自動控制原理 第3版 PPT課件 第3章VIP

自動控制原理（第3版）

孟華主編機械工業(yè)出版社普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材

遼寧省“十二五”普通高等教育本科省級規(guī)劃教材第3章時域分析法自動控制原理2第3章時域分析法3.1概述3.2瞬態(tài)響應3.3穩(wěn)定性3.4穩(wěn)態(tài)誤差分析3.5應用MATLAB進行控制系統(tǒng)時域分析自動控制原理3線性定常系統(tǒng)的主要性能分析動態(tài)性能系統(tǒng)的輸出在輸入信號作用下的響應情況。表征輸出響應在階躍信號作用下的動態(tài)性能指標有超調(diào)量、調(diào)整時間等。穩(wěn)定性自動控制系統(tǒng)正常工作的前提是系統(tǒng)穩(wěn)定。不穩(wěn)定的系統(tǒng)不能正常工作。判斷方法：勞斯判據(jù)、Nyquist判據(jù)、李雅普諾夫第二方法等。Routh,Hurwitz,Nyquist,Bode,Nichols,andLyapunovstabilitycriterion控制系統(tǒng)一般都存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構和參數(shù)有關，與輸入信號有關。3.1概述自動控制原理4瞬態(tài)響應:在輸入信號作用下,其輸出量從初始狀態(tài)到進入穩(wěn)態(tài)之間隨時間變化的過程。（1）預先規(guī)定一些特殊的試驗輸入信號

（2）比較標準——性能指標

比較控制系統(tǒng)對規(guī)定輸入信號的響應3.2瞬態(tài)響應——控制系統(tǒng)對這些試驗信號的響應——控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)——規(guī)定的一些特殊輸入信號穩(wěn)態(tài)響應瞬態(tài)響應t自動控制原理5（1）單位階躍函數(shù)0t用于描述指令突然轉(zhuǎn)換、合閘、負荷突變等

3.2.1典型輸入信號（2）單位斜坡函數(shù)10t用于描述指令隨時間線性變化的斜坡信號自動控制原理6（3）拋物線函數(shù)0t1/21用于描述機動的指令輸入信號（4）單位脈沖函數(shù)0用于描述對于實際系統(tǒng)的瞬間沖擊作用3.2.1典型輸入信號（續(xù)）自動控制原理7（5）正弦函數(shù)0t主要用于頻域分析,有時也用于時域分析3.2.1典型輸入信號（續(xù)）自動控制原理8調(diào)整時間Settlingtime單位階躍響應及動態(tài)性能指標上升時間Risetime峰值時間Peaktime10t這些點已被確定0.05或0.02超調(diào)量Overshoot0.5延遲時間Delaytime自動控制原理9-（1）一階系統(tǒng)的單位階躍響應3.2.2一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應

自動控制原理10(1)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(續(xù))T2T3T4T5T98.2%95%99.3%86.5%B0t163.2%A0.632自動控制原理11（2）一階系統(tǒng)的單位脈沖響應98.2%95%99.3%86.5%B0tT2T3T4T5T63.2%A（2）一階系統(tǒng)的單位脈沖響應（續(xù)）自動控制原理12（3）一階系統(tǒng)的單位斜坡響應

自動控制原理13-二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標準形式或稱標準方程。3.2.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應自動控制原理14如電樞控制的直流電動機圖中，角速度

與電樞電壓ua之間傳遞函數(shù)為如R-Ｌ-Ｃ電路圖中，其傳遞函數(shù)為

傳遞函數(shù)自動控制原理15二階系統(tǒng)特征方程：[s]0000特征方程的根：0特征方程的根Therootsofcharacteristicequations自動控制原理160[s]二階系統(tǒng)的單位階躍響應自動控制原理17衰減振蕩自動控制原理18自動控制原理19自動控制原理20自動控制原理210不振蕩二階系統(tǒng)的單位階躍響應自動控制原理220不振蕩動態(tài)過程更長二階系統(tǒng)的單位階躍響應自動控制原理23[s]0單調(diào)發(fā)散二階系統(tǒng)的單位階躍響應此類系統(tǒng)是穩(wěn)定的。自動控制原理240發(fā)散振蕩二階系統(tǒng)的單位階躍響應此類系統(tǒng)不穩(wěn)定。自動控制原理25

可以看到不同ζ值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線族由圖知在一定ζ值下，欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快地達到穩(wěn)態(tài)值。與ζ值在一定范圍內(nèi)的欠阻尼系統(tǒng)相比，過阻尼系統(tǒng)反應遲鈍，動作很緩慢，所以一般的控制系統(tǒng)大都設計成欠阻尼系統(tǒng)。二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線自動控制原理26二階系統(tǒng)的脈沖響應自動控制原理27自動控制原理28上升時間峰值時間調(diào)整時間10t這些點已被確定0.05或0.02超調(diào)量0.5延遲時間3.2.4時域性能指標瞬態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應σ%

自動控制原理291、欠阻尼二階系統(tǒng)在階躍輸入作用下的瞬態(tài)響應指標

0[s]3.2.5瞬態(tài)響應分析自動控制原理303.2.5瞬態(tài)響應分析（續(xù)）得：自動控制原理313.2.5瞬態(tài)響應分析（續(xù)）自動控制原理32（4）調(diào)整時間tsc(t)的包絡線為3.2.5瞬態(tài)響應分析（續(xù)）自動控制原理33標準二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應指標自動控制原理34

根據(jù)以上分析，可以看出欠阻尼二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應性能完全取決于阻尼比ζ和無阻尼自然振蕩頻率ωn

。如何選取ζ和ωn使系統(tǒng)滿足設計要求，應從如下幾點考慮：（1）當ωn一定，要減小tr和tp，必須減少ζ值，要減少ts則應增大ζ、ωn

值，而且ζ值有一定范圍，不能過大。（2）增大ωn

，能使tr，tp和ts都減少。（3）最大超調(diào)量σp只由ζ決定，ζ越小，σp越大。所以，一般根據(jù)σp的要求選擇ζ值，在實際系統(tǒng)中，ζ值一般在0.5-0.8之間。而對各種時間性能指標的要求，則可通過ωn的選取來滿足。參數(shù)對系統(tǒng)的影響

自動控制原理35例角位置隨動系統(tǒng)結(jié)構圖如下圖

設系統(tǒng)的參數(shù)均已確定，只有放大器增益Ka可調(diào)，經(jīng)等效變換后得開環(huán)傳遞函數(shù)為試計算Ka=200時的tp，ts和σp%

。如果增益提高到1500或降低到10，對系統(tǒng)響應有何影響？舉例解:系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(1)當Ka=200時，ωn=31.6，ζ=34.5/（2ωn

）=0.545，得:

自動控制原理36(2)Ka=1500時，得ωn=86.2s-1，ζ=0.2；得:tp=0.037s，ts=0.17s

，σp%=52.7%?？梢钥闯觯岣咴鲆媸鬼憫跏级渭涌?，但振蕩強烈，平穩(wěn)性明顯下降。而由于ζ小，ωn大，調(diào)節(jié)時間并無多大變化。(3)Ka=10時，得ωn=7.07s-1，ζ=2.44，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，階躍響應無超調(diào)。二階系統(tǒng)兩個特征根為

因s2的絕對值遠大于s1，二階系統(tǒng)近似為一階慣性環(huán)節(jié)此時，響應雖無超調(diào)，但過程緩慢。舉例（續(xù)）自動控制原理37

分析上例,改變放大器增益Ka對系統(tǒng)穩(wěn)定性和快速性的影響發(fā)現(xiàn)，為提高響應速度而加大開環(huán)增益，結(jié)果是阻尼比減小，使振蕩加劇；反之，減小增益能顯著改善平穩(wěn)性，但響應過程又過于緩慢。僅僅改變系統(tǒng)原有部件參數(shù)難于全面滿足性能指標。此時可以通過適當改變系統(tǒng)結(jié)構，改善系統(tǒng)的品質(zhì)。（1）誤差的比例+微分控制

開環(huán)傳函等效阻尼比閉環(huán)傳函改善二階系統(tǒng)性能的措施自動控制原理38t改善二階系統(tǒng)性能的措施（續(xù)）從物理概念上說明比例—微分控制對系統(tǒng)性能的影響自動控制原理39（2）輸出量的速度反饋控制

輸出速度反饋控制系統(tǒng)沒有微分控制作用，與比例+微分控制相比，系統(tǒng)階躍響應的動態(tài)平穩(wěn)性更好，但快速性改善作用不強。其中，Kt稱為速度反饋系數(shù)。改善二階系統(tǒng)性能的措施（續(xù)）自動控制原理40當線性定常系統(tǒng)輸入信號為原來輸入信號的導數(shù)時，這時系統(tǒng)的輸出也為原來輸出的導數(shù)。在零初始條件下，當線性定常系統(tǒng)輸入信號為原來輸入信號對時間的積分時，則系統(tǒng)的輸出為原來輸出的積分。3.2.6線性定常系統(tǒng)的重要特性

由于單位脈沖信號是單位階躍信號對時間的一階導數(shù)，所以單位脈沖響應也是單位階躍響應對時間的一階導數(shù)。由于單位斜坡信號和單位拋物線信號分別是單位階躍信號對時間的一重和二重積分，所以單位斜坡響應和單位拋物線響應也應是單位階躍響應對時間的一重和二重積分。這樣只要知道系統(tǒng)對某一種典型信號的響應，對其它典型信號的響應也可推知。這是線性定常系統(tǒng)獨具的特性。自動控制原理41高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般可以寫成如下的形式：寫成零、極點的形式:

設輸入為單位階躍,則輸出為:

3.2.7高階系統(tǒng)的近似分析自動控制原理42設系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點各不相同，則:

由上式可見，高階系統(tǒng)的響應是由慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)（二階系統(tǒng)）的單位階躍響應構成。

（1）高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應各分量的衰減快慢由pj和ζnj、ωnj

決定。（2）各分量所對應的系數(shù)決定于系統(tǒng)的零、極點分布。（3）系統(tǒng)的零、極點共同決定了瞬態(tài)響應曲線的形狀。3.2.7高階系統(tǒng)的近似分析（續(xù)）自動控制原理431、閉環(huán)傳遞函數(shù)中，如果零、極點數(shù)值上相近，則可將該零點和極點一起消去，稱之為偶極子相消。2、系統(tǒng)極點的負實部愈是遠離虛軸，則該極點對應的項在瞬態(tài)響應中衰減得愈快。 反之，距虛軸最近的閉環(huán)極點對應著瞬態(tài)響應中衰減最慢的項，該極點對（或極點）對瞬態(tài)響應起主導作用，稱之為主導極點。 工程上當極點A距虛軸的距離大于5倍的極點B距虛軸的距離時，分析時可忽略極點A。 找到了一對共軛復數(shù)主導極點，高階系統(tǒng)就可以近似地當作二階系統(tǒng)來分析，相應的性能指標都可以按二階系統(tǒng)進行近似估計。零極點的性質(zhì)自動控制原理44例已知四階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

試求系統(tǒng)近似的單位階躍響應c(t)。解傳遞函數(shù)變?yōu)?觀察上圖可知系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)有一個零點(s+20.03)和一個極點(s+20)距離很近，遠離其它零極點。對消此零極點得近似的單位階躍響應為

上式s1=,Re[s2,3]=。s1距虛軸的距離是s2,3距虛軸距離的5倍以上。將高階系統(tǒng)近似為一個二階系統(tǒng)舉例自動控制原理453.3穩(wěn)定性3.3.1穩(wěn)定性的基本概念

穩(wěn)定stable

不穩(wěn)定unstableMbcodf自動控制原理46穩(wěn)定性嚴密的數(shù)學定義，最早是由俄國學者李雅普諾夫在1892年建立的。它是具有普遍性意義的穩(wěn)定性理論，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，還適用于時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。這里只討論單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。只是從激勵和響應的關系上分析線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性。分析當擾動消失后，系統(tǒng)是否能回到原平衡點。系統(tǒng)受到擾動，偏離原來的平衡狀態(tài)。如果擾動取消后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則是不穩(wěn)定的。3.3.1穩(wěn)定性的基本概念（續(xù)）自動控制原理47

r(t)作用下的響應分量與系統(tǒng)的初始條件產(chǎn)生的響應分量之和擾動輸入n(t)作用下的響應分量

3.3.1穩(wěn)定性的基本概念（續(xù)）自動控制原理48t>t2時,系統(tǒng)可能經(jīng)過一定的時間回到原來的平衡工作點,也可能隨著時間的增加而無限偏離原來的平衡工作點。t平衡點偏離平衡點恢復平衡點tt3.3.1穩(wěn)定性的基本概念（續(xù)）若n(t)=0后，有若n(t)=0后，有就稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。就稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當時當時自動控制原理49對系統(tǒng)穩(wěn)定性定義的附加說明：當經(jīng)過一定時間后，系統(tǒng)既不回到原平衡點又不無限偏離原平衡點，而表現(xiàn)為在原平衡點附近的一個有限區(qū)域內(nèi)做等幅振蕩或收斂于一個新的有限平衡點，則稱系統(tǒng)是在李雅普諾夫穩(wěn)定性意義下臨界穩(wěn)定的。3.3.1穩(wěn)定性的基本概念（續(xù)）自動控制原理50線性系統(tǒng)穩(wěn)定的數(shù)學條件：設系統(tǒng)原平衡點為c0(t)=0?，F(xiàn)在加入擾動輸入n(t)=δ(t)，即N(s)=1。擾動引起的輸出c(t)=cn(t)=g(t),C(s)=Cn(s)=L-1[g(t)]。設擾動輸入引起系統(tǒng)輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)為輸出的拉普拉斯變換為3.3.1穩(wěn)定性的基本概念（續(xù)）Aj、Bj和Cj由系統(tǒng)結(jié)構參數(shù)決定。自動控制原理51線性系統(tǒng)穩(wěn)定的數(shù)學條件（續(xù)）(1)若-lj<0，-sj<0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但由于存在復數(shù)根(w

j≠0)，系統(tǒng)響應為衰減振蕩；(2)若-lj<0，-sj<0，且w

j=0，則系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的，系統(tǒng)響應按指數(shù)規(guī)律衰減；(3)若-lj或-sj只要有一個是正數(shù),t→∞時,系統(tǒng)響應發(fā)散,不穩(wěn)定；(4)只要-sj中有一個為零（即虛根），當t→∞時，系統(tǒng)不能恢復到原平衡狀態(tài)，其輸出為等幅振蕩，這時稱系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)（不穩(wěn)定）。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：

系統(tǒng)特征方程式的根全部具有負實部。或說閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點全部具有負實部（位于左半s平面）。自動控制原理52(1)系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判別設系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為式中所有系數(shù)均為實數(shù)，且a0>0，則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是上述特征方程的所有系數(shù)均為正數(shù)，即ai>0(i=0,1,2,…,n)。3.3.2勞斯判據(jù)(2)勞斯穩(wěn)定判據(jù)1)要求a0>0。2)穩(wěn)定的充分條件：勞斯陣列中第一列所有項>0

。自動控制原理53

一直計算到最后一行算完為止。然后判斷陣列中第一列系數(shù)的符號，若全部大于0,則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)，就為特征方程在右半s平面根的個數(shù)。構造勞斯陣列表自動控制原理54例3-3系統(tǒng)特征方程式為

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：由系統(tǒng)特征方程所有系數(shù)均為正實數(shù)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件,列表得勞斯陣列第一列沒改變符號，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。s412415s38320s2s1s0事實上，上式可化簡為特征根為-1，-3，-2+j，都具有負的實部,系統(tǒng)穩(wěn)定。201526015自動控制原理55

例3-4

已知系統(tǒng)特征方程式為

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由系統(tǒng)特征方程,滿足必要條件,列表得s5125

s4316

s359

（各系數(shù)均已乘3)

s2

-1115

（各系數(shù)均已乘5/2）

s1174

（各系數(shù)均已乘11）

勞斯陣列表第一列有負數(shù)，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由于第一列數(shù)的符號改變了兩次(5→－11→174），所以，系統(tǒng)特征方程有兩個正實根。

自動控制原理56勞斯判據(jù)的兩種特殊情況：1、某一行第一個元素為零，而其余各元素均不為零、或部分不為零；

Thereisazero

in

the

firstcolumn,butsomeotherelementsof

therowcontainingthezerointhefirstcolumnarenonzero.

2、某一行所有元素均為零。Thereisazerointhefirstcolumn,andtheotherelementsoftherowcontainingthezeroarealsozero.自動控制原理571、某一行第一個元素為零試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

例3-5

：011

第一列系數(shù)符號改變兩次，系統(tǒng)有兩個右根，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。replacethiszerowithasmallpositivenumber,ε,自動控制原理582、某一行所有元素均為零

系統(tǒng)必然存在關于坐標原點為對稱的根。即存在等值反號的實根、共軛虛根或偶數(shù)對共軛復根。系統(tǒng)必然非漸進穩(wěn)定。[S][S]顯然，這些根的數(shù)目一定是偶數(shù)。由該行的上一行元素來解決：（1）構成輔助多項式，并求導，用其系數(shù)代替全為零的行；（2）構成輔助方程，并解出這些大小相等但位置徑向相反的特征根。自動控制原理59

例3-6系統(tǒng)特征方程為

解

勞斯陣列表為

s3

14s2

1040s1

s0從上表第一列可以看出，各數(shù)均未變號，所以沒有特征根位于右半平面,即系統(tǒng)穩(wěn)定。由輔助方程式10s2+40=0知道有一對共軛虛根為±j2。

0020040↓求導數(shù)輔助多項式10s2+40構成新行20s+0自動控制原理60

例3-7特征方程式為

s

5124-25

s

4248-50

s

3

s

2

s

1

s

0

解勞斯陣列表如下：00輔助多項式2s4＋48s2－50＝096824-50338/3-50構成新行8s3＋96s＝0得:s1,2=±1;s3,4=±j5。它們均對原點對稱，其中一個根在S平面右半平面。勞斯陣列表第一列變號一次，故有一個根在右半平面。由輔助方程式自動控制原理613.

勞斯判據(jù)的應用

應用勞斯判據(jù)不僅可以判別系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，也可檢驗系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。通過求解系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界參數(shù)，分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響。

令

即把虛軸左移s1，得以z為變量的新的特征方程式，然后再檢驗新特征方程式有幾個根位于新虛軸(垂直線s=-s1)的右邊。如果所有根均在新虛軸的左邊（新勞斯陣列式第一列均為正數(shù)），則說系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量s1。穩(wěn)定裕量s1

(1)穩(wěn)定裕量的檢驗自動控制原理62例3-7檢驗特征方程式

檢驗有幾個根在垂直線s=-１的右邊。

解令s=z-1，代入特征方程式，得新的勞斯陣列表為z

312z

2512z

1-2/5z

012從上表中可看出，第一列符號改變2次，故有二個根在垂直線s=-1（即新座標虛軸）的右邊，因此穩(wěn)定裕量達不到1。自動控制原理63(2)

分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響

系統(tǒng)的特征方程式為s3

150s2

15

50Ks1

s0

若要使系統(tǒng)穩(wěn)定，其充分條件是勞斯陣列表的第一列均為正數(shù)，即K>0和15-

K>0，所以

0<K<15

其穩(wěn)定的臨界值為15。單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為50K列寫勞斯陣列表為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)的K值有一定限制。但為了降低穩(wěn)態(tài)誤差，有時則要求較大的K值，兩者是矛盾的。為了滿足這兩方面的要求，可采取校正的方法來處理。

自動控制原理64例3-8

某反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，K與T之間的關系。

解由上式得系統(tǒng)的特征方程式為s

32T

（K+1）s

2

T+2Ks1s0K

勞斯陣列表為要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須滿足K>0、T>0及>0則系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為K>0、0<T<自動控制原理653.3.3赫爾維茨判據(jù)

穩(wěn)定的必要和充分條件是a0>0的情況下，赫爾維茨行列式對角線上所有子行列式Δi(i=1，2，…,n)均大于零。赫爾維茨行列式由特征方程的系數(shù)按下述規(guī)則構成：主對角線上為特征方程式自a0寫至an的系數(shù)，每行以主對角線上系數(shù)為準，若向左系數(shù)注腳號碼依次下降，向右系數(shù)注腳號碼則依次上升。注腳號碼若大于n或小于零時，此系數(shù)為零。

自動控制原理66

例3-9

設系統(tǒng)特征方程式為試用赫爾維茨判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解從特征方程式看出所有系數(shù)為正數(shù)，滿足穩(wěn)定的必要條件。計算赫爾維茨行列式

所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。自動控制原理673.4穩(wěn)態(tài)誤差分析

在穩(wěn)定的基礎上，不僅要求系統(tǒng)具有較快的動態(tài)響應速度，還應具有令人滿意的穩(wěn)態(tài)控制精度。

穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度的度量，它體現(xiàn)了系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)時，實際輸出與希望輸出之間的偏差。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差既與系統(tǒng)的結(jié)構、參數(shù)有關，又受到外輸入信號作用的影響，同時，系統(tǒng)靜特性不穩(wěn)定和參數(shù)變化等因素也會導致系統(tǒng)產(chǎn)生一定的穩(wěn)態(tài)誤差。自動控制原理68

對于單位反饋系統(tǒng)，即H(s)=1，有E’(s)=E(s)，所以E(s)可以反映E’(s)，且便于測量。定義在輸入端的誤差：定義在輸出端的誤差：兩種誤差之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系3.4.1穩(wěn)態(tài)誤差的概念

自動控制原理69

誤差時域表達式為e(t)

=r(t)－b(t)，令t→∞時，得穩(wěn)態(tài)誤差

或

穩(wěn)態(tài)誤差ess可以用求s→0時sE(s)的極限替代，通常E(s)的解析表達式比e(t)的解析表達式更容易得到。3.4.2穩(wěn)態(tài)誤差的計算

誤差的拉普拉斯變換為其中，Gk(s)=G1(s)G2(s)H(s)

系統(tǒng)誤差不僅與系統(tǒng)的結(jié)構、參數(shù)有關，還決定于輸入信號的形式及作用點。在參考輸入和擾動輸入共同作用下，系統(tǒng)的誤差包括參考輸入引起的誤差和擾動輸入引起的誤差。自動控制原理70（1）參考輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差N(s)=0時，如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則所以，取決于系統(tǒng)結(jié)構參數(shù)和輸入信號。

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般可以表示為自動控制原理71

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般可以表示為式中，N為開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)，K為開環(huán)增益。系統(tǒng)常按其開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)量分類：Thenumberofintegrationsiscalledtypenumberofsystem

當N=0時，稱為0型系統(tǒng)Type0system，或有差系統(tǒng)；

當N=1時，稱為Ⅰ型系統(tǒng)TypeⅠsystem

，或一階無差系統(tǒng)型；當N=2時，稱為Ⅱ型系統(tǒng)TypeⅡsystem

，或二階無差系統(tǒng)型；

增加型號數(shù)可使精度提高，但對穩(wěn)定性不利，一般N≤2。自動控制原理721)階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差r(t)=A﹒1(t)（A為階躍函數(shù)的幅值）靜態(tài)位置誤差系數(shù)對于0型系統(tǒng)，對于Ⅰ型及Ⅰ型以上系統(tǒng)，典型輸入信號作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差自動控制原理73

2)斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

輸入為斜坡函數(shù)r(t)=B﹒t時，靜態(tài)速度誤差系數(shù)0型系統(tǒng)Ⅰ型系統(tǒng)Ⅱ型及Ⅱ型以上系統(tǒng)

典型輸入信號作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差（續(xù)）自動控制原理743)拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)）輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

輸入為拋物線函數(shù)r(t)=1/2C﹒t2時，

加速度誤差系數(shù)

對于0型系統(tǒng)，

對于Ⅰ型系統(tǒng)，

對于Ⅱ型系統(tǒng)，

對于Ⅱ型以上系統(tǒng)，

典型輸入信號作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差（續(xù)）自動控制原理75解系統(tǒng)(a)為I型系統(tǒng)，其Ka=0，不能緊跟r(t)的3t2分量，所以

自動控制原理76例3-10兩個系統(tǒng)如圖，當參考輸入r(t)=4＋6t＋3t2時，試分別求出兩個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)(b)為II型系統(tǒng)，其Ka=K=10/4，所以

(a)Ⅰ型系統(tǒng)(b)Ⅱ型系統(tǒng)自動控制原理77例3-11系統(tǒng)如圖，設

，且誤差定義為試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：由G(s)可以看出：v=1，K=1。穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)可以無誤差地的跟蹤階躍輸入，而跟蹤斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為常值V0/K。則系統(tǒng)在作用下的總誤差為自動控制原理78

（2）主擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差

在擾動信號的作用下系統(tǒng)產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差:R(s)=0時，系統(tǒng)誤差表達式為

單位階躍函數(shù)n(t)=1(t)輸入時在擾動作用點以前的系統(tǒng)前向通道G1(s)的靜態(tài)放大系數(shù)愈大，則由擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差就愈小。對于無差系統(tǒng)，N≥１，G1(0)=∞，擾動不影響穩(wěn)態(tài)響應，由此產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差為零。自動控制原理79階躍輸入作用下的位置誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差綜上：n(t)作用與r(t)作用相比，誤差規(guī)律不同。

隨動系統(tǒng)舉例自動控制原理80

令擾動作用點之前的系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)為擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差為了降低或消除主擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可以采用增大擾動作用點之前前向通道的放大系數(shù)或在擾動作用點之前引入積分環(huán)節(jié)的辦法來實現(xiàn)。隨動系統(tǒng)舉例（續(xù)）自動控制原理81（3）系統(tǒng)靜特性變化引起的誤差

由于環(huán)境條件改變，元件發(fā)熱、摩損、老化、特性漂移等各種原因引起的系統(tǒng)參數(shù)或靜特性的變化，都將導致輸出變化，從而產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。這些系統(tǒng)內(nèi)部的變化（系統(tǒng)的內(nèi)部擾動）所引起的穩(wěn)態(tài)誤差，有時很嚴重，尤其是在要求的較高場合，必須考慮這種誤差。

假定參考輸入一定，那么圖示的非單位反饋系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時有G(0)和H(0)變化時，有自動控制原理82所以：

1)反饋系數(shù)變化或不準確，將使系統(tǒng)輸出發(fā)生同樣大?。ㄏ鄬χ担┑淖兓蛘`差，所以為使系統(tǒng)具有一定的精度，檢測元件或反饋通道環(huán)節(jié)應該準確恒定；

2)前向通道環(huán)節(jié)發(fā)生變化而引起的誤差，差不多是與G(0)H(0)成反比的，由于G(0)H(0)較大，故G(0)變化對系統(tǒng)輸出影響不大，對它的準確度和恒定性的要求可以大大降低，這正是負反饋系統(tǒng)的特點。（3）系統(tǒng)靜特性變化引起的誤差（續(xù)）

自動控制原理83

3.4.3降低穩(wěn)態(tài)誤差的主要措施

降低穩(wěn)態(tài)誤差的措施有：

(1)保證元件有一定的精度和性能穩(wěn)定性，尤其是反饋通道元件。有時還應考慮實際的環(huán)境條件，采取必要的誤差補償?shù)却胧?/p>

(2)在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性要求的前提下，增大系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)或增加前向通道中積分環(huán)節(jié)數(shù)目，保證對參考輸入的跟隨能力；增大擾動作用點之前的前向通道放大系數(shù)或增加擾動作用點之前的前向通道的積分環(huán)節(jié)數(shù)，以降低擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差。

(3)增加前向通道中積分環(huán)節(jié)數(shù)改變了閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點，會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能。所以必須同時對系統(tǒng)進行校正。如果作用于系統(tǒng)的主要干擾可以測量時，可以采用復合控制來降低系統(tǒng)誤差，或消除擾動影響。自動控制原理84

下圖表示了一個按輸入反饋——按擾動順饋的復合控制系統(tǒng)。G(s)為被控對象傳遞函數(shù)，Gc(s)為控制器傳遞函數(shù)，Gn(s)為干擾通道的傳遞函數(shù)，GN(s)為順饋控制器的傳遞函數(shù)。如果擾動量可以測量，且Gn(s)是已知的，則可通過適當選擇GN(s)，消除擾動所引起的誤差。采用復合控制降低誤差C(s)對N(s)的傳遞函數(shù)為，令，所以選擇自動控制原理85

由于順饋控制是開環(huán)控制，精度受限，且對參考輸入引起的響應沒有作用。所以為了滿足系統(tǒng)對參考輸入響應的要求，以及為了消除或降低其它擾動的影響，在復合控制系統(tǒng)中還需借助反饋和適當選取Gc(s)來滿足要求。

為了提高系統(tǒng)對參考輸入的跟綜能力，也可按參考輸入順饋來消除或降低誤差。令，所以選擇。采用復合控制降低誤差（續(xù)）自動控制原理86例3-12系統(tǒng)如圖設K1、K2、T1、T2、均為已知正值。當輸入量r(t)=t2/2時，要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，試確定參數(shù)a和b。解閉環(huán)特征方程如果系統(tǒng)穩(wěn)定且與待求參數(shù)a，b無關自動控制原理87合理的選擇順饋控制環(huán)節(jié)的參數(shù)滿足欲使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零則待定參數(shù)為3.5應用MATLAB進行控制系統(tǒng)時域分析1.二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應及性能指標計算例

已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為用MATLAB求其單位脈沖響應和單位階躍響應，繪制出響應曲線，并對單位階躍響應求其性能指標。自動控制原理88解%MATLAB程序3-2num=[4];den=[122];[num1,den1]=feedback(num,den,1,1,-1);sys=tf(num1,den1);%求出閉環(huán)傳遞函數(shù)T=0.01;%定義采樣周期t=0:T:10;%定義求解時間deltu=4/(10/(4*T));[y1,t]=impulse(sys,t);%y1脈沖響應[y2,t]=step(sys,t);%y2為階躍響應fv=dcgain(sys);%fv是階躍響應的穩(wěn)態(tài)值

tr=1;whiley2(tr)<fv+0.001;tr=tr+1;end;%找到第一次超出穩(wěn)態(tài)值的點rise_time=(tr-1)*