【選填重點(diǎn)題型突破】專(zhuān)題03-折線最短問(wèn)題（解析版）

【中考數(shù)學(xué)填選重點(diǎn)題型突破】專(zhuān)題三：折線最短問(wèn)題【備考指南】在中考試卷中，有一類(lèi)關(guān)于折線段的最小值問(wèn)題，此類(lèi)題因與實(shí)際生活中的最短路徑密切相關(guān)，同時(shí)在今后的生活中常常會(huì)應(yīng)用到，因此這種問(wèn)題也是中考?？嫉囊粋€(gè)問(wèn)題。這種問(wèn)題應(yīng)用到的基本數(shù)學(xué)知識(shí)是軸對(duì)稱(chēng)，兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短等，同時(shí)伴隨轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生很難熟練掌握，從而考生在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，因無(wú)法建模，而導(dǎo)致失分。解決此類(lèi)問(wèn)題有沒(méi)有一種通俗易懂的方法呢？實(shí)際上，我們只要掌握八個(gè)字，就可以建立解決此類(lèi)問(wèn)題的模型，即：找對(duì)稱(chēng)軸，化折為直。如何找對(duì)稱(chēng)軸呢？通過(guò)拐點(diǎn)所在直線，即可確定對(duì)稱(chēng)軸，再利用軸對(duì)稱(chēng)將折線由對(duì)稱(chēng)軸的同側(cè)轉(zhuǎn)化為兩側(cè)，最后通過(guò)兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短等知識(shí)將折線取直即可.【典例引領(lǐng)】例：如圖，在等邊三角形ABC中，BC邊上的高AD=6，E是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB的中點(diǎn)，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在EB+EF的最小值，則這個(gè)最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【分析】以拐點(diǎn)E所在的等邊三角形的高所在的直線為對(duì)稱(chēng)軸，可得到B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接CF，交AD于點(diǎn)E，此時(shí)CF最短，即EB+EF的值最小.【解答】解：連接CF．∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，∴AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC，∴EB=EC．當(dāng)C、F、E三點(diǎn)共線時(shí)，EF+EC=EF+BE=CF．∵等邊△ABC中，F(xiàn)是AB邊的中點(diǎn)，∴AD=CF=6，∴EF+BE的最小值為6．故選D．【解題指導(dǎo)】本題主要考查了等邊三角形的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握和運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意，最小值問(wèn)題一般需要考慮兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短等結(jié)論．變式訓(xùn)練1：如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．2+2【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線問(wèn)題，作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，連接P′Q與BD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)K，然后根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知P′Q⊥CD時(shí)，PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，∵AB=4，∠A=120°，∴點(diǎn)P′到CD的距離為4×=2，∴PK+QK的最小值為2，故選：B．【解題指導(dǎo)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)、平行線間的距離等知識(shí)，利用“化折為直”的轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練2：如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)G，點(diǎn)P是AB邊上另一動(dòng)點(diǎn)，則PD+PG的最小值為_(kāi)____．【答案】213-2【分析】作DC關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′C′，以BC中的O為圓心作半圓O，連D′O分別交AB及半圓O于P、G．將PD+PG轉(zhuǎn)化為D′G找到最小值．【解答】如圖：取點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，以BC中點(diǎn)O為圓心，OB為半徑畫(huà)半圓，連接OD′交AB于點(diǎn)P，交半圓O于點(diǎn)G，連BG，連CG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，由以上作圖可知，BG⊥EC于G，PD+PG=PD′+PG=D′G，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)PD+PG最小，∵D′C=4，OC′=6，∴D′O=42∴D′G=213-2∴PD+PG的最小值為213-2故答案為：213【解題指導(dǎo)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、直徑所對(duì)的圓周角是直角、線段和的最小值問(wèn)題等，綜合性較強(qiáng)，能靈活利用相關(guān)知識(shí)正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.通常解此類(lèi)問(wèn)題都是將線段之和轉(zhuǎn)化為固定兩點(diǎn)之間的線段和最短.【強(qiáng)化訓(xùn)練】1．如圖，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC邊的中點(diǎn)，P，M分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是（）A．6 B．33 C．26 D．4.5【答案】C【分析】如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，過(guò)點(diǎn)E′作E′M⊥AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)P，由PE+PM=PE′+PM=E′M知點(diǎn)P、M即為使PE+PM取得最小值的點(diǎn)，利用S菱形ABCD=12AC?BD=AB?E′M求得E′M【解答】解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，過(guò)點(diǎn)E′作E′M⊥AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P、M即為使PE+PM取得最小值的點(diǎn)，則有PE+PM=PE′+PM=E′M，∵四邊形ABCD是菱形，∴點(diǎn)E′在CD上，∵AC=62，BD=6，∴AB=32由S菱形ABCD=12AC?BD=AB?E′M得12×62×6=33?E′解得：E′M=26，即PE+PM的最小值是26，故選C．【解題指導(dǎo)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)——最短路徑問(wèn)題，涉及到菱形的性質(zhì)、勾股定理等，確定出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵.2．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)等于AP+EP最小值的是（）A．AB B．DE C．BD D．AF【答案】D【分析】點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′在線段CD上，得E′為CD中點(diǎn)，連接AE′，它與BD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，PA+PE的最小值就是線段AE′的長(zhǎng)度；通過(guò)證明直角三角形ADE′≌直角三角形ABF即可得解．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接AE′，交BD于點(diǎn)P．∴PA+PE的最小值A(chǔ)E′；∵E為AD的中點(diǎn)，∴E′為CD的中點(diǎn)，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠ADE′=90°,∴DE′=BF，∴ΔABF≌ΔADE′，∴AE′=AF.故選D.【解題指導(dǎo)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)--最短路線問(wèn)題、正方形的性質(zhì)．此題主要是利用“兩點(diǎn)之間線段最短”和“任意兩邊之和大于第三邊”．因此只要作出點(diǎn)A（或點(diǎn)E）關(guān)于直線BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′（或E′），再連接EA′（或AE′）即可．3．如圖，∠AOB=60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的定點(diǎn)且OP=3，若點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是（）A．362 B．332 C．6 【答案】D【分析】作P點(diǎn)分別關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接CD分別交OA、OB于M、N，如圖，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用兩點(diǎn)之間線段最短判斷此時(shí)△PMN周長(zhǎng)最小，作OH⊥CD于H，則CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出CD即可．【解答】解：作P點(diǎn)分別關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接CD分別交OA、OB于M、N，如圖，則MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此時(shí)△PMN周長(zhǎng)最小，作OH⊥CD于H，則CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=12OC=3CH=3OH=32∴CD=2CH=3．故選D．【解題指導(dǎo)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題：熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決路徑最短問(wèn)題．4．在△ABC中，若O為BC邊的中點(diǎn)，則必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問(wèn)題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，點(diǎn)P在以DE為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，則PF2+PG2的最小值為（）A．10 B．192 C．34 D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，點(diǎn)N為FG的中點(diǎn)，連接MN，則MN、PM的長(zhǎng)度是定值，利用三角形的三邊關(guān)系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，點(diǎn)N為FG的中點(diǎn)，連接MN交半圓于點(diǎn)P，此時(shí)PN取最小值．∵DE=4，四邊形DEFG為矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=12DE=2∴NP=MN-MP=EF-MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故選D．【解題指導(dǎo)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、矩形的性質(zhì)以及三角形三變形關(guān)系，利用三角形三邊關(guān)系找出PN的最小值是解題的關(guān)鍵．5．如圖，已知拋物線y=ax2-4x+c(a≠0)與反比例函數(shù)y=9x的圖象相交于B點(diǎn)，且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,6)，A是拋物線y=ax2-4x+c的頂點(diǎn)，P點(diǎn)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PB最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______【答案】(125，【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而可以求得二次函數(shù)解析式，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求得A＇的坐標(biāo)，從而可以求得直線A＇B的函數(shù)解析式，進(jìn)而求得與x軸的交點(diǎn)，從而可以解答本題【解答】解：作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A＇，連接A＇B，則A＇B與x軸的交點(diǎn)即為所求，∵拋物線y=ax2-4x+c(a≠0)與反比例函數(shù)y=9x的圖象相交于點(diǎn)B，且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0,6∴點(diǎn)B（3,3），∴a×解得，a=1∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,2），∴點(diǎn)A＇的坐標(biāo)為（2，-2），設(shè)過(guò)點(diǎn)A＇（2，-2）和點(diǎn)B（3,3）的直線解析式為y=mx+n∴{∴直線A＇B的函數(shù)解析式為y=5x-12,令y=0,則0=5x-12得x=125故答案為：（125【解題指導(dǎo)】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、最短路徑問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．6．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=62，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則DA+DE的最小值為_(kāi)____．【答案】16【分析】如圖，作A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接AA'，交BC于F，過(guò)A'作AE⊥AC于E，交BC于D，則AD=A'D，此時(shí)AD+DE的值最小，就是A'E的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比可得結(jié)論．【解答】解：如圖，作A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接AA'，交BC于F，過(guò)A'作AE⊥AC于E，交BC于D，則AD=A'D，此時(shí)AD+DE的值最小，就是A'E的長(zhǎng)；Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=62，∴BC=32+S△ABC=12AB?AC=12BC?∴3×62=9AF，AF=22，∴AA'=2AF=42，∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，∴∠A'=∠C，∵∠AEA'=∠BAC=90°，∴△AEA'∽△BAC，∴AA'A'E∴42∴A'E=163即AD+DE的最小值是163故答案為：163【解題指導(dǎo)】本題考查軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃虇?wèn)題、三角形相似的性質(zhì)和判定、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)以及垂線段最短解決最短問(wèn)題.7．如圖，等腰△ABC的底邊BC=20，面積為120，點(diǎn)F在邊BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分線，若點(diǎn)D在EG上運(yùn)動(dòng)，則△CDF周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．【答案】18【分析】如圖作AH⊥BC于H,連接AD，由EG垂直平分線段AC推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得當(dāng)A、D、F共線時(shí)DF+DC最小，最小值就是線段AF的長(zhǎng)．【解答】解：∵EG垂直平分線段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴當(dāng)A、D、F共線時(shí)DF+DC最小，最小值就是線段AF的長(zhǎng)．∵1∴AH=12∵AB=AC,AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF=∴DF+DC的最小值為13∴△CDF的周長(zhǎng)最短=13+5=18.故答案為：18.【解題指導(dǎo)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題,線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)，解決最短問(wèn)題.8．如圖，在?ABCD中，AD=7，AB=23，∠B=60°．E是邊BC上任意一點(diǎn)，沿AE剪開(kāi)，將△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四邊形AEFD，則四邊形AEFD周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)____．【答案】20【分析】當(dāng)AE⊥BC時(shí)，四邊形AEFD的周長(zhǎng)最小，利用直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：當(dāng)AE⊥BC時(shí)，四邊形AEFD的周長(zhǎng)最小，∵AE⊥BC，AB=23，∠B=60°，∴AE=3，BE=3，∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，∴EF=BC=AD=7，∴四邊形AEFD周長(zhǎng)的最小值為：14+6=20，故答案為：20.【解題指導(dǎo)】本題考查平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定出當(dāng)AE⊥BC時(shí)，四邊形AEFD的周長(zhǎng)最?。?．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB=13S矩形ABCD，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之和PA+PB的最小值為_(kāi)_____【答案】42【分析】首先由S△PAB=13S矩形ABCD，得出動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接AE，連接BE，則BE的長(zhǎng)就是所求的最短距離．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB【解答】解：設(shè)△ABP中AB邊上的高是h．∵S△PAB=13S矩形ABCD∴12AB?h=13AB?∴h=23AD=2∴動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接AE，連接BE，則BE的長(zhǎng)就是所求的最短距離．在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，∴BE=AB即PA+PB的最小值為42．故答案為：42．【解題指導(dǎo)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)．得出動(dòng)點(diǎn)P所在的位置是解題的關(guān)鍵．10．如圖拋物線y=x2+2x﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)D、E、F分別是BC、BP、PC的中點(diǎn)，連接DE，DF，則DE+DF的最小值為_(kāi)____．【答案】3【分析】連接AC,與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)P,此時(shí)DE+DF最小，求解即可.【解答】解：連接AC,與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)P,此時(shí)DE+DF最小，∵點(diǎn)D、E、F分別是BC、BP、PC的中點(diǎn)，∴DE=在二次函數(shù)y=x2+2x﹣3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=-3,當(dāng)y=0時(shí)，x=-3或x=1.即AOA=OC=3,AC=點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上任意一點(diǎn)，則PA=PB,PA+PC=AC,PB+PC=3DE+DF的最小值為：1故答案為：3【解題指導(dǎo)】考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的中位線，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，找出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵.11．如圖，在ΔABC中，AB=AC，AO⊥BC于點(diǎn)O，OE⊥AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑作半圓，交AO于點(diǎn)F.若點(diǎn)F是AO的中點(diǎn)，OE=3，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF取最小值時(shí)，BP的長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】3.【分析】作B關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，交BC于H，連接FG交BC于P，此時(shí)PE+PF最小.通過(guò)證明ΔEHP∽ΔFOP即可求解【解答】解：∵OE=OF=3且F是OA的中點(diǎn)∴AO=6，∵OE⊥AB∠EAO=300，∠EOF=60作B關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，交BC于H，連接FG交BC于P，此時(shí)PE+PF最小∴∠B=∵EO=3∴EG=3，EH=32∵EG⊥BC，F(xiàn)O⊥BC∴ΔEHP∽ΔFOP∴EHFO=∵BO=HP+OP=3∴3HP=323∴BP=3【解題指導(dǎo)】本題主要考查了最短路徑問(wèn)題.找出點(diǎn)E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G是解決本題的關(guān)鍵.12．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，連接DF，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)H作MN∥CD，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，求△PDC周長(zhǎng)的最小值是__________．【答案】10+226．【分析】先證△DEG∽△CDF可得CF=2DG，再作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K，連接DK交MN于點(diǎn)P，連接PC，此時(shí)△PDC的周長(zhǎng)最短．周長(zhǎng)的最小值為：CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴DGCF=DEDC=∴CF=2DG．作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K，連接DK交MN于點(diǎn)P，連接PC，此時(shí)△PDC的周長(zhǎng)最短．周長(zhǎng)的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．∵CD=AD=10，ED=AE=5，DG=52，EG=525，DH=DE?DG∴EH=2DH=25，∴HM=DH?EHDE=2∴DM=CN=NK=DH2在Rt△DCK中，DK=CD2+CK2∴△PCD的周長(zhǎng)的最小值為10+226．【解題指導(dǎo)】本題考查正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱(chēng)解決折線最短問(wèn)題．13．反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3）、B（3，m）．在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_________【答案】（52，0【分析】先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx求出k得到反比例函數(shù)解析式；然后把B（3，m）代入反比例函數(shù)解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)；再作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接BA′交x軸于P點(diǎn)，則A′（1，﹣3），利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)此時(shí)PA+PB的值最小，再利用待定系數(shù)法求出直線BA′的解析式，然后求出直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到P【解答】解：把A（1，3）代入y=kx得k=1×3=3∴反比例函數(shù)解析式為y=3x把B（3，m）代入y=3x得3m=3，解得m=1∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）；作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接BA′交x軸于P點(diǎn)，則A′（1，﹣3），∵PA+PB=PA′+PB=BA′，∴此時(shí)PA+PB的值最小，設(shè)直線BA′的解析式為y=mx+n，把A′（1，﹣3），B（3，1）代入得m+n=-33m+n=1，解得m=2∴直線BA′的解析式為y=2x﹣5，當(dāng)y=0時(shí)，2x﹣5=0，解得x=52∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（52，0【解題指導(dǎo)】本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、最短路徑問(wèn)題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)（1，2），（3，1），（-2，-1），其中有兩點(diǎn)同時(shí)在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，將這兩點(diǎn)分別記為A，B，另一點(diǎn)記為C，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC＋PD的最小值是【答案】34.【分析】利用待定系數(shù)法確定k值、C點(diǎn)坐標(biāo)，及一次函數(shù)解析式，然后作D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′（0，-4），連接CD′交x軸于P，此時(shí)PC+PD的值最小，為CD′的長(zhǎng).【解答】解：∵反比例函數(shù)y=kx∴A（1，2），B（-2，-1），C（3，1）∴k=2．設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，則有m+n+2-2m+n解得m＝∴直線AB的解析式為y=x+1∵C、D關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)，∴D（0，4）作D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′（0，-4），連接CD′交x軸于P，此時(shí)PC+PD的值最小，最小值=CD′=32【解題指導(dǎo)】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，一次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題．15．如圖，一次函數(shù)y=-12x+52的圖像與反比例函數(shù)y=kx(k＞0)的圖像交于A