非線性大系統(tǒng)的弱能觀性

非線性大系統(tǒng)的弱能觀性

1glinl考慮到以下非線性系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)：。˙xl=fl(xl,?,xΝ)+ml∑i=1gli(x1,?,xΝ)uli[JX*4]?[JX-*4]l=1,?,Ν[JX*4]?[JX-*4]ylj=hlj(x1,?,xΝ)[JX*4]?[JX-*4]j=1,2?,rl[JX*4]?[JX-*4]}(1)x˙l=fl(xl,?,xN)+∑i=1mlgli(x1,?,xN)uli[JX*4]?[JX?*4]l=1,?,N[JX*4]?[JX?*4]ylj=hlj(x1,?,xN)[JX*4]?[JX?*4]j=1,2?,rl[JX*4]?[JX?*4]?????????????(1)其中,xl∈Rnl,ul=(ul1,?,ulml)∈Rml,Ν∑l=1nl=n,Ν∑l=1rl=r,fl∶Rn→Rnl,gli∶Rn→Rnl是Rn上的光滑向量函數(shù)·系統(tǒng)(1)可以寫成如下緊湊形式:˙x=Ν∑l=1Fl(x)+Ν∑l=1ml∑i=1Gli(x)uli,ylj=hlj(xl,?,xΝ)[JX*4]?[JX-*4]j=1,?,rl[JX*4]?[JX-*4]}(2)其中,Gli,Fl都是Rn上的光滑向量場:Gli=col(0,?,0,(gli)Τ,0,?,0),Fl=col(0,?,0,(fl)Τ,0,?,0)[JX*4]?[JX-*4]定義1給定非線性大系統(tǒng)(1)及兩點(diǎn)x1,x2∈M,M為大系統(tǒng)(1)·如果對任何容許控制u(t)=(u1,…,uN),系統(tǒng)(1)對初值x(0)=x1和x(0)=x2給出的輸出y1(t)和y2(t)完全一樣,則稱x1,x2是不可區(qū)分的·M中與給定點(diǎn)x0不可區(qū)分的點(diǎn)的集合記作ID(x0)·定義2對系統(tǒng)(1),如果一點(diǎn)x0∈M的不可區(qū)分點(diǎn)集只包含它自己,即ΙD(x0)={x0},則稱大系統(tǒng)(1)在x0可觀測·如果系統(tǒng)(1)在M的每一點(diǎn)均可觀測,則稱該系統(tǒng)可觀測·定義3設(shè)x0∈M為一點(diǎn),M為大系統(tǒng)(1)·如果對x0的任意一個(gè)鄰域V,與x0在V內(nèi)不可區(qū)分點(diǎn)集只包含它自己,即ΙDV(x0)={x0},則稱大系統(tǒng)(1)在x0局部能觀測,如果系統(tǒng)(1)在M的每一點(diǎn)均局部能觀測,則稱該系統(tǒng)局部能觀測·定義4對系統(tǒng)(1),如果在一點(diǎn)x0∈M,存在一個(gè)鄰域U,IDV(x0)={x0}對的任意一個(gè)包含在U內(nèi)的鄰域V都成立,則稱系統(tǒng)在x0點(diǎn)局部弱能觀測·如果系統(tǒng)(1)在M的每一點(diǎn)均局部弱能觀測,則稱該系統(tǒng)局部弱能觀測·本文試圖找出大系統(tǒng)(2)的弱能觀性與各子系統(tǒng)(1)的弱能觀性的關(guān)系·2主要結(jié)果定理非線性大系統(tǒng)(2)弱能觀測的充要條件是各子系統(tǒng)(1)弱能觀測·證明(1)般法上的2.11.21.2113.設(shè)各子系統(tǒng)˙xl=fl(x1,?,xΝ)+ml∑i=1gli(x1,?,xΝ)uli;ylj=hlj(x1,?,xΝ),l=1,?,Ν[JX*4]?[JX-*4]在xl0點(diǎn)弱能觀測,Ηl={p∑i=1λiLXi1LXi2,?,LXisi(hlj)|p＜∞,λi∈R1,Xi1,?,Xisi∈ˉFl,si＜∞}[JX*4]?[JX-*4]這里,ˉFl={fl(x,u)|u=const}=sp{fl,gl1,?,glml}[JX*4]?[JX-*4]H?l={dc|c∈Ηl},則有dim?H?l?=nl[JX*4]?[JX-*4]對非線性大系統(tǒng)(2),Η={p∑i=1λiLXi1LXi2,?,LXisi(hlj)|p＜∞,λi∈R1,Xi1,?,Xisi∈F,l=1,?,Ν[JX*4]?[JX-*4]si＜∞},H={dc|c∈Η}[JX*4]?[JX-*4]其中,F=sp{F1,…,FN,G11,…,G1ml,…,GN1,…,GNmN}·而Ηl?Η,l=1,?,Ν[JX*4]?[JX-*4]設(shè)dcl1,…,dclnl∈H?l?為H?l?中的一組線性無關(guān)的向量,l=1,…,N·則dc11,…,dc1n1,…,dcN1,…,dcNnN∈H為H中的一組線性無關(guān)的向量·可證明如下:設(shè)k11dc11+…+k1n1dc1n1+…+kN1dcN1+…+kNnNdcNnN=0,因dcli=ali1(x)dxl1+ali2(x)dxl2+…+alinl(x)dxlnl,i=1,…,nl·不同的l有不同的dxli,所以kl1dcl1+?+klnldclnl=0,l=1,?,Ν[JX*4]?[JX-*4]再由dcl1,…,dclnl線性無關(guān),可知kl1=?=klnl=0,l=1,?,Ν[JX*4]?[JX-*4]即所有的kli皆為零·由此,在H中存在一組函數(shù)c11,?,c1n1,?,cΝ1,?,cΝnΝ,dc11,…,dc1n1,…,dcN1,…,dcNnN?線性無關(guān)·在x0的鄰域U上定義映射P:U→Rn如下:Ρ(x)=(c11(x),?,c1n1(x),?,cΝ1(x),?,cΝnΝ(x)),則在足夠小的U上,P是一個(gè)局部微分同胚·因此對U上任何一點(diǎn)x≠x0至少有一個(gè)cki(x)使得cki(x)≠cki(x0)[JX*4]?[JX-*4]不失一般性,可設(shè)cki(x)=LXs,LXs-1?LX1hlj(x)∈Η[JX*4]?[JX-*4]這里,X1,X2,…,Xs∈F·那么,由文獻(xiàn)引理2.23的證明方法可證,在任意小的ti>0上,?X1t1??X2t2????Xsts(x)≠?X1t1??X2t2????Xsts(x0)[JX*4]?[JX-*4]因此x?ΙDU(x0)[JX*4]?[JX-*4]這說明系統(tǒng)在x0點(diǎn)局部弱能觀測·(2)必要時(shí)設(shè)大系統(tǒng)(2)在x0點(diǎn)局部弱能觀測,則子系統(tǒng)(1)在xl0點(diǎn)當(dāng)然