镹為的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，

所以，

，

所以四邊形為平行四邊形，所以，

又平面，平面，

所以平面

所以平面為過且與DM，都平行的平面，

則四邊形為過點(diǎn)的平面截長方體所得截面四邊形，

又，，

，

所以四邊形為等腰梯形，

在等腰梯形中，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作，，垂足分別為P，Q，

則，，

所以，

所以截面的面積為，

故選：

6.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)體圓柱、圓錐、圓臺、球及其結(jié)構(gòu)特征和幾何體的表面積以及體積，利用導(dǎo)數(shù)研究最值，是中檔題.

根據(jù)題意逐一判定即可.【解答】解：，，，

，A錯(cuò)誤.

設(shè)內(nèi)切球半徑為，，，

，C正確.

設(shè)內(nèi)切圓柱半徑為x，則，

，

，或0，

V在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

內(nèi)切圓柱半徑為時(shí)，體積取最大值，D正確.

，

，B正確，

故選：

7.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查圓臺的結(jié)構(gòu)特征，屬于較難題.

根據(jù)圓臺母線AB與底面所成的角即可判斷A；利用公式求出圓臺的側(cè)面積判斷B；分析出外接球的球心恰在圓臺下底面的圓的圓心處可判斷C；由圓臺補(bǔ)成圓錐，畫出側(cè)面展開圖，求出最短距離判斷【解答】解：圓臺母線AB與底面所成的角即，易得，故為，選項(xiàng)A正確；圓臺的側(cè)面積，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

設(shè)外接球的球心為O，半徑為R，，若圓臺的兩個(gè)底面在球心O的同一側(cè)如圖，

則，解得

所以外接球的球心恰在圓臺下底面的圓的圓心處，圓臺外接球半徑為2，故選項(xiàng)C正確；

由圓臺補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長為4，底面半徑為2，

側(cè)面展開圖的圓心角為，

在如圖所示的側(cè)面展開圖中連接CE，可得，，，

則，所以沿著該圓臺側(cè)面，從點(diǎn)C到E的最短路徑長為5，故D正確．

故本題選：

8.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，以及三棱錐的體積公式，球的表面積公式，屬于中檔題.

A選項(xiàng)的截面有可能是正三角形；B選項(xiàng)根據(jù)底面積和高都不變可以判斷；C選項(xiàng)分三種情況分別求出截面面積，找到最大值；D選項(xiàng)求出外接球半徑即可.【解答】解：當(dāng)點(diǎn)M在C點(diǎn)處時(shí)，平面截正方體的截面是等邊三角形，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M到平面的距離為定值，且的面積是定值，

所以三棱錐，即三棱錐的體積為定值，B選項(xiàng)正確；

當(dāng)M在點(diǎn)時(shí)，平面截正方體的截面是矩形，此時(shí)截面面積為，

當(dāng)M在點(diǎn)C時(shí)，平面截正方體的截面是等邊三角形，此時(shí)截面面積為，

當(dāng)M在點(diǎn)C與點(diǎn)之間時(shí)，平面截正方體的截面是等腰梯形，設(shè)平面平面，，則，，

等腰梯形的高，

等腰梯形的面積，

令，顯然在上單調(diào)遞增，，則，綜上所述，截面面積最大值為，C選項(xiàng)正確；

取中點(diǎn)O，取平面的中心，連接，則三棱錐的外接球的球心K在上，

設(shè)，，則有，

解得，

所以三棱錐的外接球表面積，D選項(xiàng)正確，

故選

9.【答案】BC

【解析】【分析】本題考查棱錐，棱臺，圓錐的相關(guān)計(jì)算公式，屬于較難題.

根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合棱錐，棱臺，圓錐的相關(guān)計(jì)算公式逐項(xiàng)判斷即可.【解答】解：對選項(xiàng)棱臺上底面面積，，

由棱臺體積公式，

故，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

對選項(xiàng)體積最大的正六棱錐底面為ABCDEF，高為，故底面積，

由棱錐體積公式，故，選項(xiàng)B正確;

對選項(xiàng)體積最大的圓錐底面為正六邊形ABCDEF的內(nèi)切圓，高為，

此時(shí)底面半徑為，圓錐的母線長，

故圓錐側(cè)面積，選項(xiàng)C正確;

對選項(xiàng)先將正六棱臺側(cè)棱建長交于一點(diǎn)P得到正六棱錐，

正六棱錐的內(nèi)切球即為可以磨成的體積最大的球，對于正六棱錐，設(shè)高為H，則，代入，故，

以內(nèi)切球球心I為頂點(diǎn)將正六棱錐分制為7個(gè)小的棱錐，

分別為，，，，，，，

分制前正六棱錐的體積為

若內(nèi)切球半徑為r，則7個(gè)小的棱錐的體積之和為

由等體積法：，故，且，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選

10.【答案】18

【解析】【分析】本題考查平面截正方體所得截面的面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定截面圖形是關(guān)鍵．如圖所示，截面為等腰梯形BDPQ，即可求出平面截該正方體所得截面的面積．【解答】解：如圖所示：

截面為等腰梯形BDPQ，P，Q分別為，的中點(diǎn)，

其中，，，

，，，

故等腰梯形BDPQ的高為，

故截面的面積為

故答案為：

11.【答案】

【解析】【分析】本題考查了平面圖形與它的直觀圖的應(yīng)用問題，也考查了三角形面積與周長的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．

畫出正和水平放置的直觀圖，計(jì)算它的面積與周長即可．【解答】解：如圖所示，

為邊長為2cm的正三角形，

則其水平放置的直觀圖的面積為

；

其直觀圖的周長為

故答案為：，

12.【答案】

【解析】【分析】本題考查簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征和弧長公式，屬于中檔題.

由題意畫出圖形，根據(jù)結(jié)合簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征求出扇形中心角，利用弧長公式求得答案．【解答】解：球面與該三棱錐的表面相交得到四段弧，如圖所示，

由題意知，，，

所以，，

所以，

所以，同理，

，，

故最長弧的弧長為

故答案為：

13.【答案】

【解析】【分析】推導(dǎo)出，四棱錐是正四棱錐，從而正四棱錐的底正方形EFGH的邊長為，高為，由此能求出四棱錐的體積．

本題考查四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，是中檔題．【解答】解：正方體的棱長為1，除面ABCD外，

該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，如圖，

，四棱錐是正四棱錐，

正四棱錐的底正方形EFGH的邊長為，高為，

四棱錐的體積為：

故答案為：

14.【答案】

【解析】【分析】本題考查錐體體積公式，等體積，考查空間思維能力，轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

結(jié)合題意，又，再利用體積相等得【解答】解：如圖，

設(shè)四棱錐的體積為V，設(shè)，

，

同理，

所以①，

，

同理，

所以②

由①②得：，解得，

故答案為

15.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查了簡單多面體及其結(jié)構(gòu)特征，棱錐體積的應(yīng)用，

根據(jù)已知及簡單多面體及其結(jié)構(gòu)特征，棱錐體積的計(jì)算，求出的體積.【解答】解：如圖，連接，，DB，

則O為中點(diǎn)，，，連接，

，，

，

又O為的中點(diǎn)，

為PQ的中點(diǎn)，

故答案為：

16.【答案】解：將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面在同一平面上，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的位置，連接交于M，

則是由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點(diǎn)的最短路線，其長為，已知正三棱柱的底面三角形的邊長為a，設(shè)其外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r，因?yàn)檎庵饨忧虻谋砻娣e為，可得，解得，又由底面正三角形的邊長為a，可得其外接圓的半徑為，

由球的截面性質(zhì)，可得，即，解得，如圖所示，在等邊中，，即，所以放入該容器