第05講 一元二次方程的實際應用（原卷版）

第05講一元二次方程的實際應用課程標準學習目標①列一元二次方程解實際應用題的基本步驟②列一元二次方程解實際應用題的基本類型掌握列一元二次方程解實際應用題的基本步驟。掌握列一元二次方程解實際應用題的基本類型，熟練應用各種類型的基本計算公式。知識點01傳播問題列一元二次方程解應用題的步驟：①審：理解題意，明確、以及它們之間的數(shù)量關系．②設：根據(jù)題意，可以直接設未知數(shù)，也可以間接設未知數(shù)．③列：根據(jù)題中的等量關系，用含所設未知數(shù)的表示其他未知量，從而列出方程．④解：準確求出方程的解．⑤驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．⑥答：寫出答案。傳播問題：計算公式：。題型考點：①根據(jù)解題步驟把實際問題抽象出一元二次方程。②根據(jù)解題步驟列方程解決實際問題?！炯磳W即練1】1．進入2022年秋冬季以來，全國疫情呈現(xiàn)多點爆發(fā)，感染人數(shù)急速增長的新趨勢，而此次疫情主要由奧密克戎變異株引起．據(jù)調(diào)查，奧密克戎變異株的主要特點是致病性減弱，但傳播速度更快，傳染性更強．在對該病毒的流行性病學調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，在不加任何防護措施的情況下，若1人患病，經(jīng)過兩輪感染后患病人數(shù)竟高達324人，則每輪感染中，1個人會平均感染多少人？若設每輪感染中，1個人會平均感染x個人，則下列方程正確的是（）A．1+x+x2＝324 B．（1+x）2＝324 C．1+x+（1+x）2＝324 D．x+（1+x）2＝324【即學即練2】春節(jié)過后，甲型流感病毒（以下簡稱：甲流）開始悄然傳播，某辦公室最初有三人同時患上甲流，經(jīng)過兩輪傳播后，辦公室現(xiàn)有27人確診甲流，請問在兩輪傳染過程中，平均一人會傳染給幾個人？知識點02比賽（握手）問題比賽（握手）問題：計算公式：單循環(huán)（兩兩之間比賽（握手）一次）：。雙循環(huán)（兩兩之間比賽（握手）兩次）：。題型考點：①根據(jù)解題步驟把實際問題抽象出一元二次方程。②根據(jù)解題步驟列方程解決實際問題?！炯磳W即練1】3．某乒乓球比賽的每兩隊之間都進行1場比賽，共要比賽28場，設共有x支球隊參加該比賽，則符合題意的方程是（）A．x2＝28 B．x2＝28×2 C． D．x（x﹣1）＝28×2【即學即練2】4．某校要組織一場籃球聯(lián)賽，每兩隊之間都賽2場（雙循環(huán)），計劃安排30場比賽，設有x支球隊，可列方程為（）A．x（x+1）＝60 B．x（x﹣1）＝30 C．x（x+1）＝15 D．x（x﹣1）＝60【即學即練3】5．某校九年級學生畢業(yè)時，每個同學都將自己的相片向全班其他同學各送一張留作紀念，全班共送了1640張相片，全班有多少名學生？【即學即練4】6．為增強學生身體素質(zhì)，提高學生足球運動競技水平，某市開展“希望杯”足球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間賽一場）．現(xiàn)計劃安排21場比賽，應邀請多少個球隊參賽？知識點03數(shù)字問題數(shù)字問題：數(shù)字問題：個位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個兩位數(shù)表示為。題型考點：①根據(jù)解題步驟把實際問題抽象出一元二次方程。②根據(jù)解題步驟列方程解決實際問題?！炯磳W即練1】7．讀詩詞，列方程：大江東去浪淘盡，千古風流人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符．（詩詞大意：周瑜英年早逝，逝世時的年齡是一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字小3，個位數(shù)字的平方剛好是周瑜逝世時的年齡），設周瑜逝世時的年齡的個位數(shù)字為x，則列出的方程正確的是（）A．10x+（x﹣3）＝x2 B．10（x﹣3）+x＝x2 C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2【即學即練2】8．一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字的平方小9，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，得到的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)小27，求原來的兩位數(shù)．知識點04平均增長率（下降率）問題平均增長率（下降率）問題：計算公式：平均增長類型：。平均下降類型：。題型考點：①根據(jù)解題步驟把實際問題抽象出一元二次方程。②根據(jù)解題步驟列方程解決實際問題?！炯磳W即練1】9．根據(jù)福建省統(tǒng)計局數(shù)據(jù)，福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為53109.85億元．設這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程（）A．43903.89（1+x）＝53109.85 B．43903.89（1+x）2＝53109.85 C．43903.89x2＝53109.85 D．43903.89（1+x2）＝53109.85【即學即練2】隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．（1）求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；（2）預計5月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？知識點05商品銷售問題（每每問題）商品銷售問題（每每問題）：計算公式：總利潤＝單利潤×數(shù)量現(xiàn)單利＝原單利＋漲價部分（原單利－降價部分）現(xiàn)數(shù)量＝原數(shù)量－（原數(shù)量＋）特別說明：題目中出現(xiàn)的價格每上漲（下降）a數(shù)量會變化b，其中a為漲價（降價）基礎，b為變化基數(shù)。題型考點：①根據(jù)解題步驟把實際問題抽象出一元二次方程。②根據(jù)解題步驟列方程解決實際問題?！炯磳W即練1】11．某商場銷售一款T恤，進價為每件40元，當售價為每件60元時，平均每周可賣出200件，為擴大銷售，增加利潤，商場準備降價銷售．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件每降價1元，平均每周可多賣出8件，若要使每周銷售該款T恤獲利8450元，設每件降低x元，則可列方程為（）A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450【即學即練2】12．世界讀書日是在每年的4月23日，“世界圖書日”設立目的是推動更多的人去閱讀和寫作，希望所有人都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻的文學、文化、科學、思想大師們，保護知識產(chǎn)權(quán)．某批發(fā)商在世界讀書日前夕，訂購了一批具有紀念意義的書簽進行銷售，平均每天可售出500張，每張可獲利0.5元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每張書簽的售價每降價0.1元，平均每天可多售出200張．批發(fā)商要想平均每天獲利270元，求每張書簽應降價多少元．知識點06圖形面積問題圖形面積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關系列一元二次方程。題型考點：①根據(jù)解題步驟把實際問題抽象出一元二次方程。②根據(jù)解題步驟列方程解決實際問題?！炯磳W即練1】13．如圖，某校生物興趣小組用長為18米的籬笆，一面利用墻（墻的長度足夠），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃ABCD，為了方便出入，建造籬笆花圃時在BC邊留了寬為1米的兩個進出口（不需材料），若花圃的面積剛好為40平方米，設AB的長為x米，則可列方程為（）A．x（18﹣3x）＝40 B．x（20﹣2x）＝40 C．x（22﹣3x）＝40 D．x（20﹣3x）＝40【即學即練2】14．如圖，某學校有一塊長30m，寬10m的長方形空地，計劃在其中修建兩塊相同的長方形綠地，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道．若兩塊長方形綠地的面積共216m2，求人行通道的寬度．題型01商品銷售問題（每每問題）【典例1】服裝批發(fā)市場有一批服裝，如果每件盈利50元，每天可售出500件．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每件漲價1元，日銷量將減少2件．（1）若以每件能盈利70元的單價出售，每天的總利潤為多少元？（2）現(xiàn)市場要保證每天總利潤40000元，同時又要使顧客得到實惠，則每件應漲價多少元？【典例2】“早黑寶”葡萄品種是山西省農(nóng)科院研制的優(yōu)質(zhì)新品種，在山西省被廣泛種植．某市某葡萄種植基地到2018年年底已經(jīng)種植“早黑寶”100畝，到2020年年底“早黑寶”的種植面積達到196畝．（1）求該基地這兩年“早黑寶”種植面積的年平均增長率；（2）市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當“早黑寶”的售價為20元/千克時，每天能售出200千克，銷售單價每降低1元，每天可多售出50千克，為了減少庫存，該基地決定降價促銷．已知該基地“早黑寶”的平均成本為12元/千克，若使銷售“早黑寶”每天可獲利1750元，則銷售單價應降低多少元？【典例3】4月10﹣13日習近平總書記在廣東考察時強調(diào)：推進中國式現(xiàn)代化，必須全面推進鄉(xiāng)村振興，解決好城鄉(xiāng)區(qū)域發(fā)展不平衡問題，產(chǎn)業(yè)振興是鄉(xiāng)村報興的重中之重，要落實產(chǎn)業(yè)幫扶致策，做好“土特產(chǎn)”文章，網(wǎng)絡直播帶貨助力鄉(xiāng)村振興，它作為一種新穎的銷售“土特產(chǎn)”的方式，受到社會各界的追捧，某直播間銷售某種“土特產(chǎn)”，每袋獲利40元，每天可賣出20袋，通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每袋“土特產(chǎn)”的售價每降低1元，每天的銷售量就增加2袋．（1）若每袋“土特產(chǎn)”的售價降低6元，求每天的銷售量．（2）為盡快減少庫存，商家決定降價銷售，若要使得每天獲利1200元，則每袋“土特產(chǎn)”的售價降低了多少元？1．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒未進行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有256人患新冠肺炎，設每輪傳染中平均每個人傳染了x人，則根據(jù)題意可列出方程（）A．x（1+x）＝256 B．x+（1+x）2＝256 C．x+x（1+x）＝256 D．1+x+x（1+x）＝2562．2023年某電影上映的第一天票房為2億元，第二天、第三天單日票房持續(xù)增長，三天累計票房為6.62億元，若第二天、第三天單日票房按相同的增長率增長，設平均每天票房的增長率為x，則根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A．2（1+x）＝6.62 B．2（1+x）2＝6.22 C．2（1+x）+2（1+x）2＝6.62 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.623．為大力實施城市綠化行動，某小區(qū)規(guī)劃設置一片面積為1000平方米的矩形綠地，并且長比寬多30米，設綠地長為x米，根據(jù)題意可列方程為（）A．x（x+30）＝1000 B．x（x﹣30）＝1000 C．2x（x+30）＝1000 D．2x（x﹣30）＝10004．為豐富鄉(xiāng)村文體生活，某區(qū)準備組織首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排28場比賽，設邀請x個球隊參加比賽，可列方程得（）A． B． C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝285．某商品的進價為每件40元，當售價為每件60元時，每星期可賣出200件，現(xiàn)需降價處理，且經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價1元，每星期可多賣出8件，店里每周利潤要達到8450元．若設店主把該商品每件售價降低x元，則可列方程為（）A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（20﹣x）（200+40x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝84506．一個兩位數(shù)的兩個數(shù)字的和為9，把這個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字互換得到一個新的兩位數(shù)，它與原兩位數(shù)的積為1458，設原兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，則可列方程（）A．[（9﹣x）+x][10x+（9﹣x）]＝1458 B．[（9﹣x）+x][x+（9﹣x）]＝1458 C．[10（9﹣x）+x][10x+（9﹣x）]＝1458 D．[10（9﹣x）+x][x+（9﹣x]＝14587．如果不防范，病毒的傳播速度往往很快，有一種病毒1人感染后，經(jīng)過兩輪傳播，共有361人感染．（1）平均每人每輪感染多少人？（2）第二輪傳播后，人們加強防范，使病毒的傳播力度減少到原來的a%，這樣第三輪傳播后感染的人數(shù)只是第二輪傳播后感染人數(shù)的10倍，求a的值．8．2022年北京冬奧會冰壺混雙項目在國家游泳中心“冰立方”開賽，中國混雙球隊參加了比賽，賽制為單循環(huán)比賽（每兩隊之間都賽一場）．（1）如果有6支球隊參加比賽，那么共進行場比賽；（2）如果一共進行45場比賽，那么有多少支球隊參加比賽？9．閱讀材料，回答下列問題：反序數(shù)：有這樣一對數(shù)，一個數(shù)的數(shù)字排列完全顛倒過來變成另一個數(shù)，簡單的說，就是順序相反的兩個數(shù)，我們把這樣的一對數(shù)稱為“反序數(shù)”，比如：12的反序數(shù)是21，456的反序數(shù)是654．用方程知識解決問題：若一個兩位數(shù)，其十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大3，這個兩位數(shù)與其反序數(shù)之積為1300，求這個兩位數(shù)．10．為響應國家全民閱讀的號召，社區(qū)鼓勵居民到社區(qū)閱覽借閱讀書，并統(tǒng)計每年的借閱人數(shù)和圖書借閱總量（單位：本）．該閱覽室在2017年圖書借閱總量是7500本，2019年圖書借閱總量是10800本．（1）求該社區(qū)的圖書借閱總量從2017年至2019年的年平均增長率；（2