四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校高三上學(xué)期一診考試?yán)砜茢?shù)學(xué)模擬試題

南溪一中高2021級(jí)高三一診模擬（2）考試試題理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合、，利用并集的定義可求得集合.【詳解】由，，故.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】由，則.故選：B.3.若實(shí)數(shù)a使得“，”為真命題，實(shí)數(shù)a使得“，”為真命題，則q是p的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)方程有解和恒成立分別解出，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】對(duì)于：，，所以，對(duì)于：，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以q是p的充分不必要條件，故選：A4.函數(shù)的圖象可能是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的符號(hào)分析判斷.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B，D都不正確；對(duì)于C，時(shí)，，，所以，所以，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)A，符合函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也符合時(shí)，，故A正確．故選：A.5.若函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先，對(duì)勾函數(shù)和都是遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)取值要大于或等于指數(shù)式的值，再求交集即可實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)取值要大于或等于指數(shù)式的值，所以，解之得：，綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：B6.已知正實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最大值為2，則定值是（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式可得.【詳解】因?yàn)閙，n為正實(shí)數(shù)，且的最大值為2，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；故選：A7.已知是定義在上的偶函數(shù)且在上為增函數(shù)，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇偶性和單調(diào)性確定在上單調(diào)遞減，計(jì)算，得到答案.【詳解】是定義在上的偶函數(shù)且在上為增函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，，，，即，故.故選：C8.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對(duì)稱軸，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，且直線與為相鄰的兩條對(duì)稱軸，所以，即，且，，又時(shí)取得最小值，即，所以，解得，.故選：A.9.現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會(huì)跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，事件“甲參加跳高比賽”，事件“乙參加跳高比賽”，事件“乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，則（）A.事件A與B相互獨(dú)立 B.事件A與C為互斥事件C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件求出，由互斥事件的定義、相互獨(dú)立事件的判定和條件概率公式進(jìn)行逐一判斷即可【詳解】對(duì)于A，每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，則有不同的安排方法，事件“甲參加跳高比賽”，若跳高比賽安排2人，則有種方法；若跳高比賽安排1人，則有種方法，所以安排甲參加跳高比賽的不同安排方法共有種，則，同理，若安排甲、乙同時(shí)參加跳高比賽，則跳高比賽安排2人為甲和乙，跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽各安排1人，有種不同的安排方法，所以，因?yàn)?，事件A與B不相互獨(dú)立故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在一次試驗(yàn)中，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件，事件A與C可以同時(shí)發(fā)生，故事件A與C不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在安排甲參加跳高比賽的同時(shí)安排乙參加跳遠(yuǎn)比賽的不同安排方法有種，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：C10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式分析可知是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，可知是以首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，即，解得，所以.故選：D.11.已知正四面體的外接球的體積為，則該正四面體的棱長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】確定外接球半徑為，將正四面體放入正方體中，計(jì)算正方體邊長(zhǎng)為，正四面體的棱長(zhǎng)為，得到答案.【詳解】設(shè)外接球半徑為，則，解得，將正四面體放入正方體中，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，如圖所示：則，，正四面體棱長(zhǎng)為.故選：C.12.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性可證，構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性可證，可得；構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性可證，從而得解.【詳解】解：記則，所以在單調(diào)遞增，故，記，則，令，解得，故在上單調(diào)遞減，故，即，即，故，記，則，故當(dāng)時(shí)，，故在上是增函數(shù)，故，即，故，故.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查構(gòu)造函數(shù)，并利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小.首先構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性可證，再構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性可證，可得；又構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性可證，可得，從而問題得解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的系數(shù)是______.【答案】【解析】【分析】直接用二項(xiàng)式定理求解即可.【詳解】，所以的系數(shù)為.故答案為：.14.已知隨機(jī)變量，其中，則___________.【答案】【解析】【分析】由服從的分布類型可直接求出，，從而求出，再根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，且，又因?yàn)?，所以，所?故答案為：0.2.15.若函數(shù)在存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】將題意轉(zhuǎn)化為：在有解，利用參變量分離得到，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可．【詳解】，等價(jià)于在有解，即在有解，即在有解，所以，令，則，即在上是增函數(shù)，∴，所以.故答案為：.16.已知函數(shù)，則不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】令，分析函數(shù)的定義域、奇偶性與單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】設(shè)，則函數(shù)定義域?yàn)椋驗(yàn)?，故函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)、、、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，由可得，可得，所以，，即，解?因此，不等式的解集為.故答案為：.三?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列各項(xiàng)都不為，前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列和通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】（1）;;（2）【解析】【分析】(1)利用即可求，再根據(jù)累加法，即可求解.(2)利用錯(cuò)位相減法即可求解.【小問1詳解】由，可得，兩式相減得，整理得，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都不為，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．令，則，解得，故．由題知，所以【小問2詳解】由（1）得，所以，，兩式相減得，所以．18.書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日．某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查了位年輕人，對(duì)這些人每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這位年輕人每天閱讀時(shí)間的平均數(shù)（單位：分鐘）；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）（2）若年輕人每天閱讀時(shí)間近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求；（3）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于分組，，的年輕人中抽取10人，再?gòu)闹腥芜x3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到每天閱讀時(shí)間位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③．【答案】（1）（2）（3）分布列見解析；期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖以及平均數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算即可；（2）依據(jù)，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算即可；（3）先由題意得到隨機(jī)變量的取值，并分別計(jì)算相應(yīng)的概率，然后列出分布列，并按期望公式計(jì)算即可.【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖得：．【小問2詳解】由題意知，即，所以．【小問3詳解】由題意可知，和的頻率之比為：，故抽取的10人中，和分別為：2人，4人，4人，隨機(jī)變量的取值可以為，，，，，故的分布列為：0123所以.19.如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．（1）證明：平面；（2）若，，在線段上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在；是上靠近的三等分點(diǎn)【解析】【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，由此證明，再證明，根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，利用向量夾角公式求法向量夾角，由條件列方程確定點(diǎn)的位置；【小問1詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面．【小?詳解】假設(shè)在線段上（不含端點(diǎn)），存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，以為原點(diǎn)，分別以、為軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，即取，，，所以為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)樵诰€段上（不含端點(diǎn)），所以可設(shè)，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，即，取，，，所以為平面的一個(gè)法向量，，又，由已知可得解得或（舍去），所以，存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，此時(shí)是上靠近的三等分點(diǎn)．20.過原點(diǎn)O的直線交橢圓E：（）于A，B兩點(diǎn)，，面積的最大值為.（1）求橢圓E的方程；（2）連AR交橢圓于另一個(gè)交點(diǎn)C，又（），分別記PA，PR，PC的斜率為，，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，即得到，從而得到橢圓的方程為.（2）設(shè)的方程為，，與橢圓聯(lián)立得到，根據(jù)題意得到，，再計(jì)算的值即可.【小問1詳解】由題知：，所以，故橢圓的方程為.【小問2詳解】如圖所示：設(shè)的方程為，，由，，，，設(shè)，則，，21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)a，b滿足，求證：；（3）若，求證：.【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性；（2）由函數(shù)的單調(diào)性求其值域，從而不妨設(shè)，從而將證明轉(zhuǎn)化為證明，方法一：設(shè)，，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而得值域，求得恒成立，得證；方法二：由，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)可知在單調(diào)遞增，從而得證；方法三：（比值代換）由對(duì)稱性，不妨設(shè)，，欲證，即證，由方法二可得證；方法四：由得，由方法二得，所以，得證；（3）由（2）知，由，可知，分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可證.【小問1詳解】函數(shù)的定義域是.由，得在上單調(diào)遞減；由，得在上單調(diào)遞增，綜上知，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）得在的值域?yàn)?，在上值域?yàn)?注意到，.不妨設(shè)，則欲證，即證.由于由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞增，故只需證，由已知，即證，也即，方法一：令，.，由，在單調(diào)遞增，得單調(diào)遞增，且.由于，故滿足.由單調(diào)遞增知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，值域?yàn)?；設(shè)，，則，單調(diào)遞減，故，即，取，得，即綜上，得，即，得證.方法二：（重新同構(gòu)）令，即，證：，由于，從而.故要證成立，只需在單調(diào)遞增成立即可.，令，，則，在單調(diào)遞減，，，故在單調(diào)遞增成立，原命題成立.方法三：（比值代換）由對(duì)稱性，不妨設(shè)，，則由于，欲證，即證：，即證，可變?yōu)?，由證法二可知成立，從而得證；方法四：（切、割線放縮）1、由于故，即；2、由方法二知，，故，即，故，；由1、2知，故成立，原命題成立.【小問3詳解】由（2）知，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故.②當(dāng)時(shí)，由，取，得（）時(shí)，有，即.由在上單調(diào)遞增，故，綜上，得時(shí)，當(dāng)成立【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，則按做的第一題記分.[選修4—4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程]22.在直角坐