專題1-9 數(shù)列性質(zhì)的綜合運用17類題型（解析版）

專題19數(shù)列性質(zhì)的綜合運用17類題型近2年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年新2卷，第8題基本量的計算等差數(shù)列片段和相關(guān)計算2023新高考1卷，第7題等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的判斷等差數(shù)列前n項和解析式特征2023年全國乙卷理數(shù)，15題等比數(shù)列基本量計算構(gòu)造方程組求等比數(shù)列首項和公比2023年全國甲卷理數(shù)，5題等比數(shù)列前n項和的基本量計算構(gòu)造方程求基本量2023新高考1卷，第20題已知等差數(shù)列的和求公差等差中項與前n項和的計算TOC\o"13"\n\h\z\u知識點梳理模塊一等差數(shù)列【題型1】等差中項與前n項和【題型2】等差數(shù)列片段和【題型3】等差數(shù)列及其前n項和的基本量計算【題型4】通過等差數(shù)前n項和的比值相關(guān)運算【題型5】等差數(shù)列奇偶項和相關(guān)運算【題型6】等差數(shù)列前n項和的單調(diào)性與最值【題型7】等差數(shù)列性質(zhì)判斷與綜合運用【題型8】等比數(shù)列及其前n項和的基本量計算模塊二等比數(shù)列【題型9】等比數(shù)列中基本量的計算【題型10】等比數(shù)列的基本性質(zhì)【題型11】等比數(shù)列片段和【題型12】等比中項的運用【題型13】等比數(shù)列性質(zhì)判斷與綜合運用【題型14】等差數(shù)列與等比數(shù)列混合計算求值模塊三其它綜合問題【題型15】周期數(shù)列【題型16】數(shù)列中的最值問題【題型17】數(shù)列新定義問題知識點梳理一、基本量計算方法a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個基本量，an和Sn都可以用這三個基本量來表示，五個量a1，d，n，an，Sn中，可知三求二，即等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式中“知三求二”的問題，一般是通過通項公式和前n項和公式聯(lián)立方程(組)來求解．這種方法是解決數(shù)列運算的基本方法．在運算中要注意等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用．二、等差數(shù)列重要性質(zhì)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差是d，則等差數(shù)列{an}有如下性質(zhì)：(1)當(dāng)d>0時，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時，{an}是常數(shù)列．(2)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*，n≠m)．(3)eq\f(am－an,m－n)＝d(m，n∈N*且n≠m)．(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝2ap.三、求等差數(shù)列前n項和Sn最值的方法(1)尋找正、負(fù)項的分界點，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)或利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))來尋找．(2)運用二次函數(shù)的圖象求最值．四、等差數(shù)列奇偶項問題(1)若等差數(shù)列的項數(shù)為2n，則S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an).(2)若等差數(shù)列的項數(shù)為2n＋1，則S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(n,n＋1).五、等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1)若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列，且公差為eq\f(d,2).(2)若Sm，S2m，S3m分別為等差數(shù)列{an}的前m項、前2m項、前3m項的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列，公差為m2d.(3)設(shè)兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).六、等比數(shù)列的性質(zhì)(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq；若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，則aeq\o\al(2,k)＝am·an.(2)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))仍為等比數(shù)列．七、等比數(shù)列的前n項和性質(zhì)1.在等比數(shù)列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，當(dāng)條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時，均可以用a1與q表示an與Sn，從而列方程組求解．在解方程組時經(jīng)常用到兩式相除達(dá)到整體消元的目的．這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用．2.等比數(shù)列前n項和的常用性質(zhì)：(1)若共有2n項，則S偶∶S奇＝q.(2)“片斷和”性質(zhì)：等比數(shù)列{an}中，公比為q，前m項和為Sm(Sm≠0)，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…構(gòu)成公比為qm的等比數(shù)列．模塊一等差數(shù)列【題型1】等差中項與前n項和在等差數(shù)列中，，則此數(shù)列的前13項的和等于A．13 B．26 C．8 D．162【解答】解：在等差數(shù)列中若，則，因為，所以，所以．所以．已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，則0．【答案】0【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，又由，則有，變形可得，即，因為，則，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，即，所以兩個等差數(shù)列，的前項和分別為和，已知，求的值．【解答】兩個等差數(shù)列，的前項和分別為和，滿足，．已知等差數(shù)列和的前n項和分別為，，若，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，則，即，2023新高考1卷——基本量計算：利用等差中項簡化計算設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．(1)若，求的通項公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式建立方程求解即可；（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，分類討論即可得解.【詳解】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）為等差數(shù)列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，，即，解得或（舍去）當(dāng)時，，解得，與矛盾，無解；當(dāng)時，，解得.綜上，.【題型2】等差數(shù)列片段和2023新高考2卷T8記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：基本量計算根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．方法二：利用片段和性質(zhì)計算設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時，，即為，易知，，即；當(dāng)時，，與矛盾，舍去．（2023·廣東深圳二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，，，解得．2024屆·江蘇連云港&、南通質(zhì)量調(diào)研(一)設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，，，其中正整數(shù)，則該數(shù)列的首項為（

）A．5 B．0 C．3 D．5【答案】D【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】，又，兩式相減得：，解得：2020年全國Ⅱ卷（理）——等差數(shù)列片段和北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即即，解得，所以.【題型3】等差數(shù)列及其前n項和的基本量計算已知等差數(shù)列的前項和為，，，，則等于A．12 B．14 C．16 D．18【答案】14【解答】解：由題意可得，，，，解得在等差數(shù)列中，公差，，，則數(shù)列的前9項之和等于．【答案】90【解答】解：由公差，，，，，聯(lián)立解得：，，故．【題型4】通過等差數(shù)前n項和的比值相關(guān)運算已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求解.【詳解】由于所以，要使為整數(shù)，則為24的因數(shù)，由于，故可以為，故滿足條件的正整數(shù)的個數(shù)為7個兩等差數(shù)列和前項和分別為，，且，則．【答案】【解答】解：兩等差數(shù)列和前項和分別為，，且，已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的值為.【答案】、、【分析】利用等差數(shù)列前項和公式求得的表達(dá)式，結(jié)合為整數(shù)求得正整數(shù)的值.【詳解】由題意可得，則，由于為整數(shù)，則為的正約數(shù)，則的可能取值有、、，因此，正整數(shù)的可能取值有、、.【題型5】等差數(shù)列奇偶項和相關(guān)運算在項數(shù)為的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則等于10．【答案】10【解答】解：等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150設(shè)奇數(shù)項和，數(shù)列前項和，，解得：．已知等差數(shù)列共有項，所有奇數(shù)項之和為132，所有偶數(shù)項之和為120，則等于．【答案】10【解答】解：，，，，解得．31．已知等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為10，偶數(shù)項之和為30，則其公差是4．【解答】解：依題意，，同理，，兩式相減得：，故答案為：4．【題型6】等差數(shù)列前n項和的單調(diào)性與最值在等差數(shù)列中，其前項和是，若，，則在中最大的是A． B． C． D．【答案】C【解答】解：依題意，數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和是，，，所以，所以，，所以公差，所以當(dāng)時，當(dāng)時，又因為當(dāng)時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以最大已知等差數(shù)列的前n項和為，并且，若對恒成立，則正整數(shù)的值為.【答案】【詳解】由題意可知，所以，同理得，所以.結(jié)合，可得.當(dāng)時，取得最大值為，要使對恒成立，只需要，即可，所以,，即.所以正整數(shù)的值為.若等差數(shù)列的前項和為，且滿足，對任意正整數(shù)，都有，則的值為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式以及數(shù)列的單調(diào)性得出結(jié)果.【詳解】依題意，又，即，則則，且，所以等差數(shù)列單調(diào)遞減，，所以對任意正整數(shù)，都有，則．（多選）已知等差數(shù)列的前n項和為，公差，則下列數(shù)列一定遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，利用數(shù)列單調(diào)性的概念，結(jié)合作差法即可判斷.【詳解】對于A，，，，則數(shù)列是遞增數(shù)列，A正確；對于B，，∵，∴不一定是正實數(shù)，即數(shù)列不一定是遞增數(shù)列，B錯誤；對于C，，∵，∴不一定是正實數(shù)，即數(shù)列不一定是遞增數(shù)列，C錯誤；對于D，，故數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，已知，，為數(shù)列的前項和．（1）求；（2）求，及的最小值．【解答】解：（1）為等差數(shù)列，首項為，公差設(shè)為，則依題意有，解得，．（2），．設(shè)，則，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，首項為，為數(shù)列的前項和，．又圖象開口向上，對稱軸為，且，或時，．【題型7】等差數(shù)列性質(zhì)判斷與綜合運用2023新高考1卷·T7——數(shù)列性質(zhì)的判斷記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時，上兩式相減得：，當(dāng)時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.（雅禮中學(xué)月考）（多選）設(shè)是公差為（）的無窮等差數(shù)列的前項和，則下列命題正確的是（

）A．若，則是數(shù)列的最大項B．若數(shù)列有最小項，則C．若數(shù)列是遞減數(shù)列，則對任意的：，均有D．若對任意的，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】BD【分析】取特殊數(shù)列判斷A；由等差數(shù)列前項和的函數(shù)特性判斷B；取特殊數(shù)列結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性判斷C；討論數(shù)列是遞減數(shù)列的情況，從而證明D.【詳解】對于A：取數(shù)列為首項為4，公差為的等差數(shù)列，，故A錯誤；對于B：等差數(shù)列中，公差，，是關(guān)于n的二次函數(shù).當(dāng)數(shù)列有最小項，即有最小值，對應(yīng)的二次函數(shù)有最小值，對應(yīng)的函數(shù)圖象開口向上，，B正確；對于C：取數(shù)列為首項為1，公差為的等差數(shù)列，，，即恒成立，此時數(shù)列是遞減數(shù)列，而，故C錯誤；對于D：若數(shù)列是遞減數(shù)列，則，一定存在實數(shù)，當(dāng)時，之后所有項都為負(fù)數(shù)，不能保證對任意，均有.故若對任意，均有，有數(shù)列是遞增數(shù)列，故D正確（多選）已知等差數(shù)列的前n項和為，公差，則下列數(shù)列一定遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，利用數(shù)列單調(diào)性的概念，結(jié)合作差法即可判斷.【詳解】對于A，，，，則數(shù)列是遞增數(shù)列，A正確；對于B，，∵，∴不一定是正實數(shù)，即數(shù)列不一定是遞增數(shù)列，B錯誤；對于C，，∵，∴不一定是正實數(shù)，即數(shù)列不一定是遞增數(shù)列，C錯誤；對于D，，故數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確（多選）已知數(shù)列的前n項和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【答案】ABC【分析】求出通項公式判斷AB；利用數(shù)列前n項和的意義、結(jié)合等差數(shù)列推理判斷C；舉例說明判斷D作答.【詳解】對于A，，時，，解得，因此，，是等差數(shù)列，A正確；對于B，，，則，而，是等比數(shù)列，B正確；對于C，設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項是，，，因此，則，成等差數(shù)列，C正確；對于D，若等比數(shù)列的公比，則不成等比數(shù)列，D錯誤.【題型8】等比數(shù)列及其前n項和的基本量計算已知是等比數(shù)列的前項和，，，則．【答案】【分析】由條件結(jié)合等比數(shù)列通項公式求首項和公比，再利用求和公式求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，可得，，解方程得，或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為，且，則實數(shù)的值為【答案】【解析】首先利用與的關(guān)系式，得到，求得公比，首項和第二項，再通過賦值求的值.【詳解】當(dāng)時，，兩式相減得，即，并且數(shù)列是等比數(shù)列，所以，，，當(dāng)時，，解得.模塊二等比數(shù)列【題型9】等比數(shù)列中基本量的計算2023乙卷(理)T15——基本量計算：解2元方程組已知為等比數(shù)列，，，則.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對化簡得，聯(lián)立求出，最后得.【詳解】設(shè)的公比為，則，顯然，則，即，則，因為，則，則，則，則2023年全國甲卷(理)——基本量計算：解一元三次方程設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計算出,即可求出.【詳解】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.2022·全國乙卷（理）——基本量計算已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.【題型10】等比數(shù)列的基本性質(zhì)設(shè)，分別為等比數(shù)列，的前項和．若（，為常數(shù)），則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，項和轉(zhuǎn)換，求解即可【詳解】由題意，設(shè)則已知是等比數(shù)列的前項和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由與的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定其首項和公比，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因為，所以，，，又是等比數(shù)列，所以，即，解得，所以．當(dāng)時，，又滿足，所以，，故數(shù)列是公比為，首項為的等比數(shù)列，所以．在等比數(shù)列中，，則.【答案】【分析】利用等比數(shù)列通項公式列方程組求出首項和公比，然后根據(jù)定義可判斷為等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列求和公式可得.【詳解】記等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以，記，因為，所以是1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是．【答案】【分析】結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列前項和公式的特點，分別求得的公差和公比，由此求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項和公式為，等比數(shù)列的前項和公式為，依題意，即，通過對比系數(shù)可知，故.【題型11】等比數(shù)列片段和2020年全國Ⅰ卷（文）T10設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（

）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.已知等比數(shù)列的前n項和為．若，則（

）A．13 B．16 C．9 D．12【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得仍成等比數(shù)列，得到，即可求解.【詳解】設(shè)，則，因為為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得仍成等比數(shù)列.因為，所以，所以，故.深圳市寶安區(qū)2024屆高三上學(xué)期10月調(diào)研（多選）設(shè)數(shù)列的前項和為.記命題：“數(shù)列為等比數(shù)列”，命題：“，，成等比數(shù)列”，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義、等比數(shù)列的定義計算可得.【詳解】若數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，則當(dāng)時，所以，，顯然，所以，，成等比數(shù)列，當(dāng)時，所以，，所以，但是當(dāng)且當(dāng)為正偶數(shù)時，此時，，則，，不成等比數(shù)列，故充分性不成立，若，，成等比數(shù)列，當(dāng)時，，成等比數(shù)列，當(dāng)時，，成等比數(shù)列，不妨令，，，，，，顯然滿足，，成等比數(shù)列，但是，，，，，不成等比數(shù)列，故必要性不成立，所以是的既不充分也不必要條件（多選）設(shè)數(shù)列，都是等比數(shù)列，則（

）A．若，則數(shù)列也是等比數(shù)列B．若，則數(shù)列也是等比數(shù)列C．若的前項和為，則也成等比數(shù)列D．在數(shù)列中，每隔項取出一項，組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列仍是等比數(shù)列【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列定義判斷ABD；舉例說明判斷C作答.【詳解】數(shù)列，都是等比數(shù)列，設(shè)公比分別為，對于A，由，得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，A正確；對于B，由，得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，B正確；對于C，令，則，不成等比數(shù)列，C錯誤；對于D，為常數(shù)，D正確【題型12】等比中項的運用已知正項數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和為.【答案】【分析】先判斷出是等比數(shù)列，求得公比，根據(jù)等比數(shù)列前項和公式求得正確答案.【詳解】依題意，正項數(shù)列滿足，所以數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，，由得，由于，所以，由于，所以解得，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項和為.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列，最上面節(jié)的容積之積為，最下面節(jié)的容積之積為，則第節(jié)的容積是.【答案】【分析】設(shè)第節(jié)的容積為，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求得的值，【詳解】現(xiàn)有一根節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列，設(shè)第節(jié)的容積為，則為等比數(shù)列，且，上面節(jié)的容積之積，下面節(jié)的容積之積為，，解得，，第節(jié)的容積為：．設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和為，則“”是“為等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】應(yīng)用等比中項的性質(zhì)，由為等比數(shù)列，解出值，即可判斷.【詳解】依題，“為等比數(shù)列”，所以，得，化簡得，解得，則“”是“為等比數(shù)列”的充要條件.已知正項數(shù)列滿足，，若存在m，，使得，則的最小值為．【答案】64【分析】由題意可知為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求出，然后根據(jù)基本不等式求出最值.【詳解】因為，所以為等比數(shù)列，設(shè)的公比為，又因為，所以，解得或，因為，所以，所以，因為，且m，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以．（多選）在正項等比數(shù)列中，，則（

）A． B．的最小值為1C． D．的最大值為4【答案】AB【分析】AB選項，先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，再利用基本不等式進(jìn)行求解，C選項，先得到，結(jié)合指數(shù)運算及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和基本不等式進(jìn)行求解；D選項，平方后利用基本不等式，結(jié)合進(jìn)行求解.【詳解】正項等比數(shù)列中，，故，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，故A正確；，，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，，時等號成立，此時公比滿足題意，B正確；因為單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時，等號成立，C錯誤；因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，且，解得：，所以，即的最小值為4，故D錯誤.故選：AB（多選）公比為的等比數(shù)列，其前項和為，前項積為，滿足,，.則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】AD【分析】推導(dǎo)出，，，可判斷A選項的正誤；利用等比中項的性質(zhì)可判斷B選項的正誤；由數(shù)列為正項等比數(shù)列可判斷C選項的正誤；由，可判斷D選項的正誤.【詳解】若，則不合乎題意，所以，，故數(shù)列為正項等比數(shù)列，，，，，，所以，故A正確；，故B錯誤；，，所以，數(shù)列為各項為正的遞減數(shù)列，所以，無最大值，故C錯誤；又，，所以，是數(shù)列中的最大項，故D正確.故選：AD.【題型13】等比數(shù)列性質(zhì)判斷與綜合運用(多選)已知等比數(shù)列{an}的公比為q，首項為a，前n項和為Sn，則下列結(jié)論錯誤的是 ()A．若a＞0，則anSn＞0B．若q＞0，則anSn＞0C．若a＜0，則anSn＜0D．若q＜0，則anSn＜0【答案】ACD因為{an}為等比數(shù)列，所以a≠0．當(dāng)q＝1時，an＝a，Sn＝na，故anSn＝na2＞0，當(dāng)q≠1時，an＝aqn－1，Sn＝a(1－qn)1－若q＞1，則qn－1＞0，1－qn＜0，1－q＜0，故anSn＞0，若0＜q＜1，則qn－1＞0，1－qn＞0，1－q＞0，故anSn＞0，若q＜0，則anSn＝a2qn(1－qn)?。?＜q＜0，則當(dāng)n為偶數(shù)時，a2qn(1－qn)＞0，即anSn＜0，當(dāng)n為奇數(shù)時，a2qn(1－qn)＜0，即anSn＞0，故B中結(jié)論正確，A、C、D中結(jié)論錯誤．（多選）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的最大項為 B．?dāng)?shù)列的最小項為C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列【答案】ABC【分析】分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項的正負(fù)和的正負(fù)得到最大項和最小項，知AB正誤；利用和可知CD正誤.【詳解】對于A，由題意知：當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，，，最大；綜上所述：數(shù)列的最大項為，A正確；對于B，當(dāng)為偶數(shù)時，，，最??；當(dāng)為奇數(shù)時，；綜上所述：數(shù)列的最小項為，B正確；對于C，，，，，，，數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；對于D，，，；，，，又，，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯誤.（多選）已知等比數(shù)列的前n項和為，且，是與的等差中項，數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，則下列命題正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的通項公式B．C．?dāng)?shù)列的通項公式為D．的取值范圍是【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件求出等比數(shù)列的公比和首項，進(jìn)而可以求得和；利用裂項相消法可得和，討論數(shù)列的單調(diào)性，即可得出的范圍.【詳解】A：由可得，所以等比數(shù)列的公比，所以.由是與的等差中項，可得，即，解得，所以，所以A正確；B：，所以B正確；C：，所以C不正確；D：所以數(shù)列是遞增數(shù)列，得，所以，所以D正確.故選：ABD.（多選）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項正確的是（

）A．為遞減數(shù)列 B．C．是數(shù)列中的最大項 D．【答案】AC【分析】根據(jù)題意先判斷出數(shù)列的前2022項大于1，而從第2023項開始都小于1.再對四個選項一一驗證：對于A：利用公比的定義直接判斷；對于B：由及前n項和的定義即可判斷；對于C：前項積為的定義即可判斷；對于D：先求出，由即可判斷.【詳解】由可得：和異號，即或.而，，可得和同號，且一個大于1，一個小于1.因為，所有，，即數(shù)列的前2022項大于1，而從第2023項開始都小于1.對于A：公比，因為，所以為減函數(shù)，所以為遞減數(shù)列.故A正確；對于B：因為，所以，所以.故B錯誤；對于C：等比數(shù)列的前項積為，且數(shù)列的前2022項大于1，而從第2023項開始都小于1，所以是數(shù)列中的最大項.故C正確；對于D：因為，所以，即.故D錯誤.故選：AC（多選）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項錯誤的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項 D．【答案】AD【分析】由題意可推出等比數(shù)列公比，判斷A；結(jié)合題意判斷，即可判斷B；判斷等比數(shù)列的增減性，結(jié)合前項積為，可判斷C；利用等比數(shù)列性質(zhì)可判斷D.【詳解】由題意知，即，因為，可得，即等比數(shù)列的各項都為正值，又，故若，結(jié)合可知，則不成立，故，即數(shù)列為遞減數(shù)列，則，A錯誤；因為，故，B正確；由以上分析可知，故是數(shù)列中的最大項，C正確；由等比數(shù)列性質(zhì)可得，，故，D錯誤【題型14】等差數(shù)列與等比數(shù)列混合計算求值已知－2，a1，a2，－8成等差數(shù)列，－2，b1，b2，b3，－8成等比數(shù)列，則eq\f(a2－a1,b2)＝________.【答案】eq\f(1,2)【解析】∵－2，a1，a2，－8成等差數(shù)列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＝－2＋a2，,2a2＝a1－8，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－4，,a2＝－6.))又∵－2，b1，b2，b3，－8成等比數(shù)列，∴beq\o\al(2,2)＝－2×(－8)＝16，∴b2＝4或b2＝－4.由等比數(shù)列隔項同號可得b2＝－4，∴eq\f(a2－a1,b2)＝eq\f(－6－(－4),－4)＝eq\f(1,2).有四個實數(shù)，前3個數(shù)成等比數(shù)列，且它們的積為216，后三個數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為12，求這四個數(shù)．【答案】9，6，4，2【解答】解：設(shè)此前3個數(shù)分別為：，，，，，解得．設(shè)后三個數(shù)分別為：，，．，解得．，，解得，．已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列的前項和，則的值為.【答案】6【分析】設(shè)數(shù)列和的前項和分別為，然后利用分求出，再利用列方程，由對應(yīng)項的系數(shù)相等可求出結(jié)果【詳解】解：設(shè)數(shù)列和的前項和分別為，則（），若，則，則，顯然沒有出現(xiàn)，所以，所以，由兩邊的對應(yīng)項相等可得，解得，所以模塊三其它綜合問題【題型15】周期數(shù)列（重慶·西南大學(xué)附中校聯(lián)考）在首項為1的數(shù)列中，滿足，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【詳解】由可得，由于，所以，，因此為周期數(shù)列，且周期為3，故（重慶巴蜀中學(xué)校考）已知數(shù)列滿足且，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【詳解】由題意數(shù)列滿足，則，故由，得，由此可知數(shù)列的周期為4，故（2023·哈師大附中?？计谥校┰跀?shù)列中，若，，，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】C【詳解】由題意知數(shù)列中，若，，，故，，，，，則為周期為6的周期數(shù)列，故已知數(shù)列滿足，，當(dāng)時，，則數(shù)列的前2023項的和為（

）A．0 B．1 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性及數(shù)列求和，由遞推公式得到，再求出前六項的和為零，最后由周期性求出結(jié)果.【詳解】由題意，得，∴，∴，∴，∴數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列．設(shè)數(shù)列的前n項和為，依題意得數(shù)列的前6項依次為3，2，－1，－3，－2，1，∴，∴．?dāng)?shù)列滿足若，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列定義求出數(shù)列的前幾項后得出數(shù)列是周期數(shù)列，從而求值．【詳解】因為，所以，所以數(shù)列具有周期性，周期為4，所以.數(shù)列滿足，，其前項積為，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依次代入可得是以為周期的周期數(shù)列，由可推導(dǎo)得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；…，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，，.【題型16】數(shù)列中的最值問題已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S82S4=5，則a9+a10+a11+a12的最小值為（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】變換得到S8S4=S4+5，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知S4(S12S8)=(S8S4)2，，再利用均值不等式計算得到答案.【詳解】由題意可得a9+a10+a11+a12=S12S8，由S82S4=5，可得S8S4=S4+5.又由等比數(shù)列的性質(zhì)知S4，S8S4，S12S8成等比數(shù)列，則S4(S12S8)=(S8S4)2.當(dāng)且僅當(dāng)S4=5時等號成立，所以a9+a10+a11+a12的最小值為20.（2023秋·重慶巴蜀中學(xué)校考）已知等差數(shù)列的前n項和為，對任意的，均有成立，則的值的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知得出，公差，然后返和(即)分類計算.【詳解】由題意知是等差數(shù)列的前n項和中的最小值，必有，公差，若，此時，，是等差數(shù)列的前n項和中的最小值，此時，即，則；若，，此時是等差數(shù)列的前n項和中的最小值，此時，，即，則，綜上可得：的取值范圍是已知各項為正的數(shù)列的前項和為，滿足，則通項公式；且的最小值為.【答案】【分析】利用與的關(guān)系式，得到，即可判斷數(shù)列是等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的通項公式、前項和公式結(jié)合基本不等式，即可得出答案.【詳解】由各項為正的數(shù)列，，，，時，，化為：，，，又，解得.數(shù)列是等差數(shù)列，首項為1，公差為2.，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.正項等比數(shù)列滿足：，若存在兩項、，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合求得，再由可得，結(jié)合基本不等式“1”的妙用可求當(dāng)、時，取得最小值，則需逐一驗證值，進(jìn)而得出最值.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，∵，∴，∴，即，解得，∵，∴，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即、時，取得最小值，又，∴，只能逐一驗證，當(dāng)、時，；當(dāng)、時，；當(dāng)、時，；當(dāng)、時，；當(dāng)、時，，∴的最小值為.【題型17】數(shù)列新定義問題2021新高考2卷T12（多選）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.【詳解】對于A選項，，，所以，，A選項正確；對于B選項，取，，，而，則，即，B選項錯誤；對于C選項，，所以，，，所以，，因此，，C選項正確；對于D選項，，故，D選項正確.