專題13 幾何探究問題（專項(xiàng)訓(xùn)練）（解析版）-二輪基礎(chǔ)過關(guān)與直擊中考

專題13幾何探究問題專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)過關(guān)|直擊中考】1．（2021·湖北中考真題）問題提出如圖（1），在和中，，，，點(diǎn)在內(nèi)部，直線與交于點(diǎn)，線段，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？問題探究（1）先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)點(diǎn)，重合時(shí)，直接寫出一個(gè)等式，表示，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）再探究一般情形．如圖（1），當(dāng)點(diǎn)，不重合時(shí)，證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問題拓展如圖（3），在和中，，，（是常數(shù)），點(diǎn)在內(nèi)部，直線與交于點(diǎn)，直接寫出一個(gè)等式，表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）．（2）見解析；問題拓展：．【分析】（1）先證明△BCE≌△ACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF=；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，，是等腰直角三角形即可；利用前面的方法變?nèi)葹橄嗨谱C明即可．【詳解】問題探究（1）．理由如下：如圖（2），∵∠BCA=∠ECF=90°，∴∠BCE=∠ACF，∵BC=AC，EC=CF，△BCE≌△ACF，∴BE=AF，∴BF-BE=BF-AF=EF=；（2）證明：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，∴．∵，∴．又∵，，∴，∴．∴．∴，，∴是等腰直角三角形．∴．∴．問題拓展．理由如下：∵∠BCA=∠ECD=90°，∴∠BCE=∠ACD，∵BC=kAC，EC=kCD，∴△BCE∽△ACD，∴∠EBC=∠FAC，過點(diǎn)作交于點(diǎn)M，則，∴．∴△BCM∽△ACF，∴BM:AF=BC:AC=MC:CF=k，∴BM=kAF,MC=kCF，∴BF-BM=MF，MF==∴BF-kAF=．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2021·浙江中考真題）（證明體驗(yàn)）（1）如圖1，為的角平分線，，點(diǎn)E在上，．求證：平分．

（思考探究）（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)G．若，，，求的長．（拓展延伸）（3）如圖3，在四邊形中，對角線平分，點(diǎn)E在上，．若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)SAS證明，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）先證明，得，進(jìn)而即可求解；（3）在上取一點(diǎn)F，使得，連結(jié)，可得，從而得，可得，，最后證明，即可求解．【詳解】解：（1）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即平分；（2）∵，∴，∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴；（3）如圖，在上取一點(diǎn)F，使得，連結(jié)．

∵平分，∴∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，又∵，∴∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵．3．（2021·浙江中考真題）已知在中，是的中點(diǎn)，是延長線上的一點(diǎn)，連結(jié)．（1）如圖1，若，求的長．（2）過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，如圖2所示．若，求證：．（3）如圖3，若，是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，？若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）見解析；（3）存在，【分析】（1）先解直角三角形ABC得出，從而得出是等邊三角形，再解直角三角形ACP即可求出AC的長，進(jìn)而得出BC的長；（2）連結(jié)，先利用AAS證出，得出AE=2PE，AC=DE，再得出是等邊三角形，然后由SAS得出，得出AE=BC即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，連接BE，過C作CG⊥AB于G，過E作EN⊥AB于N，由（2）得AE=2AP，DE=AC，再證明，從而得出得出DE=BE，然后利用勾股定理即可得出m的值．【詳解】（1）解，，，，是等邊三角形，是的中點(diǎn)，，在中，，，．（2）證明：連結(jié)，，，，，，，，又，，是等邊三角形，，，又，，，．（3）存在這樣的．過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，連接BE，過C作CG⊥AB于G，過E作EN⊥AB于N，則，，由（2）得AE=2AP，DE=AC，∴CG=EN，∵，∴AE=BC，∵∠ANE=∠BGC=90°，，∴∠EAN=∠CBG∵AE=BC，AB=BA，∴∴AC=BE，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD=45°，∴∠DEB=90°，∴，∵∴【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是合理添加輔助線，有一定的難度．4．（2021·四川中考真題）在等腰中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連結(jié)．（1）如圖1，若，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，結(jié)，，則________；（2）若，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．①在圖2中補(bǔ)全圖形；②探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若，且，試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）30°；（2）①見解析；②；見解析；（3），見解析【分析】（1）先根據(jù)題意得出△ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計(jì)算即可（2）①按要求補(bǔ)全圖即可②先根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，再證明，即可得出（3）先證明，再證明，得出，從而證明，得出，從而證明【詳解】解：（1）∵，∴△ABC是等邊三角形∴∠B=60°∵點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)∴AB⊥DE，∴故答案為：；（2）①補(bǔ)全圖如圖2所示；②與的數(shù)量關(guān)系為：；證明：∵，．∴為正三角形，又∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴，，∵，，∴，∴，∴．（3）連接．∵，，∴．∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，．∵，∴．又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的證明及性質(zhì)、全等三角形的證明及性質(zhì)、三角形的外角、軸對稱，熟練進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，相似三角形的證明是重點(diǎn)5．（2021·江蘇中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．（1）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一點(diǎn)，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1，求的長；（2）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長；（3）是邊長為3的等邊三角形，M是高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以為邊作等邊三角形，如圖3，在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑長；（4）正方形的邊長為3，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過程中，小亮以B為頂點(diǎn)作正方形，其中點(diǎn)F、G都在直線上，如圖4，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F、G、H與點(diǎn)B重合．則點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為______，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為______．【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）；【分析】（1）由、是等邊三角形，，，，可證即可；（2）連接，、是等邊三角形，可證，可得，又點(diǎn)在處時(shí)，，點(diǎn)在A處時(shí)，點(diǎn)與重合．可得點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑的長；（3）取中點(diǎn)，連接，由、是等邊三角形，可證，可得．又點(diǎn)在處時(shí)，，點(diǎn)在處時(shí)，點(diǎn)與重合．可求點(diǎn)所經(jīng)過的路徑的長；（4）連接CG,AC，OB，由∠CGA=90°，點(diǎn)G在以AC中點(diǎn)為圓心，AC為直徑的上運(yùn)動(dòng)，由四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，設(shè)OC=x，由勾股定理即，可求，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為長=，點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為的長．【詳解】解:（1）∵、是等邊三角形，∴，，．∴，∴，∴，∴；（2）連接，∵、是等邊三角形，∴，，．∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，又點(diǎn)在處時(shí)，，點(diǎn)在A處時(shí)，點(diǎn)與重合．∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑的長；（3）取中點(diǎn)，連接，∴，∴，∵，∴，∴，∵、是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，又點(diǎn)在處時(shí)，，點(diǎn)在處時(shí)，點(diǎn)與重合，∴點(diǎn)所經(jīng)過的路徑的長；（4）連接CG,AC，OB，∵∠CGA=90°，∴點(diǎn)G在以AC中點(diǎn)為圓心，AC為直徑的上運(yùn)動(dòng)，∵四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，∴∠COB=90°，設(shè)OC=x，由勾股定理即，∴，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為長=，點(diǎn)H在以BC中點(diǎn)為圓心，BC長為直徑的弧上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為的長度，∵點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)圓周的四分之一，∴點(diǎn)H也運(yùn)動(dòng)圓周的四分一，點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為的長=，故答案為；．【點(diǎn)睛本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90°圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90°圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式是解題關(guān)鍵．1．（2021·青海中考真題）在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，若身旁沒有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展開（如圖13-1）．第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)，得到折痕，同時(shí)得到線段（如圖13-2）．猜想論證：（1）若延長交于點(diǎn)，如圖13-3所示，試判定的形狀，并證明你的結(jié)論．拓展探究：（2）在圖13-3中，若，當(dāng)滿足什么關(guān)系時(shí)，才能在矩形紙片中剪出符（1）中的等邊三角形？【答案】(1)是等邊三角形，理由見解析；（2），理由見解析【分析】（1）連接，由折疊性質(zhì)可得是等邊三角形，，，然后可得到，即可判定是等邊三角形．（2）由折疊可知，由（1）可知，利用的三角函數(shù)即可求得．【詳解】（1）解：是等邊三角形，證明如下：連接．由折疊可知：，垂直平分．∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴是等邊三角形．（2）解：方法一：要在矩形紙片上剪出等邊，則，在中，，，∴，∵，∴，即，當(dāng)或（）時(shí)，在矩形紙片上能剪出這樣的等邊．方法二：要在矩形紙片上剪出等邊，則，在中，，，設(shè)，則，∴，即，得，∴，∵，∴，即，當(dāng)（或）時(shí)，在矩形紙片上能剪出這樣的等邊．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，正確理解折疊性質(zhì)靈活運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形是解本題的關(guān)鍵．2．（2021·甘肅中考真題）問題解決：如圖1，在矩形中，點(diǎn)分別在邊上，于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是正方形；（2）延長到點(diǎn)，使得，判斷的形狀，并說明理由．類比遷移：如圖2，在菱形中，點(diǎn)分別在邊上，與相交于點(diǎn)，，求的長．【答案】問題解決：（1）見解析；（2）等腰三角形，理由見解析；類比遷移：8【分析】問題解決：（1）證明矩形ABCD是正方形，則只需證明一組鄰邊相等即可．結(jié)合和可知，再利用矩形的邊角性質(zhì)即可證明，即，即可求解；（2）由（1）中結(jié)論可知，再結(jié)合已知，即可證明，從而求得是等腰三角形；類比遷移：由前面問題的結(jié)論想到延長到點(diǎn)，使得，結(jié)合菱形的性質(zhì)，可以得到，再結(jié)合已知可得等邊，最后利用線段BF長度即可求解．【詳解】解：問題解決：（1）證明：如圖1，∵四邊形是矩形，．．．．又．∴矩形是正方形．（2）是等腰三角形．理由如下：，．又，即是等腰三角形．類比遷移：如圖2，延長到點(diǎn)，使得，連接．∵四邊形是菱形，．．．又．是等邊三角形，，．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的證明、菱形的性質(zhì)、三角形全等的判斷與性質(zhì)等問題，屬于中檔難度的幾何綜合題．理解題意并靈活運(yùn)用，做出輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．（2021·四川中考真題）如圖1，在中，，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)（含端點(diǎn)A、B），過點(diǎn)B作垂直于射線，垂足為E，點(diǎn)F在射線上，且，連接、．（1）求證：；（2）如圖2，連接，點(diǎn)P、M、N分別為線段、、的中點(diǎn)，連接、、．求的度數(shù)及的值；（3）在（2）的條件下，若，直接寫出面積的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）；；（3）【分析】（1）根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等判定即可．（2）的值可以根據(jù)中位線性質(zhì)，進(jìn)行角轉(zhuǎn)換，通過三角形內(nèi)角和定理求解即可，的比值轉(zhuǎn)換為的比值即可求得.（3）過點(diǎn)作垂直于的延長線于點(diǎn)，，將相關(guān)線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為CE，可得關(guān)系，觀察圖象，當(dāng)時(shí)，可得最大值．【詳解】（1）證明：∵，∴,∵垂直于射線,∴又∵∴,∵即：又∵∴（2）解：∵點(diǎn)P、M、N分別為線段、、的中點(diǎn)∴，，∴,∴又∵∴又∵∴∴又∵∴又∵又∵∴∴（3）如下圖：過點(diǎn)作垂直于的延長線于點(diǎn),又∵∴∴∴當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，在以的中點(diǎn)為圓心，為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最大，∴，【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形相似和判定、以及三角形面積最大值的求法，根據(jù)題意找見相關(guān)的等量是解題關(guān)鍵．4．（2021·浙江中考真題）問題：如圖，在中，，，，的平分線AE，BF分別與直線CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求EF的長．答案：．探究：（1）把“問題”中的條件“”去掉，其余條件不變．①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，求AB的長；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求EF的長．（2）把“問題”中的條件“，”去掉，其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時(shí)，求的值．【答案】（1）①10；②5；（2），，【分析】（1）①利用平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義先分別求出，，即可完成求解；

②證明出即可完成求解；

（2）本小題由于E、F點(diǎn)的位置不確定，故應(yīng)先分情況討論，再根據(jù)每種情況，利用，以及點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等建立相等關(guān)系求解即可．【詳解】（1）①如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，，．平分，．．．同理可得：．點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，．

②如圖2，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，同理可證，∴?ABCD是菱形，，點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，．（2）情況1，如圖3，可得，．情況2，如圖4，同理可得，，又，．情況3，如圖5，由上，同理可以得到，又，．綜上：的值可以是，，．【點(diǎn)睛】本題屬于探究型應(yīng)用題，綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、菱形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確畫出圖形，建立相等關(guān)系求解等，本題綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生有較強(qiáng)的分析能力，本題涉及到的思想方法有分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想等．5．（2021·浙江嘉興市·中考真題）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動(dòng)：將一個(gè)矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形[探究1]如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰好在延長線上．若，求BC的長．

[探究2]如圖2，連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．線段與相等嗎？請說明理由．

[探究3]在探究2的條件下，射線分別交，于點(diǎn)，（如圖3），，存在一定的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

【答案】[探究1]；[探究2]，證明見解析；[探究3]，證明見解析【分析】[探究1]設(shè)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)得出，從而得出，得出比例式，列出方程解方程即可；[探究2]先利用SAS得出，得出，，再結(jié)合已知條件得出，即可得出；[探究3]連結(jié)，先利用SSS得出，從而證得，再利用兩角對應(yīng)相等得出，得出即可得出結(jié)論．【詳解】[探究1]如圖1，設(shè)．∵矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，∴點(diǎn)，，在同一直線上．∴，，∴．∵，∴．又∵點(diǎn)在延長線上，∴，∴，∴．解得，（不合題意，舍去）∴．[探究2]．證明：如圖2，連結(jié)．∵，∴．∵，，，∴．∴，，∵，，∴，∴．[探究3]關(guān)系式為．證明：如圖3，連結(jié)．∵，，，∴．∴，∵，，∴，∴．在與中，，，∴，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程等，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題．6．（2020·山東中考真題）在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，連接BD，BE，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接CF．（1）當(dāng)∠CAB＝45°時(shí)．①如圖1，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，請直接寫出∠EAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系是．線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是；②如圖2，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由；學(xué)生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：思路一：作等腰△ABC底邊上的高CM，并取BE的中點(diǎn)N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來解決問題；思路二：取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來解快問題．（2）當(dāng)∠CAB＝30°時(shí)，如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）①，；②仍然成立，證明見解析；（2），理由見解析．【分析】（1）①如圖1中，連接BE，設(shè)DE交AB于T．首先證明再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題即可．②解法一：如圖2﹣1中，取AB的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N，連接CM，MN．證明（SAS），可得結(jié)論．解法二：如圖2﹣2中，取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接DT，GT，BG．證明四邊形BEGT是平行四邊形，四邊形DGBT是平行四邊形，可得結(jié)論．（2）結(jié)論：BE＝．如圖3中，取AB的中點(diǎn)T，連接CT，F(xiàn)T．證明，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）①如圖1中，連接BE，設(shè)DE交AB于T．∵CA＝CB，∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠ACB＝90°，∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AD＝AE，∴AT⊥DE，DT＝ET，∴AB垂直平分DE，∴BD＝BE，∵∠BCD＝90°，DF＝FB，∴CF＝BD，∴CF＝BE．故答案為：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．②結(jié)論不變．解法一：如圖2﹣1中，取AB的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N，連接CM，MN．∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，由①得：設(shè)AD＝AE＝y(tǒng)．FM＝x，DM＝a，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，則DF＝FB＝a+x，∵AM＝BM，∴y+a＝a+2x，∴y＝2x，即AD＝2FM，∵AM＝BM，EN＝BN，∴AE＝2MN，MN∥AE，∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，∴∠CMF＝∠BMN＝90°，∴（SAS），∴CF＝BN，∵BE＝2BN，∴CF＝BE．解法二：如圖2﹣2中，取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把△CAG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接DT，GT，BG．∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，∵∠CAB＝45°，∴∠CAG＝90°，∴AC⊥AG，∴AC∥DE，∵∠ACB＝∠CBT＝90°，∴AC∥BT∥，∵AG＝BT，∴DG＝BT＝EG，∴四邊形BEGT是平行四邊形，四邊形DGBT是平行四邊形，∴BD與GT互相平分，∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，∴BD與GT交于點(diǎn)F，∴GF＝FT，由旋轉(zhuǎn)可得；是等腰直角三角形，∴CF＝FG＝FT，∴CF＝BE．（2）結(jié)論：BE＝．理由：如圖3中，取AB的中點(diǎn)T，連接CT，F(xiàn)T．∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，∵AT＝TB，∴CT⊥AB，∴AT＝，∴AB＝，∵DF＝FB，AT＝TB，∴TF∥AD，AD＝2FT，∴∠FTB＝∠CAB＝30°，∵∠CTB＝∠DAE＝90°，∴∠CTF＝∠BAE＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝60°，∴AE＝AD＝FT，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用