2021高考數(shù)學模擬測試卷（一）

2021年高考數(shù)學模擬測試卷

第I卷（選擇題）

一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（）

A.B.C.D.或

【答案】C

【解析】

分析：根據(jù)表達式得，化簡可求得，根據(jù)模的定義即可求得。

詳解：

所以

所以選C

點睛：本題考查了復(fù)數(shù)的簡單運算和模的定義，化簡過程中注意共輾復(fù)數(shù)和符號的變化，是簡單

題。

2.若集合，，則（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

集合，

故得到

故答案為：Bo

3.若橢圓的一個焦點的坐標是，則其離心率等于（）

A.2B..C..D.

【答案】D

【解析】

依題意可知，b=,a==1,.，.c==；.e==

故選B.

點睛：根據(jù)題意可知a和b,進而根據(jù)。=求得c,進而根據(jù)6=求得e.

4.2019年慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵式彰顯了中華民族從站起來、富起來邁向強起來

的雄心壯志.閱兵式規(guī)模之大、類型之全均創(chuàng)歷史之最，編組之新、要素之全彰顯強軍成就.裝備方

陣堪稱“強軍利刃”“強國之盾”，見證著人民軍隊邁向世界一流軍隊的堅定步伐.此次大閱兵不

僅得到了全中國人的關(guān)注，還得到了無數(shù)外國人的關(guān)注.某單位有10位外國人，其中關(guān)注此次大閱

兵的有8位，若從這10位外國人中任意選取3位做一次采訪，則被采訪者中至少有2位關(guān)注此次

大閱兵的概率為（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】

至少有2位關(guān)注此次大閱兵的對立事件為恰有2位不關(guān)注此次大閱兵，根據(jù)對立事件的概率公式計

算概率.

【詳解】

解：從這10位外國人中任意選取3位做一次采訪，其結(jié)果為個，

恰有2位不關(guān)注此次大閱兵有個，

則至少有2位關(guān)注大閱兵的概率

故選:

【點睛】

本題考查排列組合的應(yīng)用與占典概型，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.正方體笫-48K4中，￡是棱4?上的動點，則直線4〃與直線，力所成的角等于（）

A.60°B.90°C.30°D.隨點6的位置而變化

【答案】B

【解析】

'JA.DLAB,A八A",

平面AD\C、B,

又平面AD￡、B,

.,.A.DLQE.

直線4〃與直線GE所成的角等于90°.選B.

6.已知tana=-2,則的值為（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

,所以原式

,故選A.

7.在平行四邊形中，

則（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的線性運算及向量的數(shù)量積計算可得.

【詳解】

解:

,所以

故選：

【點睛】

本題考查平面向量的數(shù)量積，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.三世紀中期，魏晉時期的數(shù)學家劉徽利用不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的方法求出圓周率的近

似值，首創(chuàng)“割圓術(shù)”.利用“割圓術(shù)”，劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14,

這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的程序框圖，則輸出的值為

()(參考數(shù)據(jù):)

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)程序框圖運行程序，直到滿足時輸出結(jié)果即可.

【詳解】

按照程序框圖運行程序，輸入

則，不滿足循環(huán):

,,不滿足

,,滿足，輸出結(jié)果:

本題正確選項：

【點睛】

本題考查根據(jù)程序框圖循環(huán)結(jié)構(gòu)計算輸出結(jié)果，關(guān)鍵是能夠準確判斷是否滿足輸出條件，屬于基礎(chǔ)

題.

9.已知函數(shù)，若將曲線向左平移個單位長度后，得到曲線

,則不等式的解集是（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求得的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.

【詳解】

解：將曲線向左平移個單位長度后，得到曲線,則

由,得得,則

,,得

故選：

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，考查推理論證能力與運算求解能力.

10.現(xiàn)有三條曲線:

①曲線;②曲線；③曲線.直線與其相切的共有

()

A.。條B.1條C.2條D.3條

【答案】D

【解析】

【分析】

分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義一一判斷.

【詳解】

解：若，則由，得，點在直線上，則直線

與曲線相切；

若則由，得,當時，點在

直線上，則直線與曲線相切；

若，則由，得,其中在直線上，所以

直線與曲線相切.

故選：

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

11.設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為直線：

與雙曲線在第一、三象限的漸近線的交點為，若,則雙曲線的離心率

為（)

A.B.2C.D.

【答案】B

【解析】

由題可知雙曲線C在第一、三象限的漸近線方程為聯(lián)立方程組

設(shè)點0為坐標原點,

由A可知

化簡得故選B.

12.已知函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

令，貝!1，對求導(dǎo)，分析其單調(diào)性，

再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較，的大小關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小/.

【詳解】

解：,令

當時，，單調(diào)遞增；

當時，，單調(diào)遞減.

因為

所以當時,,且單調(diào)遞增.

又,所以

在上單調(diào)遞減，且

故.

故選：

【點睛】

本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查數(shù)學抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng)，屬于難題.

第n卷（非選擇題）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。

13.中醫(yī)藥是反映中華民族對生命、健康和疾病的認識，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨特理論及技術(shù)方法

的醫(yī)藥學體系，是中華文明的瑰寶.某科研機構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某品種中成藥的藥物成份的含量

（單位：）與藥物功效（單位：藥物單位）之間具有關(guān)系：.檢測這種藥品一個

批次的5個樣本，得到成份的平均值為，標準差為，估計這批中成藥的藥物功效的平均

值為藥物單位.

【答案】92

【解析】

【分析】

由題可得，

進而可得，再計算出，從而得出答案。

【詳解】

5個樣本成份的平均值為，標準差為，所以，

即，解得

因為，

所以

所以這批中成藥的藥物功效的平均值藥物單位.

【點睛】

本題考查求幾個數(shù)的平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是求出，屬于一般題。

14.已知，，現(xiàn)有下列四個結(jié)論：

①；②；③；④.其中所有正確結(jié)論的編號是.

【答案】②③

【解析】

【分析】

將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，再根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)驗證.

【詳解】

解：，，得，，，貝I

,.故所有正確結(jié)論的編號是②③.

故答案為：②③

【點睛】

本題考查指數(shù)、對數(shù)運算，考查運算求解能力與推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.設(shè)，，分別為內(nèi)角，，的對邊.已知，則

的取值范圍為.

【答案】

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦定理將邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式可求角，由余弦定理知

根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出范圍.

【詳解】

解：因為，所以，

所以

即又,所以

則，因為,所以，

而,故.

故答案為：：；

【點睛】

本題考查正弦與余弦定理的應(yīng)用，考查運算求解能力本題是一個易錯題，學生容易忽略不能

等于0,屬于中檔題.

16.設(shè)三棱錐的每個頂點都在球的球面上，是面積為的等邊三角形，

,則當三棱錐的體積最大時，球的表面積為.

【答案】

【解析】

【分析】

由題意可求，故當且平面底面時，三棱錐的體積最大.分

別求出和外接圓的半徑，即可求得外接球的半徑與表面積.

【詳解】

解：如圖，由題意得,解得

當且平面底面時，三棱錐的體積最大.

分別過和的外心作對應(yīng)三角形所在平面的垂線，垂線的交點即球心

,設(shè)和的外接圓半徑分別為，，球的半徑為，

則

故,球的表面積為

故答案為：

【點睛】

本題考查三棱錐的體積與球體的表面積，考查空間想象能力與運算求解能力，屬于難題.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第

17-21題為必做題,每個考生都必須作答.第22/23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分

17.在數(shù)列中，，，^

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)求數(shù)列的前項和.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)遞推公式可得即是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，即可

求出通項公式；

(2)由(1)可得，采用分組求和計算其前項和.

【詳解】

解：⑴

又

是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

:.從而.

1(1V

(2)---,a?-----=2",/.a——=4",

4

.?.S,=4+2+4?+2+43+2+…+4”+2

=(4'+42+43+---+4)1)+2?

1-4

4n+1-4.

----------

3

4""+6〃-4

3

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的通項公式以及求和公式，屬于中檔題.

18.如圖，在直三棱柱43C—DAF中，ZBAC=9Q°,4c3=30°,BE=BC=2,M，

N分別是BE,NC的中點.

(1)證明：MTV〃平面CZ>E.

（2）求直線4以與平面COE所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵叵

14

【解析】

【分析】

（1）取8的中點，連接NO,EO,可證四邊形MEON是平行四邊形，即得MN//EO,

即可證明線面平行.

（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求出線面角的正弦值.

【詳解】

解：（1）證明：取的中點，連接NO,EO.

YN是AC的中點、，：.NO"ADHME.

是8E的中點，NOuME1,

...四邊形"SON是平行四邊形，，MN//EO.

；EOu平面CDE,W平面CDE,

MN〃平面CDE.

（2）解：以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系。一孫z.

VZBAC=90°,ZACB=30°,

:.DE=AB=1,DF=AC=5

則。（0,0,0）,￡（1,0,0）,C（0,V3,2）,4（0,0,2）,

則詼=（1,0,0）,DC=（0,V3,2）.

設(shè)平面CDE1的法向量為3=（x,y,z）,則小瓦=[.皮=0，即工=/1^+22=0，

令y=2,則z=—G，得3=（0,2,-6）.

設(shè)直線AM叼平面CDE所成角為6，?.?前=（1,0,-1）,

.?a—/另7-\_?A/川-8_

??sinu-cosIAM.RI—.—=-產(chǎn)—尸二-----，

\'\AM\\n\V2xV714

故W與平面CDE所成角的正弦值為叵.

14

【點睛】

本題考查線面平行的證明，線面角的計算，考查空間想象能力，計算能力，屬于中檔題.

19.已知直線x=2p與拋物線:(夕＞0)交于,0兩點，且"。。的面積為16

(為坐標原點).

(1)求的方程.

(2)直線經(jīng)過的焦點尸且不與X軸垂直,與交于，兩點，若線段Z8的垂直平分線

\AB\

與X軸交于點，試問在X軸上是否存在點E,使舄為定值？若存在，求該定值及E的坐標；

若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y2=4x

(2)存在，(1,0)

【解析】

【分析】

(1)將x=2p代入/=2*，得^=±20,即可表示出APO0的面積，計算可得P.

(2)設(shè)直線的方程為卜=后(》-9(左片0),聯(lián)立直線與曲線方程，根據(jù)焦點弦長公式計算出

\AB\,求出線段23的垂直平分線與％軸交于點的坐標，設(shè)E&0),則|。閡可用含f,左的式

AB

子表示，即可分析當/為何值是FT為定值.

DE

【詳解】

解：(1)將X=22代入=2px,得y=±2p,

所以APO0的面積為:x2px4p=4P2=16.

因為。＞0,所以2=2,

故的方程為歹2=4x.

(2)由題意設(shè)直線的方程為y=Mx-l"wO),

由二一1)'得上2/_(2左2+4卜+左2=0.

設(shè)力(石,凹),8(X2，%)，則再+/=2左：4,

K

4k2.L4

所以|AB|=演+/+P=------;——?

因為線段Z5的中點的橫坐標為土上=空2,縱坐標為2,

2k2k

21(左2+2、

所以線段48的垂直平分線的方程為歹一7k=-7ky%--kn~-,

22

令y=0,得x=3+記，所以的橫坐標為3+記，

設(shè)E(f,0),則阿=3+W—」°T)f+2|,

KK

網(wǎng)4左2+4

一西一|(37*+2「

\AB\/、

所以當且僅當3-/=2,即，=1時，渦為定值，且定值為2,故存在點E，且E的坐標為(1,0).

【點睛】

本題考查求拋物線的標準方程，直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，屬于中檔題.

20.某城市有東、西、南、北四個進入城區(qū)主干道的入口，在早高峰時間段，時常發(fā)生交通擁堵,

交警部門記錄了11月份30天內(nèi)的擁堵情況(如下表所示，其中?表示擁堵，。表示通暢).假設(shè)

每個人口是否發(fā)生擁堵相互獨立，將各入口在這30天內(nèi)擁堵的頻率代替各入口每天擁堵的概率.

11.111.211.311.411.511.611.711.811.911.1011.1111.1211.1311.1411.15

東

入?OOOO?O??O???O?

□

西

入OO??O?O*O?O??OO

□

南

入O?OOO?OOOOOOOO?

□

北

入*OOO?OO?OOOOO?O

口

11.1611.1711.1811.1911.2011.2111.2211.2311.2411.2511.2611.2711.2811.2911.30

東

入?OO?OOO??O?O?O?

□

西

入?O??O?O?O?O?O?O

口

南

入OOO?OOOO?OOOOO?

□

北

OO*OOOOOOOOOO?O

入

□

（1）分別求該城市一天中早高峰時間段這四個主干道的入口發(fā)生擁堵的概率.

（2）各人口一旦出現(xiàn)擁堵就需要交通協(xié)管員來疏通，聘請交通協(xié)管員有以下兩種方案可供選擇.方

案一：四個主干道入口在早高峰時間段每天各聘請一位交通協(xié)管員，聘請每位交通協(xié)管員的日費用

為/〃（135〈根＜175,且mH140）元.方案二：在早高峰時間段若某主干道入口發(fā)生擁堵，交

警部門則需臨時調(diào)派兩位交通協(xié)管員協(xié)助疏通交通，調(diào)派后當日需給每位交通協(xié)管員的費用為200

元.以四個主干道入口聘請交通協(xié)管員的日總費用的數(shù)學期望為依據(jù)，你認為在這兩個方案中應(yīng)該

如何選擇？請說明理由.

【答案】（1）-

（2）當135〈加＜140時，應(yīng)該選擇方案一；當140〈加＜175時，應(yīng)該選擇方案二.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)利用古典概型的概率公式計算可得.

（2）計算出方案二聘請交通協(xié)管員的日總費的期望值，結(jié)合方案一比較分析.

【詳解】

解：（1）將東、西、南、北四個主干道入口發(fā)生擁堵的情況分別記為事件，

則尸（2）=尸⑻=P（C）=P（0=W

（2）對于方案二，設(shè)四個主干道聘請交通協(xié)管員的日總費用為X，

則X的可能取值為0，400,800,1200,1600.

P（X=400）=；x（lx2+1x2=。

rl「Th5100

2

1—；433

尸（X=800）=X—=-------

5100

1

P（X=1200）=

2

P（X=1600）

故E(X)=0x生

+400x—+800x—+1200x—+1600x—=560元.

''100100100100100

對于方案一，四個主干道聘請交通協(xié)管員的日總費用為4〃?元,

當135〈優(yōu)<140時，4m<560?應(yīng)該選擇方案一;

當140<加<175時，4m>560,應(yīng)該選擇方案二.

【點睛】

本題考查古典概型的概率計算問題，以及離散型隨機變量的分布列、期望的計算，屬于中檔題.

21.設(shè)函數(shù)/(x)=axlnx+,(<7>0).

(1)當。=1時，求的極值；

(2)如果“X)》?在(0,+8)上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】有極小值/(1)=1，沒有極大值；(2)(0,：.

【解析】

試題分析：(1)當。=1時，求導(dǎo)令導(dǎo)函數(shù)等于零，列表，通過友格找到函數(shù)極值即可；(2)求

恒成立問題一般要分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求其最小值，只需最小值大于零即可求出取值范圍.

試題解析：(1)由已知，當。=1時，/(x)=xlnx+L；./'(x)=lnx+l-：，

17

/"(x)=—+二>0

xx

.?./'(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且/'(1)=0,

/'(X),隨X變化如下表:

X1(1,+°°)

/'(X)-0+

極小值/

有極小值/(1)=1,沒有極大值.

(2)(方法一)由題可得a。—lnx)4(?恒成立,

當xNe時，上式恒成立;

乂Q>0,故，2工2（］_1）

當0<x<e時,a<—-------rnx

x2(l-lnx)a

令〃(x)=%2(1Tll',則=-21n%),令I(lǐng)(%)=0，

，當時，，G<x<c時，"（x）<0,

??"（x）max==e（l-ln&）、，

.--->4,解得：，二的取值范圍是.

a2

（方法二）由題可得，設(shè)，則

'：a>0,在(0,+oo)上單調(diào)遞增，，

(1

3xGl,ea使得g'(xo)=o,則a=—,

0IJ/一叫

由a>0知/>1,且0cxe飛時,g,(x)<0,x>x(,時，g,(x)>0,

???g(x)min=g(Xo)=^^N。，/.lnx0>1,：.xQ>^<：.a<-,

xon\xo2e

的取值范圍是

（方法三）由題可得/9。一。=々111￥+4~-。20恒成立，

XX

令〃(x)=(21nx+J-4

<0,

22

Aln->l,解得：Q?一,???的取值范圍是

ae

（二）選考題：共10分,請考生在22,23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

22.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

73

八1

/=I1+cos0x=---2-

已知曲線G：｛.八（。為參數(shù)），c2：｛:（/為參數(shù)）

y=sin62V3