概率統(tǒng)計(jì)第三節(jié)

區(qū)間估計(jì)的思想

區(qū)間估計(jì)要求的是根據(jù)樣本給出未知參數(shù)的一個(gè)范圍，并保證真參數(shù)以指定的較大概率屬于這個(gè)范圍?！?.3區(qū)間估計(jì)

.定義1設(shè)總體X的分布函數(shù)為，

則稱區(qū)間為參數(shù)的置信度為

使得置信區(qū)間，分別稱為置信上、下限。樣本，對(duì)于給定若存在統(tǒng)計(jì)量未知，是來(lái)自總體X

的.

注意：

1、置信區(qū)間以概率包含不能說(shuō)成落在內(nèi)。

2、置信水平是說(shuō)區(qū)間包含的可信度或可靠度。

.通常，采用95%的置信度，有時(shí)也取99%或90%...

3.

給了樣本值區(qū)間的端點(diǎn)也隨之確定。稱區(qū)間

4

區(qū)間估計(jì)的精度常用置信區(qū)間的平均長(zhǎng)

它是一個(gè)普通區(qū)間，簡(jiǎn)稱置信區(qū)間。為置信區(qū)間的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，度來(lái)表示，越小，精度越高.

通常采用基于點(diǎn)估計(jì)構(gòu)造置信區(qū)間的方法來(lái)獲得置信區(qū)間，稱此方法為

樞軸量法。具體思路如下：一、尋求置信區(qū)間的方法.

1、明確要求的是什么參數(shù)的置信區(qū)間，置信度多大？

2、構(gòu)造含未知參數(shù)且有確定分布的

隨機(jī)變量

3、根據(jù)分布，對(duì)給定的置信度定出分位點(diǎn)（即臨界值）4、利用不等式變形，求出的置信區(qū)間。

具體步驟如下：

2、圍繞構(gòu)造一個(gè)僅包含樣本和被估參數(shù)

適當(dāng)?shù)卮_定常數(shù)，一般選滿足

1、選取的一個(gè)較優(yōu)的點(diǎn)估計(jì)樞軸量且分布已知3、對(duì)于給定置信度由等式.

4、把不等式化為等價(jià)不等式5、得置信水平的的置信區(qū)間.

為正態(tài)分布，確定臨界值（一）若樞軸量。即推得，隨機(jī)區(qū)間：.

由解出.為自由度為n–1的T

分布，確定

（二）若樞軸量

.推得，隨機(jī)區(qū)間：.

為自由度為n–1的分布，確定

（三）若樞軸量.。得隨機(jī)區(qū)間：..

設(shè)總體,為X的樣本

分別為樣本均值和修正樣本方差。1、已知，求均值的置信區(qū)間（1）構(gòu)造樞軸量

一、一個(gè)正態(tài)總體的情形.

查正態(tài)分布表，確定臨界值

(3)

由（4）得置信水平為的置信區(qū)間為（2）對(duì)置信水平由.

例1

設(shè)總體其中未知

解

的置信區(qū)間為試求

的95%置信區(qū)間。樣本，測(cè)得樣本均值為現(xiàn)取得樣本容量為36的一個(gè).

于是

從而，的95%置信區(qū)間為查表得.2、未知，求均值的置信區(qū)間(1)

構(gòu)造樞軸量（2）對(duì)于置信水平由

查自由度n–1的t分布表，確定臨界值.（3）由（4）得置信水平為的置信區(qū)間為.3、未知，求方差的置信區(qū)間（1）

構(gòu)造樞軸量

（2）對(duì)于置信水平，由查分布表，確定臨界值

.

（3）解出

（4）得置信水平為的置信區(qū)間為

。(5)標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平的置信區(qū)間

.4、已知，求方差的置信區(qū)間（1）構(gòu)造樞軸量（2）對(duì)于置信水平，由查分布表，確定臨界值

.

（3）解出

（4）得置信水平為的置信區(qū)間為.

例2設(shè)工件長(zhǎng)度，今抽取10

件測(cè)量其長(zhǎng)度，得到如下數(shù)據(jù)（單位:cm）

24.2,23.8,24.0,25.5,25.6,24.8,23.6,24.5,25.3,24.7

，

在置信度0.95下。求參數(shù)，的置信區(qū)間

..置信度為95%的置信區(qū)間為解因?qū)o定的置信度

置信度為95%的置信區(qū)間為標(biāo)準(zhǔn)差置信度為95%的置信區(qū)間為.

這就是說(shuō)估計(jì)工件長(zhǎng)度的均值在24.09厘米與25.11厘米之間。這個(gè)估計(jì)的可信度為95%。若以此區(qū)間內(nèi)一值作為的近似值，其誤差不大于這個(gè)誤差估計(jì)的可信度為95%。

二、兩個(gè)正態(tài)總體的情形

設(shè)

分別為來(lái)自總體

的樣本，且假定兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，記，分別為樣本均值和修正樣本方差。

.1.已知，求均值的置信區(qū)間

（1）

構(gòu)造樞軸量（2）對(duì)于置信水平，由查正態(tài)分布表，確定臨界值

.（3）由

解出

（4）得置信水平為的置信區(qū)間為.

例研究?jī)煞N固體燃料火箭推進(jìn)器的燃燒率。設(shè)兩者都服從正態(tài)分布，并且已知燃燒率的標(biāo)準(zhǔn)差均近似為取樣本容量為得燃燒率的樣本均值為.

解代入公式得置信水平為0.99的置信區(qū)間為（-6.04，-5.96）

注：得到置信區(qū)間的上限小于零，在實(shí)際中就認(rèn)為比小

2.未知時(shí)，求均值的置信區(qū)間

（1）構(gòu)造樞軸量其中

.

(2)對(duì)于置信水平，由

查T分布表，確定臨界值

（3）由.

解出

（4）得置信水平為的置信區(qū)間為例為提高某一化學(xué)生產(chǎn)過(guò)程的得率，試圖采用一種新的催化劑。為慎重，在實(shí)驗(yàn)工廠先進(jìn)行試驗(yàn)，先采用原來(lái)的催化劑進(jìn)行次試驗(yàn)，測(cè)得率的平均值樣本方差,后來(lái)用新的催化劑進(jìn)行次試驗(yàn)，測(cè)得率的平均值樣本方差假定采用兩種催化劑下的得率都服從正態(tài)分布，且方差相等，試求兩種催化劑平均得率之差的置信度為95%的置信區(qū)間。.

解

.

的置信度95%的置信區(qū)間為

由于所得置信區(qū)間包含零，在實(shí)際中就認(rèn)為采用這兩種催化劑所得的得率的均值沒(méi)有顯著差別。注意：.

例7

為比較A,B

兩種型號(hào)步槍子彈的槍口速度，隨機(jī)地取A型子彈10發(fā)，得到槍口速度的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差分別為

隨機(jī)地取B

型子彈20發(fā)，得到槍口速度的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差分別為

假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布。且由生產(chǎn)過(guò)程可認(rèn)為方差相等。求兩總體均值差的一個(gè)置信水平為0.95的置信區(qū)間。

解按實(shí)際情況，可認(rèn)為分別來(lái)自兩個(gè)總體的樣本是相互獨(dú)立的，又因由假設(shè)兩總體的方差相等，但均值未知，故可用該公式求均值差的置信區(qū)間。由于

.

本題中得到的置信區(qū)間的下限大于零，在實(shí)際中就認(rèn)為比大

.

3、當(dāng)均未知但，求均值的置信區(qū)間（1）

構(gòu)造樞軸量其中

。

(2)

對(duì)于置信水平，由

查T分布表，確定臨界值

（3）由

..

解出

（4）得置信水平為的置信區(qū)間為推導(dǎo)：令則是來(lái)自總體的樣本設(shè)則由T

分布的定義.

例

某一貨運(yùn)公司欲試驗(yàn)兩種不同品牌的卡車輪胎的耐磨性，以便選擇耐磨性較好的加以采購(gòu)。各購(gòu)買了A種和B種輪胎8個(gè)，各抽取一個(gè)組成一對(duì)，再用隨機(jī)抽樣的方法安裝在8輛卡車上。行駛一定里程后，測(cè)量輪胎磨損量（單位：mg）假定兩種輪胎的磨損量均服從正態(tài)分布，試求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。49005220550060206340766086504870

49304900514057006110688079305010.

設(shè)相互獨(dú)立且同服從正態(tài)分布

其中未知4900522055006020634076608650487049304900514057006110688079305010-30

320360320230780720-140解

和分別表示A,B兩種輪胎的磨損量，令將的觀察值列入表第3行，.

給定置信水平，使查t

分布表，得.

得置信水平為0.95的置信區(qū)間為A種高于B

種輪胎的磨損量至少52.73,故選B種。

說(shuō)明：

成對(duì)觀察值能極小化外來(lái)因素的影響，減少誤差，給出較精確的區(qū)間估計(jì)。.

4、當(dāng)均未知，方差比的區(qū)間估計(jì)（1）構(gòu)造樞軸量（2）對(duì)于置信水平，由

查F分布表，確定臨界值

.解出

（4）得置信水平的置信區(qū)間為（3）。

假定兩種配方的伸長(zhǎng)率服從正態(tài)分布，

例某橡膠配方中，原用氧化鋅5g,氧化鋅5g540533525520545531541529534氧化鋅1g565577580575556542560532570561求兩總體標(biāo)準(zhǔn)差之比的置信區(qū)間.測(cè)得橡膠伸長(zhǎng)如下：現(xiàn)減少為1g.分別對(duì)兩種配方作一批試驗(yàn)，。

解對(duì)查F

分布表，得所以.

的置信度為95%的置信區(qū)間為.

例

。

解.

.

1、指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)總體，即X

具有概率密度其中參數(shù)是來(lái)自總體三、非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（了解）求的區(qū)間估計(jì)。X

的一個(gè)樣本，對(duì)給定的置信度,。

選取樞軸量為證明略.

復(fù)習(xí)（略）當(dāng)（1）.

(2).且

獨(dú)立，則(3)

可加性若.推導(dǎo)因是的無(wú)偏估計(jì)，由可加性.

由分布與分布的關(guān)系，令則隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)

當(dāng)t>0時(shí)，單調(diào)，且值域因?yàn)榉春瘮?shù),導(dǎo)數(shù)為代入公式有.

。

故

所以，取樞軸量為即證畢.

(1)

構(gòu)造樞軸量（2）對(duì)于置信水平，由查分布表，確定臨界值

.（3）解出

（4）

得置信水平為的置信區(qū)間為.

設(shè)總體，其中0<p<1是未知參數(shù),是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，欲求p的置信度為

的置信區(qū)間。2、（0—1）分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì).

該分布仍與參數(shù)有關(guān)，故不能按前面推導(dǎo)（略）方法處理。由中心極限定理..即，有所以.

（1）構(gòu)造樞軸量

（2）對(duì)于置信水平，由

查正態(tài)分布表，確定臨界值

.（3）將不等式

化成。（4）得置信水平近似為

的置信區(qū)間為。

例設(shè)自一大批產(chǎn)品的100個(gè)樣品中因?yàn)?/p>

則一級(jí)品率p

是（0-1）分布的參數(shù)，而解p的置信水平為0.95的置信區(qū)間。，得一級(jí)品60個(gè)，求這批產(chǎn)品的一級(jí)品率.

故，得p

的一個(gè)置信水平為0.95的近似置信區(qū)間為（0.5，0.69）.

設(shè)總體X

的均值存在但未知，是來(lái)自總體X

的大樣本（即n充分大），求的置信度為的置信區(qū)間。3、大樣本條件下總體均值的區(qū)間估計(jì)可以證明，當(dāng)n充分大時(shí)，.

（1）構(gòu)造樞軸量

(2)

對(duì)于置信水平由查正態(tài)分布表，確定臨界值.(4)

得置信水平近似為的置信區(qū)間為解出（3）.

特別的

中1的個(gè)數(shù)大樣本，其中m

為樣本設(shè)是來(lái)自（0-1）分布的本來(lái)導(dǎo)出一個(gè)更簡(jiǎn)便的近似計(jì)算公式。知參數(shù)的置信區(qū)間。利用大樣對(duì)于總體服從（0-1）分布，求未

.

而故由上式，可得

p

的置信度近似為的置信區(qū)間.

如果一個(gè)總體X，其均值,方差是兩個(gè)獨(dú)立的參數(shù)，或者我們根本就不知道X的分布類型，那么在大樣本情形下，對(duì)參數(shù)或的區(qū)間估計(jì)完全類似于正態(tài)總體情形，只不過(guò)那里樞軸量的精確分布在這里均變成為漸近分布，相應(yīng)的置信區(qū)間變?yōu)榻频闹眯艆^(qū)間。小結(jié)：.

定義1

設(shè)總體X的分布函數(shù)，未知

則稱隨機(jī)區(qū)間為參數(shù)的置信度為的單側(cè)置信區(qū)間，稱為單側(cè)置信下限

是來(lái)自總體X

的樣本，對(duì)于給定

若存在統(tǒng)計(jì)量使得六、單側(cè)區(qū)間估計(jì)

.

若存在統(tǒng)計(jì)量

則稱隨機(jī)區(qū)間為參數(shù)的置信度為

使得的單側(cè)置信區(qū)間，稱為單側(cè)置信上限。.為

說(shuō)明：

未知參數(shù)單側(cè)置信區(qū)間的求法與其雙側(cè)置

信區(qū)間的求法大同小異。僅就正態(tài)總體均值,

方差未知的情形給出單側(cè)置信區(qū)間的求法。樣本方差。X

的樣本，