浙江省紹興市上虞區(qū)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期競(jìng)賽數(shù)學(xué)試題A組

2020年上虞區(qū)高二競(jìng)賽數(shù)學(xué)試卷（A卷）一、填空題（每小題5分，共60分）1.實(shí)數(shù)滿足，則_________.【答案】2或4【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)計(jì)算公式，將題中的對(duì)數(shù)都換算為以2為底的對(duì)數(shù)，再用換元法解方程即可得出答案.【詳解】由得令,則,解得或所以或故答案為：2或4.2.已知點(diǎn)，，則直線的傾斜角________．【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)斜率公式表示出斜率，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，然后由斜率與傾斜角的關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以直線的斜率為，所以，因?yàn)?，所以，故答案為?3.已知向量滿足，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，設(shè)向量，得到，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得，即可求解.【詳解】由向量滿足，設(shè)，則，設(shè)向量，其中，聯(lián)立方程組，解得，可得，因?yàn)椋傻?，所以，可得所以的取值范圍?故答案為：.4.已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知式子，由正弦值得到的值.【詳解】由已知，由正弦定理得又，∴，整理得，又，則，∴，即，于是，∴.又，∴，∴，.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及輔助角公式的應(yīng)用，解決這類問題的關(guān)鍵在于對(duì)公式的熟練掌握以及靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.5.已知各項(xiàng)均為整數(shù)的等差數(shù)列，若，，，則的最小值是________．【答案】7【解析】【分析】設(shè)公差為，由題意可得，都是正整數(shù)，將用表示，求出的最大值即可得解.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)椋?，，所有，，所以，所以，，所以，又因?yàn)榈母黜?xiàng)均為整數(shù)，所以為整數(shù)，則，因?yàn)槎际钦麛?shù)，所以為和的最大公約數(shù)，所以.故答案為：.6.已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有，則不等式的解集是________.【答案】【解析】【分析】由題意可知，存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則，可得出，利用函數(shù)單調(diào)性求出的值，令，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得出不等式的解集.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，又因?yàn)椋瑒t，則，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)、均為上的增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，故，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，設(shè)，其中，則函數(shù)在上為增函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，由可得，則，當(dāng)時(shí)，，，則恒成立，所以，不等式的解集為.故答案為：.7.已知圓，，過平面內(nèi)點(diǎn)有無數(shù)多對(duì)互相垂直的直線、，它們分別與圓、圓相交，且被圓、圓截得的弦長(zhǎng)相等.則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【答案】和【解析】【詳解】設(shè)，直線、的方程分別為，，即，.易得圓心到的距離與圓心到的距離相等.則，即.此等式對(duì)無數(shù)多個(gè)成立，故，或，即得；.故和.8.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【詳解】分析：應(yīng)用換元法，令，，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為在恒成立，確定關(guān)系式，即可求得答案.詳解：函數(shù)對(duì)稱軸，最小值令，則恒成立，即在上.，在單調(diào)遞增，，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為.點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題、不等式恒成立問題以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，考查了復(fù)合函數(shù)問題求解的換元法．9.設(shè)正數(shù)滿足，則的最小值是________.【答案】【解析】【分析】將1代換為，整理得，應(yīng)用基本不等式即可求解.【詳解】由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，則的最小值是.故答案為：10.已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】或【解析】【分析】設(shè)線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法得到，結(jié)合得到，聯(lián)立得，根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部列不等式求解即可.【詳解】設(shè)，，是線段的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，則，兩式相減得.因?yàn)?，，所?因?yàn)椋?，故，?lián)立，解得，所以.因?yàn)辄c(diǎn)M應(yīng)在橢圓的內(nèi)部，所以，即，解得或.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是或.故答案為：或.11.如圖，球的內(nèi)接八面體中，頂點(diǎn)分別在平面兩側(cè)，四棱錐，均為正四棱錐，設(shè)二面角的大小為，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】設(shè)球心到平面的距離為，球的半徑為1，分別求出二面角、的正切值，利用兩角和的正切值公式求得關(guān)于d的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)d的取值范圍求得的取值范圍.【詳解】設(shè)與平面的交點(diǎn)為E,且為正方形的中心，取中點(diǎn)為M,連接則，如圖所示.設(shè)二面角的大小為，二面角的大小為，則，，設(shè)球心到平面的距離為，球的半徑為1，則，，.故答案為：12.已知函數(shù)（），則函數(shù)的最大值為_________.【答案】【解析】【分析】由題意得，根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)橐驗(yàn)椋?，所以，即根?jù)基本不等式取等條件得，當(dāng)時(shí)取最大值，即,即，解得，所以，即的最大值為．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題將與看做兩個(gè)變量，利用基本不等式求解，根據(jù)等號(hào)成立的條件與輔助角公式建立等式求得，即可求得函數(shù)的最大值.二、解答題（每題15分，共60分）13.在多面體中，，，，，，平面平面．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）連接，通過和證明平面，即得，再由得；（2）過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，連接，根據(jù)等體積法求出點(diǎn)B到平面DCE的距離，即可求出直線與平面所成角的正弦值．【詳解】解：（1）連接，在中，，則，所以，，即，，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由，，，且，平面，所以有平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，所以．?）過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，連接，∵，，∴，由，可得：，，∵，，∴，∵平面平面，面面，，∴面，又∵平面，∴，∴，∴，∴，由（1）可知，，∴，即，由（1）可知，平面，所以，∴，∵，∴，∴，即，可知，，，，由等體積：，所以，，則，解得，設(shè)直線與平面所成角為，則．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第一問考查線線垂直的證明，解題的關(guān)鍵是利用線面垂直的性質(zhì)證明；第二問考查線面角的求法，解題的關(guān)鍵是通過等體積法求出點(diǎn)B到平面DCE的距離，再由求出.14.已知函數(shù)，其中為常數(shù)．（1）判斷的奇偶性，并說明理由；（2）若在上存在個(gè)不同的點(diǎn)（），滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)，時(shí)為非奇非偶函數(shù)，理由見解析（2）或【解析】【分析】（1）對(duì)參數(shù)是否為零進(jìn)行分類討論，利用奇偶性定義判斷即可得出結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用區(qū)間對(duì)的范圍進(jìn)行分類討論，去絕對(duì)值后利用函數(shù)單調(diào)性即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，?dāng)時(shí)，易知且，則為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，不是奇函數(shù)，且，，所以，所以也不偶函數(shù)．故是非奇非偶函數(shù)．【小問2詳解】記，則，因此，等價(jià)于，①當(dāng)時(shí)，遞增，于是，所以，得；②當(dāng)時(shí)，（），則遞增，因此，得；③當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增，故，且，易知，則，但是，故舍去；④當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，易知，則，注意到左邊顯然小于，舍去；故取值范圍是或．15.已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，如圖，用表示橢圓在點(diǎn)處切線的單位向量．（1）設(shè)，求的最大值；（2）是否存在定圓，使得圓的任一切線與的交點(diǎn)滿足，若存在，求出圓方程，若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】15.116.存在，【解析】【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求切線方程，表示出，由基本不等式求最大值.（2）設(shè)出圓的方程，表示出切線，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理續(xù)結(jié)合，列算式化簡(jiǎn)求值.【小問1詳解】，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，有，則點(diǎn)處切線斜率，切線方程為，即：，它的一個(gè)方向向量為，所以，從而，所以（）．設(shè)（），則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以的最大值為1；【小問2詳解】假設(shè)存在圓滿足題意，當(dāng)圓的切線存在斜率時(shí)，設(shè)，，由于與相切，則，即．代入橢圓方程得，則，于是，因?yàn)?，則，則，于是，化簡(jiǎn)得，滿足，所以，即圓，當(dāng)該圓切線斜率不存在時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，也滿足，故存在．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．16.已知數(shù)列滿足，．（1）若是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且對(duì)任意大于的正整數(shù)，恒有，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先由必要性即是遞增數(shù)列得出的范圍，反過來去證明充分性即滿足是遞增數(shù)列.（2）首先由已知條件得出，然后利用極限的夾逼性質(zhì)得出，從而即可得出，進(jìn)一步即可得解.【小問1詳解】由知，首先有，則，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，的解集為，其次當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，則，于是；以此類推，不妨設(shè)，，