人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第一冊(cè))同步講義第29講 3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（原卷版）

第04講3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，了解雙曲線中a，b，c，e的幾何意義及范圍。②會(huì)根據(jù)雙曲線的方程解決雙曲線的幾何性質(zhì)，會(huì)用雙曲線的幾何意義解決相關(guān)問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握雙曲線的幾何量a，b，c，e的意義，會(huì)利用幾何量之間的關(guān)系，求相關(guān)幾何量的大小，會(huì)利用雙曲線的幾何性質(zhì)解決與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)、弦、周長、面積等問題知識(shí)點(diǎn)01：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）圖形性質(zhì)范圍SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0漸近線SKIPIF1<0SKIPIF1<0離心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，a，b，c間的關(guān)系SKIPIF1<0【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為SKIPIF1<0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為：SKIPIF1<0.故選：C.知識(shí)點(diǎn)02：等軸雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)稱雙曲線為等軸雙曲線①SKIPIF1<0；②離心率SKIPIF1<0；③兩漸近線互相垂直，分別為SKIPIF1<0；④等軸雙曲線的方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；【即學(xué)即練2】（2023春·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程為【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)所求雙曲線方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0雙曲線經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求雙曲線方程為：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.知識(shí)點(diǎn)03：直線與雙曲線的位置關(guān)系1、代數(shù)法：設(shè)直線SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0聯(lián)立解得：SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)）；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或k不存在時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；（2）SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0存在時(shí)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，直線與雙曲線相離，沒有交點(diǎn)；SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；相切SKIPIF1<0不存在，SKIPIF1<0時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；SKIPIF1<0直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；【即學(xué)即練3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0上支的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為．【答案】2【詳解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與雙曲線上支的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．故答案為：2知識(shí)點(diǎn)04：弦長公式1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設(shè)直線與橢圓交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0為直線斜率2、通徑的定義：過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則弦長SKIPIF1<0.【即學(xué)即練4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過雙曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，則AB的長為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】雙曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以直線l的方程為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)05：雙曲線與漸近線的關(guān)系1、若雙曲線方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0漸近線方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<02、若雙曲線方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）SKIPIF1<0漸近線方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<03、若漸近線方程為SKIPIF1<0，則雙曲線方程可設(shè)為SKIPIF1<0，4、若雙曲線與SKIPIF1<0有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上，SKIPIF1<0，焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上）【即學(xué)即練5】（2023·四川成都·?？家荒＃┮阎行脑谠c(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為SKIPIF1<0，則它的漸近線方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線的方程為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以漸近線方程為SKIPIF1<0.故選：C.知識(shí)點(diǎn)06：雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式設(shè)SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0弦SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不平行SKIPIF1<0軸）的中點(diǎn)，則有SKIPIF1<0證明：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩式相減得：SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0是弦SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0【即學(xué)即練6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得直線的斜率為SKIPIF1<0，又直線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)SKIPIF1<0與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：A題型01由雙曲線的方程求幾何性質(zhì)【典例1】（多選）（2023·海南·校考模擬預(yù)測(cè)）下列關(guān)于雙曲線SKIPIF1<0說法正確的是（

）A．實(shí)軸長為6 B．與雙曲線SKIPIF1<0有相同的漸近線C．焦點(diǎn)到漸近線距離為4 D．與橢圓SKIPIF1<0有同樣的焦點(diǎn)【典例2】（多選）（2023春·福建三明·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線SKIPIF1<0，則不因SKIPIF1<0的值改變而改變的是（

）A．焦距 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)C．離心率 D．漸近線方程【變式1】（多選）（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線SKIPIF1<0，則（

）A．實(shí)軸長為1 B．虛軸長為2C．離心率SKIPIF1<0 D．漸近線方程為SKIPIF1<0【變式2】（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0，下列結(jié)論正確的是（

）A．C的實(shí)軸長為SKIPIF1<0 B．C的漸近線方程為SKIPIF1<0C．C的離心率為SKIPIF1<0 D．C的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0題型02根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)SKIPIF1<0且與橢圓SKIPIF1<0有相同焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）與雙曲線SKIPIF1<0有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)SKIPIF1<0的雙曲線方程為．【典例3】（2023秋·湖南衡陽·高二統(tǒng)考期末）解答下列兩個(gè)小題：（1）雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0離心率為SKIPIF1<0，且點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0的方程；（2）雙曲線SKIPIF1<0實(shí)軸長為2，且雙曲線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的焦點(diǎn)相同，求雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程．【變式1】（2023春·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一雙曲線的虛軸長為4，離心率與橢圓SKIPIF1<0的離心率互為倒數(shù)，且焦點(diǎn)所在軸相同，則該雙曲線的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，實(shí)半軸長為4，則雙曲線的方程為.題型03雙曲線的漸近線問題【典例1】（2023秋·高二單元測(cè)試）已知雙曲線SKIPIF1<0兩條漸近線的夾角為SKIPIF1<0，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03春·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線SKIPIF1<0的離心率為2，則它的漸近線方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023春·江西贛州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，雙曲線SKIPIF1<0的右支上存在一點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的左支的交點(diǎn)SKIPIF1<0平分線段SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的漸近線斜率為（

）

A．SKIPIF1<03 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（2023春·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）雙曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)到C的一條漸近線的距離為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．4【變式2】（2023秋·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）若雙曲線SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，則該雙曲線的漸近線方程為．【變式3】（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，過SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0的垂線分別交雙曲線的左、右兩支于SKIPIF1<0兩點(diǎn)（如圖）.若SKIPIF1<0構(gòu)成以SKIPIF1<0為頂角的等腰三角形，則雙曲線的漸近線方程為.

題型04雙曲線的離心率問題（定值）【典例1】（2023秋·高二單元測(cè)試）已知雙曲線SKIPIF1<0兩條漸近線的夾角為SKIPIF1<0，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·湖南衡陽·高二統(tǒng)考期末）古希臘數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》，里給出了托勒密定理，即任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于等于兩組對(duì)邊的乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)圓上時(shí)等號(hào)成立.已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率.【典例3】（2023春·四川涼山·高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期末）已知雙曲線SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作一條斜率為SKIPIF1<0的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)M，且SKIPIF1<0，則雙曲線C的離心率為.【變式1】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為該雙曲線的左，右頂點(diǎn)SKIPIF1<0分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，第二象限內(nèi)的點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線的漸近線上，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的平分線，且線段SKIPIF1<0的長為焦距的一半，則該雙曲線的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）已知直線SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的一條漸近線，則SKIPIF1<0的離心率為.【變式3】（2023春·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)?？计谀┮阎p曲線SKIPIF1<0的一條漸近線被圓SKIPIF1<0截得的弦長為SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率為.題型05雙曲線的離心率問題（最值或范圍）【典例1】（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線SKIPIF1<0的上下焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的下支上，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的一條漸近線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的離心率的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的焦距為SKIPIF1<0，已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，雙曲線的左頂點(diǎn)為A，以SKIPIF1<0為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P，Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)Q在y軸右側(cè)，若SKIPIF1<0，則該雙曲線的離心率的取值范圍是.【變式1】（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知雙曲線SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0離心率的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)F為雙曲線SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)O且斜率SKIPIF1<0的直線與雙曲線C交于A?B兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為P，BF的中點(diǎn)為Q.若SKIPIF1<0，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是.【變式3】（2023春·湖北宜昌·高二葛洲壩中學(xué)校考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左，右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在第三象限，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0的傾斜角，若SKIPIF1<0，則該雙曲線離心率的取值范圍是.題型06根據(jù)雙曲線的離心率求參數(shù)【典例1】（2023春·陜西咸陽·高二校考階段練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，則其漸近線方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·江蘇·高二統(tǒng)考期末）設(shè)SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)，已知雙曲線SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為【變式1】（2023春·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的兩個(gè)焦點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0的離心率為2，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0．題型07直線與雙曲線的位置關(guān)系【典例1】（多選）（2023秋·山西太原·高二山西大附中?？计谀┲本€SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則SKIPIF1<0的可能取值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·安徽六安·高二六安二中?？奸_學(xué)考試）已知直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0相交于A，B兩點(diǎn)，若A，B兩點(diǎn)在雙曲線的左支上，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【變式1】（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎本€SKIPIF1<0和雙曲線SKIPIF1<0，若l與C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則t的取值范圍是．【變式2】（2023·上海崇明·上海市崇明中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）記雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0無公共點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍為.【變式3】（2023秋·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末）若直線l過點(diǎn)SKIPIF1<0，且與雙曲線SKIPIF1<0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的直線有條．題型08弦長問題【典例1】（2023·新疆喀什·校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，離心率為2，直線l經(jīng)過C的右焦點(diǎn)，且與C相交于A、B兩點(diǎn).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長度.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線方程為SKIPIF1<0，焦距為SKIPIF1<0.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過SKIPIF1<0的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求直線l的方程.【典例3】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C的漸近線為SKIPIF1<0，且過點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA與OB垂直，求a的值以及弦長SKIPIF1<0．【變式1】（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校考期中）已知雙曲線的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且該雙曲線過點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過左焦點(diǎn)SKIPIF1<0作斜率為SKIPIF1<0的弦AB，求AB的長；(3)求SKIPIF1<0的周長．【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)SKIPIF1<0，作傾斜角為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)SKIPIF1<0；(2)求線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)和SKIPIF1<0.【變式3】（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）已知雙曲線SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，它的左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0到其漸近線的距離是SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0左支于一點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的斜率是SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0長．題型09三角形面積問題【典例1】（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為雙曲線上一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則三角形SKIPIF1<0的面積為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的離心率為3，焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上.若SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積是.【典例3】（2023春·上海寶山·高二上海交大附中?？计谥校┮阎p曲線SKIPIF1<0，及直線SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的左右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值.【變式1】（2023·安徽六安·六安一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積等于（

）A．18 B．10 C．9 D．6【變式2】（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為.【變式3】（2023·浙江·二模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點(diǎn)，線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0點(diǎn).(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0的面積為8，求直線SKIPIF1<0的斜率.題型10中點(diǎn)弦和點(diǎn)差法【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線方程為SKIPIF1<0，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為1.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求SKIPIF1<0的方程.【典例3】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，且C的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線l與C交于不同的A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線SKIPIF1<0的一條弦的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則此弦所在的直線方程為.【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0的其中一個(gè)焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，一條漸近線方程為SKIPIF1<0（1）求雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知傾斜角為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求直線SKIPIF1<0的方程.【變式3】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為2．(1)求C的方程；(2)是否存在直線l，經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0且與雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，若存在，求l的方程：若不存在，說明理由．題型11雙曲線的定點(diǎn)、定值、定直線問題問題【典例1】（2023春·全國·高二合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不重合時(shí)，設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0為定值．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0的離心率為2，右焦點(diǎn)SKIPIF1<0到其中一條漸近線的距離為SKIPIF1<0.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過右焦點(diǎn)SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0交雙曲線于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，求證直線SKIPIF1<0過定點(diǎn).【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且SKIPIF1<0，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請(qǐng)說明理由【變式1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0，且離心率SKIPIF1<0(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的斜率互為相反數(shù)，證明直線SKIPIF1<0的斜率為定值，并求出該定值.【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0的左右頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0.直線SKIPIF1<0和兩條漸近線交于點(diǎn)SKIPIF1<0,點(diǎn)SKIPIF1<0在第一象限且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是雙曲線上的任意一點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在點(diǎn)P使得SKIPIF1<0為直角三角形？若存在,求出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；(3)直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0分別交于點(diǎn)SKIPIF1<0,證明：以SKIPIF1<0為直徑的圓必過定點(diǎn).【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在①C的漸近線方程為SKIPIF1<0

②C的離心率為SKIPIF1<0這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填在題中的橫線上，并解答．已知雙曲線C的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)SKIPIF1<0在C上，且______．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知C的右焦點(diǎn)為F，直線PF與C交于另一點(diǎn)Q，不與直線PF重合且過F的動(dòng)直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，直線PM和QN交于點(diǎn)A，證明：A在定直線上．注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．題型12雙曲線中的向量問題【典例1】（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的一條漸近線為SKIPIF1<0，且點(diǎn)SKIPIF1<0在C上．(1)求C的方程；(2)設(shè)C的上焦點(diǎn)為F，過F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，求l的斜率．【典例2】（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，存在兩定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與一動(dòng)點(diǎn)A.已知直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的斜率之積為3.(1)求A的軌跡SKIPIF1<0；(2)記SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.過定點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn).若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程.【變式1】（2023秋·浙江杭州·高二杭州高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎p曲線C：SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，且過點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求雙曲線C的方程；(2)若F是雙曲線的右焦點(diǎn)，Q是雙曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)F，Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，且SKIPIF1<0，求直線l的斜率．【變式2】（2023秋·安徽滁州·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的一條漸近線的距離為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，求SKIPIF1<0的值．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）雙曲線SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為SKIPIF1<0，則它的漸近線方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期末）若雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，實(shí)軸長為SKIPIF1<0，且焦點(diǎn)在x軸上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的右支上，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）過雙曲線SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)作直線SKIPIF1<0交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0恰有3條，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．3 C．4 D．66．（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為雙曲線上一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則三角形SKIPIF1<0的面積為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，過原點(diǎn)SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．4 C．8 D．168．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0分別經(jīng)過雙曲線的實(shí)軸和虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離和大于實(shí)軸長，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題9．（2023·海南·?？寄M預(yù)測(cè)）下列關(guān)于雙曲線SKIPIF1<0說法正確的是（

）A．實(shí)軸長為6 B．與雙曲線SKIPIF1<0有相同的漸近線C．焦點(diǎn)到漸近線距離為4 D．與橢圓SKIPIF1<0有同樣的焦點(diǎn)10．（2023秋·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，則該雙曲線的方程可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題11．（2023春·上海靜安·高二統(tǒng)考期末）若雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，且過點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的焦距為.12．（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎本€SKIPIF1<0和雙曲線SKIPIF1<0，若l與C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則t的取值范圍是．四、解答題13．（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，已知焦距為8，離心率為2，(1)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸和虛軸長及漸近線方程.14．（2023春·黑龍江雞西·高二雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）已知雙曲線SKIPIF1<0的實(shí)軸長為2，右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)已知直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于不同的兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.15．（2023春·浙江杭州·高二校考階段練習(xí)）已知雙曲線SK