2023年高考數(shù)學(xué)母題題源解密（新高考卷）：橢圓、雙曲線與拋物線（原卷版）

專(zhuān)題10橢圓、雙曲線與拋物線

【母題來(lái)源】2022年新高考I卷

【母題題文】已知橢圓+50〃，i的上頂點(diǎn)為h,兩個(gè)焦點(diǎn)為L(zhǎng)，12,離心率為g,過(guò)L且垂直

于簾2的直線與i交于LI兩點(diǎn)，；向=6,則△hlT的周長(zhǎng)是.

卜母題題文】已知L為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)h〃,〃在拋物線iI2=2yW?>0)上，過(guò)點(diǎn)上0,-〃的直線交i于］,N兩點(diǎn)，

則()

A.i的準(zhǔn)線為W=-1B.直線hi與i相切

C.|L］|.\W\>廿|2D.|I1|.|I1M|>|Ih|2

【母題來(lái)源】2022年新高考H卷

卜母題題文】已知直線q與橢圓二+卑=1在第一象限交于h,1兩點(diǎn)，q與?軸3軸分別相交于K，K兩點(diǎn)，且晌=

63

向|,網(wǎng)=2道,則直線q的方程為_(kāi)____.

【母題題文】已知L為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線］.?02=29-8>0川勺焦點(diǎn)用勺直線與1交于11,i兩點(diǎn)，點(diǎn)h在第一象

限，點(diǎn)KG，少,若同|=|/,則()

A,直線hi的斜率為2GB.IUI=IUI

C.|hl|>4|U|D.4帖+4k<180°

回題雨回

【命題意圖】

考察橢圓、拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，兒何性質(zhì)和綜合應(yīng)用.考察運(yùn)算能力，邏輯推導(dǎo)素養(yǎng)，數(shù)形結(jié)思想,

化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想?？疾旆治雠c解決問(wèn)題的能力.

【命題方向】

橢圓、拋物線，雙曲線的方程、定義和性質(zhì)，是高考的必考內(nèi)容之一，多以小題形式出現(xiàn)，試題可以是常

規(guī)題，中等難題，或者壓軸小題難度，也是考試學(xué)生丟分點(diǎn)之一.

【得分要點(diǎn)】

圓錐曲線三大定義

一、三大曲線第一定義

橢圓第一定義：|P耳|+|P6|=2a

雙曲線第一定義：IIWI-I尸工||=2a

拋物線定義：|PE|=d

解題思路

試題中，如果是橢圓和雙曲線，則到一個(gè)焦點(diǎn)距離，可轉(zhuǎn)化為到另一個(gè)焦點(diǎn)距離.

二橢圓雙曲線曲線第二定義：

1.平面上到定點(diǎn)F的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e,即單=?

d

2.焦半徑公式：

橢圓焦半徑：戶(hù)用=巴士a

雙曲線焦半徑：.戶(hù)在左支：|「打=-用士a*右支:|PR|=ex0±a

拋物線焦半徑：|尸口=%+](或?yàn)?9

3.焦半徑范圍

橢圓焦半徑范圍：a-c<|PF|<a+c

雙曲線焦半徑范圍：.|PF|Nc-a,或"戶(hù)c+a

拋物線焦半徑范圍：|尸尸^

4.解題技巧：

焦半徑角度公式.其中，e為焦半徑與焦點(diǎn)軸所成的角p為焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離

橢圓焦半徑夾角公式：|尸曰=:吟,|嗚=:生1

1'」l-ecos^1石?1+ecosS

雙曲線焦半徑左焦點(diǎn)夾角公式：.=-e-P\PF)\=---eP

111-ecos^111+ecosS,

拋物線焦半徑夾角公式：IPFI=一^;

11i-cose

三、第三定義

i.第三定義，又叫中點(diǎn)弦定理

x2y2_

-T+-7T=h1

(1)AB是橢圓b-的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則自必次"二一一r=e2-l.

H

(2)AB是雙曲線4。-4b-=1的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則《“=/=e?-1.

(3)AB是拋物線的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則丫。,38二尸

2.擴(kuò)展推論

/+必_]

(1)AB是橢圓/b2的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，P橢圓上異于A、B的任一點(diǎn)，若斜率存在，則

KpAKpB_2

a

22

(2)AB是雙曲線0-白=1的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，P雙曲線上異于A、B的任一點(diǎn)，若斜率存在，則

ab~

《PAkpB—2

a

四、焦點(diǎn)三角形

1.焦點(diǎn)三角形

(1)焦點(diǎn)三角形面積

橢圓：S.F=b2tan幺"

urn,

L2

雙曲線：s?g=/FPF

2

p-

AB為過(guò)拋物線y2=2px焦點(diǎn)的弦，8為直線傾斜角，則“?！?一

2sin8

2.頂角

(1).橢圓頂角在短軸頂點(diǎn)處最大.

(2)雙曲線頂角無(wú)最大最小

3.與余弦定理結(jié)合

x2v2

⑴設(shè)橢圓r+==l(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為R、F2,P(異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線上任意一點(diǎn)，在aPFR

ab

cinnc

中，記/與尸乙=Q,4PF\F2=B，/F\FF=Y，則有[-------=-=e.

sin|/+sin/>a

22

(2)設(shè)雙曲線0-白=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi、F2,P(異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線上任意一點(diǎn)，在

ab

Qinrtr

△PF1F2中，記/月產(chǎn)工=4,4PF1F)=B、紐F?P=Y，則有一-----；—=—=e.

|siny-sin回a

一、單選題

22

1.（2022?河北衡水?高三階段練習(xí)）已知橢圓c：2+g=1（〃>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,橢圓上

點(diǎn)尸（xj）到焦點(diǎn)工的最大距離為3,最小距離為1,則橢圓的離心率為（）

B.好

D.2

2c空

2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）雙曲線E與橢圓C:二+己=1焦點(diǎn)相同且離心率是橢圓C離心率的百倍,

62

則雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.x2-^-=lB.y2-2x2=1C.--^=1D.—~y2=\

3J223

3.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)（理））設(shè)F為拋物線C：F=4X的焦點(diǎn)，點(diǎn)4在C上,點(diǎn)8（3,0）,若川=忸川,

則|陽(yáng)=（）

A.2B.2拒C.3D.3亞

4.（2022?湖北武漢?高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓「：0+烏=1（。>/>>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)],過(guò)瑪?shù)闹本€

ab，

與「交于4B兩點(diǎn).若I典1=3離同，|明=2|/周,則「的離心率為（）

A.-B.—C.叵D.—

5555

5.（2022?新疆三模（理））已知雙曲線。三-4=1（。>0,j0）的左、右焦點(diǎn)分別為月，入，過(guò)點(diǎn)耳且斜率

a~b~

為-3s的直線與雙曲線在第二象限交于點(diǎn)a/為/心的中點(diǎn)，且百元.赤2=o,則雙曲線c的漸近線方

程是（）

A.y=±V3xB.y=±^-x

125

C.y=±—xD.y=±—x

512

6.（2022?山西?懷仁市第一中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））已知拋物線C：y2=ax（a>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)A為（0,-6）,

若射線E4與拋物線C相交于點(diǎn)B,與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)。，且|必|:忸D|=I:6,則4的值為（）

A.275B.2下>C.GD.75

7.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓支+廣=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,第一象限內(nèi)的點(diǎn)M在橢

253

圓上，且滿足點(diǎn)N在線段耳、心上，設(shè)乂=翻，將△〃鳥(niǎo)巴沿陰呼翻折，使得平面腦陰與

\NF2\

平面小垂直，要使翻折后歸用的長(zhǎng)度最小，則4=（）

22

8.（2023?江蘇?南京市中華中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖所示，耳，乃是雙曲線C：［一二=i（a>0,b>0）的

a-b~

左、右焦點(diǎn)，過(guò)百的直線與C的左、右兩支分別交于a8兩點(diǎn).若|4叫:怛巴卜|/8|=3:4:5,則雙曲線的離

心率為（）

B.小

C.V13

D.G

9.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)F為拋物線V=4x的焦點(diǎn)，，點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)瑞

最小時(shí)，點(diǎn)M恰好在以4尸為焦點(diǎn)的雙曲線C上，則雙曲線C的漸近線斜率的平方是（）

A"B2+2&C.3+26D.呻

10.（2020?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知點(diǎn)4是拋物線/=41的對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)R為拋物線

的焦點(diǎn)，尸在拋物線上且滿足忸斗=哪喈I，當(dāng)”;取最大值時(shí)，點(diǎn)尸恰好在以4日為焦點(diǎn)的雙曲線上，則

雙曲線的離心率為

-s/5—1

c.^2-1D.在—1

22

11.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)（理））耳生是雙曲線C:-r-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，直線1為雙

ab“

曲線C的一條漸近線，耳關(guān)于直線1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為尺，且點(diǎn)尺在以F2為圓心、以半虛軸長(zhǎng)b為半徑的圓上，

則雙曲線C的離心率為

A.V2B.逐C.2D.百

12.（2021?河北?正定中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)尸作拋物線C:/=2y的切線心4,切點(diǎn)分別為〃，N,若

的重心坐標(biāo)為（1,1）,且尸在拋物線。:丁=〃式上，則。的焦點(diǎn)坐標(biāo)