【高考數(shù)學(xué)試卷解析】2022全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)詳細(xì)解析版

2022全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)解析版

選填答案速遞版

12345678910111213141516

CBDBABI.)BCACA6

百V3-1

11V35

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（2022甲理1）已知復(fù)數(shù)z=-l+6i，則二一=（）

ZZ—1

1n1八

A.-1+V3zB.-1-V3zC.-—+—/D.------z

3333

【思路引導(dǎo)】由共軌復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得解.

【參考解析】因?yàn)?=-1+，^,所以它=（一1）2+的1=4,

ZZ

所以+—故選C.

ZZ-1333

【復(fù)數(shù)小公式】zz=a12+3b2

2.（2022甲理2）某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解

講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾

分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：

100%

95%

90%

裕85%

營(yíng)80%*講座前

周75%?講座后

70%..............*........

65%....*..................*

60%*.........亦..................................

0III1II1I1

12345678910

居民編號(hào)

則

A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【思路引導(dǎo)】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.

【參考解析】

175%

講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)等于=72.5%,故A錯(cuò)；

2

顯然講座后問(wèn)卷答題的正確率只有一個(gè)低于85%,且為80%,而別的都大于等于

85%,只需要拿一個(gè)來(lái)95%抵消80%,顯然顯然講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于

85%,不用計(jì)算即可選B,進(jìn)入下一題.

【考后分析】

講座前問(wèn)卷答題的正確率更加分散，所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后

正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所以C錯(cuò);

講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為1()0%-80%=20%,

講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%，所以D錯(cuò).

3.(2022甲理3)己知全集。={-2,—1,0,1,2,3},A={-1,2},B=卜|/一以+3=()},

則Q(AUB)=

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【思路引導(dǎo)】解方程求出集合B,再由集合的運(yùn)算即可得解.

【參考解析】選D

4.（2022甲理4）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形

的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為

【思路引導(dǎo)】由三視圖還原幾何體，再套體積公式即可得解.

【參考解析】易知由一個(gè)正方體和一個(gè)三棱柱組成，如圖:

所以V=2x2x2+'x2x2x2=12,故選B.

2

5.（2022甲理5）函數(shù)片仗-37卜osx在區(qū)間-工，工的圖像大致為

v'22

【思路引導(dǎo)】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.

【參考解析1】顯然是奇函數(shù)（y=3'-3T為奇函數(shù)，y=cosx是偶函數(shù)，奇乘偶等

于奇），故排除BD,/圖>0,故排除C,選A.

【參考解析2】顯然是奇函數(shù)，故排除BD,當(dāng)xf0+時(shí)，f（x）f0+,故排除C,選

A.

6.(2022甲理6)當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/(x)=alnx+2取得最大值—2,則/<2)=

X

A.—1B.C.—D.1

22

【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知/（1）=-2,r（i）=o即可解得。,人，再根據(jù)/‘（X）即可解出.

【參考解析】

易知/'（x）=0—3，

XX

/⑴=-2b=-2

依題有<

r⑴=。a-b=0=

所以尸（X）=，+=，所以r（2）='+±=—故選B.

x廠242

7.（2022甲理7）在長(zhǎng)方體ABCO-Aq中，已知耳。與平面A3C。和平

面所成的角均為30。.則

A.AB^2ADB.A3與平面ABC。所成的角為30°

c.AC=CBiD.耳。與平面BBCC所成的角為45。

【參考解析】

由線面角的角度關(guān)系知，上圖所示，易知AB=AD,故A錯(cuò);

A3與平面A4G。所成的角為45°,故B錯(cuò)；

AC=島,CB、=區(qū),故C錯(cuò)；

綜上，選D.

【思路引導(dǎo)2】根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【參考解析2】

如圖所示：

不妨設(shè)===c,依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，自。與平面ABC。所

cb

成角為NBQB,耳。與平面446乃所成角為所以sin30°=苒有二有項(xiàng)，即

4unjj

b=c,8Q=2c=，？+/+/,解得4=血,.

對(duì)于A,AB=a,AD=b,AB=6AD.A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,過(guò)B作于￡,易知8￡_L平面AgCQ,所以A5與平面AgG。所成

角為4BAE，因?yàn)閠anNBAE=￡=立，所以NBAEH3()0，B錯(cuò)誤；

a2

對(duì)于C，AC=+/?2CBI=J。?+c、2=J5c，ACwCB],C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,g。與平面8月。。所成角為/。4。，sinZDB,C=-^=—=—,而

BQ2c2

0<ZDBlC<90\所以NO8C=45°.D正確.

故選：D.

8.(2022甲理8)沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了

計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”.如圖，AB是以。為圓心，為半徑的圓弧，。是

AB的中點(diǎn)，。在AB上，。。，48.''會(huì)圓術(shù)''給出48的弧長(zhǎng)的近似值5的計(jì)算

CD2

公式：s=AB+上2.當(dāng)。4=2,NAO8=60P時(shí)，s=

OA

【思路引導(dǎo)】連接OC,分別求出AB,OC,CD,再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【參考解析】

D

連接OC,則BC=1,AB=2,CO=BCD=2-73,

所以s=AB+空=2+但二垃=上迪，故選B

OA22

9.(2022甲理9)已知兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，展開(kāi)側(cè)面圖的圓心角之和為2不，兩個(gè)圓錐

的側(cè)面積分別為S甲，S乙，體積分別為%,%,若^^=2,則氏=()

s乙v乙

A.75B.272C.屈D.8U.

4

【思路引導(dǎo)】設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為彳，乙圓錐底面圓半徑為弓，根據(jù)圓錐的側(cè)

面積公式可得4=2弓，再結(jié)合圓心角之和可將弓，弓分別用/表示，再利用勾股定理分別求

出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【參考解析】

分別設(shè)兩個(gè)圓錐的半徑為缶弓，設(shè)母線長(zhǎng)為/,

所以2町=/4=出，

同理。2=2^，依題有a+。2=彳~+2^2=2乃=6+弓=/，①

又因?yàn)榭h=2,所以皿=2=4=2G，②

S27TT2l

21I

聯(lián)立①②解得4

X.2

所以

%亂為

故選c.

22

%

10.（2022甲理10）已知橢圓C：『+乒=1（a>b>0）的左頂點(diǎn)為A,P,Q均在C上,

且關(guān)于y軸對(duì)稱，若直線AP,AQ的斜率之積為：，則橢圓的離心率為（）

V3V2八1c1

A.一B.一c.-D.-

2223

根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再

【思路引導(dǎo)】設(shè)尸（司，y）,則Q（—七,乂）H

根據(jù)工+工=1,將弘用為表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.

ab-

【參考解析】

又是課上推導(dǎo)過(guò)的結(jié)論，-=l-e2=>e=—.

42

但是不會(huì)推導(dǎo)你自然對(duì)秒殺二級(jí)結(jié)論記憶不牢，所以猴哥還是建議大家學(xué)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程

吧！只學(xué)秒殺最終害的是你自己哦.

設(shè)A（-a,O）,尸（王，弘），則。（一

所以加以=在

_2I___2L_①

2

a—x}a-x}

r2..2r2222

②

a2b2a2b21b2

將②代入①得：［與］2

KP-kAQ=-AT=y：?=^=\-e.

a"-x,yay}Ja

所以工=1一/=>e=.

42

【細(xì)節(jié)糾錯(cuò)】

11.（2022甲理11）已知/（x）=sin[3X+?J（（y>0）在（0,7）上恰有三個(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)零

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)切的取值范圍為（）

【參考解析】

由圖知，萬(wàn)+工43%=U<啰<號(hào).故選c

2363

3111

12.(2022甲理12)己知。=一，b-cos—,c=4sin—,貝(I()

3244

A.c>h>aB.h>a>cC.a>h>cD.a>c>h

【參考解析1]

3111

比較”=上，〃=cos上，c=4sin上的大小關(guān)系.

3244

同樣由上面的切線放縮知x<tan0<x<1)

,-1

r4smi]i

而一二----^=4tan—>4x—=1,所以

b144

cos-

4

x

由上面的切線放縮知，1------<cosx,

2

令x=則有1-lx」-Kcos工，所以b〉a,

42164

綜上，c>h>a.

【參考解析2】

3111

比較a='，b^cos-,c=4sin上的大小關(guān)系.

3244

由三角函數(shù)線易知:tanx>x>sinX0<x<—

【2

.1

g“人111SU141A-]1,

所以令x=—=>tan—>—=>----^>—=>4sin—>cos—=>c>h,

444cos1444

4

而cosx=l-2sin2±>1-二，

22

w2

令工=工1，則有'cos’1〉1一141二衛(wèi),所以。>Q,

44232

綜上，c>h>a.

【參考解析3】

()

St:b-a:/(x)=cos.v-I-sfrrx+x>0,X€0.1

=f(x)=/(x)>，((T)=0=b>a;

1(M.V>

$3:'->x9xe，吟))neb;

4

S”>1xu/(x)?9加“一上+；上3>0

F(x)?wsx-1+1x:,F(x)--siwx+3x>-x+3x>0=>F(x)/.F(x)>尸'(0*)=0

=F(x)Z,/rCv)>F(0*)=0=>c>n;

【濡港】泰勒/itsinx,coxx

【反思與總結(jié)】詳細(xì)證明過(guò)程見(jiàn)視頻解說(shuō)哦.當(dāng)然也可以直接用泰勒展開(kāi)，但是作為高中生,

還是多學(xué)學(xué)證明過(guò)程哦.

13.（2022甲理13）已知向量2,B的夾角的余弦值為:，同=1,慟=3,則

（2a+BB.

【思路引導(dǎo)】設(shè)￡與B的夾角為。，依題意可得cos6=；,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出7B，

最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

【參考解析】仿+B）石=21石+戶=2同1層+9=11.

14.（2022甲理14）已知雙曲線F__=1（機(jī)〉0）的漸近線與圓/+/一4>+3=（）相切，

則加=.

【思路引導(dǎo)】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)

與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可.

【參考解析】

x=±m(xù)y=>±m(xù)y-x=0,

而圓為x2+（y-2）2=1,所以圓心為（0,2）,半徑為1,

因?yàn)橄嗲?，所?2/77=in;心,°〃=片.

Vm2+13

【反思與總結(jié)】注意雙曲線的焦點(diǎn)是上下的情況哦.

15.（2022甲理15）從正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為

【思路引導(dǎo)】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出.

【參考解析】

首先總的取法為C；=70種，

①正方體有6個(gè)面，故此時(shí)共面的取法有6種；

②正方體有12條棱，如下圖一樣，兩兩組隊(duì)，則此時(shí)共面的取法也有6種;

m,八126

所以P=—=—

7035

16.（2022甲理16）在AABC中，點(diǎn)。為BC上一點(diǎn)，若乙4。3=120°,4。=2,

CD=2BD,當(dāng)空取得最小值時(shí)，BD=

AB

【參考解析1】

余弦定理、平方法、分離常數(shù)法、換元法、基本不等式

由上圖所示，

在AACD中，由余弦定理由AC?=4產(chǎn)+4—4人

在△A5D中，由余弦定理由=產(chǎn)+4+21,

AC~.t~+\—t廣+2r+4—3f—3._t+\

所r以r——-=4x----------=4x----------------------=4xl-3x

AB~廣+2f+4廣+2f+4（/+2r+4

AC?_4r+44r_（4〃+8f+16）—127—12._才+1

或=4-12x-----------

*+2/+4/+2f+4t+2t+4

令，+1=〃，則令，=力一1,

所以

hh

/（/z）=4-12x=4-12x=4-12x—1—>4-12x—L

（A-l）2+2（/z-l）+4A2+3〃+°2g

h

當(dāng)且僅當(dāng)〃=』，即〃=百，所以如=，=當(dāng)一1

h

【參考解析2】余弦定理、暴力求導(dǎo)法

由上圖所示,

在AACD中,由余弦定理由AC?=4/+4—4b

在澳⑶。中,由余弦定理由A*=〃+4+2f,

AC2=4xJ+1T令外八="+1T

所以

AB2產(chǎn)+2f+4『+2f+4

2

則外）t+l-t3\r+2t-2

2

產(chǎn)+21+4（t+2t+4f'

令/。=（）=>t=-1+V5或/=-1-V5（舍）.

所以3。=/=6一1

【參考解析3】余弦定理、萬(wàn)能K法與判別式法、方達(dá)定理

由上圖所示，

在AACD中，由余弦定理由AC2=4〃+4—4人

在ZSABD中，由余弦定理由AB2=*+4+2/，

AC2t2+l-t

所以=4x

7B7產(chǎn)+27+4

r+1—/r+l-t

令左二；（此處也可以整體把令2=4x）,

t-+2t+4f+2t+4

則（左一1）2+（2后+1>+4%一1=0,

故A=（2女+1）2—4（女一1、4%—l）NOn^^〈女,

所以益做=心叵，此時(shí)由韋達(dá)定理知2/=—竺擔(dān)—1

m，n2k-\

所以8。=，=百一1.

【參考解析4】雙勾股定理

如圖所示，可以不用余弦定理，在兩個(gè)直角三角形中用勾股定理也可以算出相應(yīng)的AC-

與AB?，后面解析同.

【參考解析5】建系法1

如圖，可以這樣建系后用兩點(diǎn)的距離公式來(lái)算AC?與A3,

易知B（T,O）,C⑵,0）,A（1,V3）,

..AC~（2/—1+3

所以——7=）————，?.面解析同

AB2（Z+1）2+3

【參考解析6】建系法2

如圖，還可以這樣建系后用兩點(diǎn)的距離公式來(lái)算AC2與AB2,

易知3（—f—1,0）,C⑵—1,0）,A（0,g），

WAC~（2z—1）+3J/.jj,r-l=）

所以--=-7~——，后血解析同.

AB-（Z+l）2+3

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答.

（一）必考題：共60分.

2c

17.（2022甲理17）記5“為數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和.已知—+〃=24+1；

n

（1）證明：｛%｝為等差數(shù)列；

（2）若4，%，。9成等比數(shù)列，求s“的最小值.

【答案速遞】（1）證明見(jiàn)解析；（2）-78.

【思路引導(dǎo)I]

（5],〃=1

（1）依題意可得25“+〃2=2〃4+〃，根據(jù)4=｛1力作差即可得到

電-“,”之2

a「a,i1,從而得證;

(2)由(1)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出%,即可得到｛4｝的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和，再根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【參考解析1】

2S

(1)因?yàn)橐?+n=2a+1=>2S+n2=2na+n,①

nnnn

"I"22時(shí)，2S“_1+(〃—1)~=2(〃—+〃—1,(5)

①減②得,2an+2n-l=2nan-2(n-+1,

整理化簡(jiǎn)得2(〃-1)=2(〃-1>?-2(〃-1>?,1,

因?yàn)榈吨?,所以有

在①中，令〃=2化簡(jiǎn)的出一％=1，

所以｛4｝為等差數(shù)列，且公差為1.

(2)因?yàn)椤?，。7，。9成等比數(shù)列，

所以片=a4a<)=(4+6d1=(4+34如+8")=4=-12,

因?yàn)椤℅N*,所以當(dāng)〃=12或N=13,

S”取得最小值，且最小值為—78.

【思路引導(dǎo)2】

(1)依題意可得2S“+〃2=2〃4“+〃，遞增寫一項(xiàng)，作差即可得到a,用一%=1,故得證;

(2)令a“=0n〃=13,所以可求最小值.

【參考解析2】

2v

(1)因?yàn)椤?+/1=2a+1=>2S-\-rr—2na+n,①

nnnn

所以2szi+i+(n+Ip=2(〃+用+力+1,②

②減①得,2aw+1+2〃+1=2(〃+1,用-2nan+1,

整理化簡(jiǎn)得2n=2nan+｝-2nan,

因?yàn)椤℉O,所以有為+]—%=1，

所以｛%｝為等差數(shù)列，且公差為1.

(2)因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，

所以d=a4a9=(〃i+6d)2=(4+3d)(4+8d)=>4=-12,

所以a〃=4+(〃一l)d=〃-13,

令?！?0=>〃=13,

因?yàn)椤╟N”,所以當(dāng)力=12或〃=13,

S?取得最小值，且最小值為。3=（。節(jié)3.13=_

78

【細(xì)節(jié)糾錯(cuò)】快手：nice思

18.（2022甲理18）在四棱錐P—ABCD中，PDX.底面ABCD,

CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.

P

B

A

（1）證明

（2）求P。與平面所成的角的正弦值.

【答案速遞】（1）證明見(jiàn)解析；（2）好.

5

【思路引導(dǎo)】

(1)作DELAB于E，。尸，4夕于尸，利用勾股定理證明AD，80,根據(jù)線面垂直

性質(zhì)可得尸D_LBD，從而可得80J■平面B4￡),再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

(2)以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.

【參考解析】

(1)

證明1：在四邊形ABCD中，作。E_LM于E，CF_LA5于尸，

因?yàn)镃D//A8,AO=Cr>=CB=l,AB=2,所以四邊形ABC。為等腰梯形，

所以AE=BF=；，故。6=卓，BD=NDE?+BE?=存

所以+=A8?，所以AD_L8D，

因?yàn)镻D_L平面ABCD,8E>u平面ABC。，所以P￡>_LM，

又PDcAD=D，所以BOJ_平面240，

又因Q4u平面PAD,所以BD1.Q4；

證明2：

如上圖所示，所示，取A3的中點(diǎn)為E,連接OE,

因?yàn)镃Z)〃AB,4D=￡)C=CB=1,A8=2,

所以易知CD//EB,所以四邊形。CBE是平行四邊形,

所以。E=CB=—AB,又因?yàn)镋是43的中點(diǎn)，

2

所以NAOB=90。，即BD1.D4,

又因?yàn)榈酌鍭BC。，且BDu平面A3CD,所以5￡>_LFD,

而ZM，P￡）=。且ZM、PDu平面PAD,

所以BO_L平面PA。,

又因?yàn)镻4u平面PA。，所以PA.

（2）由（1）及題目條件易知，DA,DB,0P兩兩互相垂直,

故可建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

易知BD=ylAB2-Ab1=V3,

所以"（）,（）,0），￡>（0,0,0）,A（l,0,0）,B（0,V3,0）,

所以說(shuō)（3,73,-73）,

設(shè)平面PA6的一個(gè)法向量用=（x,y,z）,

m-PA^Ox-V3z=0

則有■令x=6,則有沅=（6u）,

m?PB-0V3x-V3z=0

設(shè)P。與平面P43所成的角為6,

PDmV5

則sin?=cos,PD,m

V

所以PD與平面P45所成的角的正弦值為里.

19.（2022甲理19）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)

目勝方得1（）分，負(fù)方得（）分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校

獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目

的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

【答案速遞】（1）0.6；⑵分布列見(jiàn)解析，E（X）=13.

【思路引導(dǎo)】

(1)設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為A,B,C,再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個(gè)項(xiàng)

目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出；

(2)依題可知，X的可能取值為0/0,20,30,再分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，

即可求出期望.

【參考解析】

(1)設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.()4=0.6.

(2)易知X可取()，10,20,30,

因?yàn)楦黜?xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，

所以所(x=o)=0.5x0.4x0.8=0.16,

P(X=10)=(1-0.5)X0.4X0.8+0.5x(l-0.4)x0.8+0.5x0.4x(1-0.8)=0.44,

P(X=20)=(1-0.5)x(l-0.4)x0.8+(l-0.5)x0.4x(l-0.8)+0.5x(l-0.4)x(l-0.8)=0.34

p(X=30)=(l-0.5)x(l-0.4)x(l-0.8)=0.06,

所以X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

所以E（X）=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13,

所以X的期望是13.

20.(2022甲理20)設(shè)拋物線C:y2=2pM0>0)的焦點(diǎn)為八點(diǎn)O(p,0),過(guò)戶的

直線交。于M，N兩點(diǎn).當(dāng)直線MO垂直于x軸時(shí)，耳=3.

(1)求。的方程;

(2)設(shè)直線MO,ND與。的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的

傾斜角分別為a，夕.當(dāng)a-月取得最大值時(shí)，求直線A3的方程.

【參考解析】

(1)

解法1：因?yàn)橹本€垂直于x軸，所以“的橫坐標(biāo)=〃，

又拋物線的定義知月=p+^,

又因?yàn)閨M^=3,所以“+5=3=〃=2,

所以C的方程為y2=4x.

解法2：

因?yàn)橹本€”。垂直于》軸，所以在V=2px中，令》=2，則有式,=2p2,

易知產(chǎn)(§0),因?yàn)楫?3,所以+蟾=3，

解得p=2,所以C的方程為：/=4%.

(2)

解法1：

設(shè)N(x2,y2),A-,%)，M%%)，

顯然過(guò)尸的直線斜率不為零，故可設(shè)為：x=my+l,

若機(jī)=1,則由對(duì)稱性易知&=力=90°,所以止匕時(shí)a—6=0.

V2=4%

聯(lián)立｛7消x得/一4,2一4=0,

x=my+l

顯然△>()恒成立，

由韋達(dá)定理得%%=4m，=-4.

而tana=kMN==七-八2=-"-=—，

々一XA_2L%+Mm

44

同理tan夕=kAB=-------

另一方面，因?yàn)镸,A,。三點(diǎn)貢獻(xiàn),

M_y4f

所以由——zy4

kMD=kAD=>22ny”=一8,

Xj—2%-2M)>4,

----乙------乙

44

同理可得y2y3=-8，

所以tan/?=--=一一=—

+2(y+%)2m

X%

若加<(),則tana<tan￡<0,由正切函數(shù)的單調(diào)性知。一萬(wàn)<0,故不是最大情況》

下面分析加>0,

此時(shí)tan(a-⑶='anaTan.=q二勺=—L-

l+tanatan〃l+l.±2m+-

m2mm

所以tan(a—/)=——，-

2m~\——

m

5

當(dāng)且僅當(dāng)工=2m，即加=注時(shí)取得等號(hào),

m2

所以tan,=—,

設(shè)AB的中點(diǎn)為G,則:^二內(nèi)衛(wèi)=？/］，%=矢■叢=8,

所以直線A8的方程為：y=3(x—8)+2j5

即y=-yx-2V2或x--4=0.

所以當(dāng)。一〃最大時(shí)，心8=白，設(shè)直線45:1=血丁+〃，

代入拋物線方程可得丁一4夜y-4n=0,

△>0,y3y4=-4/?=4=-16,所以〃=4,

所以直線AB的方程為丁=e-%-2五或x-痣y-4=0.

解法2：(湖南葉和納老師提供)

7。當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，此時(shí)48斜率也不存在，

7T

放MN/AB、此時(shí)a=￡=s，故a—￡=0.

②當(dāng)直線MV的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線MV：4x-G]+y2)y+y\y2=0,直線4B：4A-(y3+y4)y+y3y4=0.

設(shè)直線M4：4x-(y[+為),+]仍=0,直線ND：4.x-+y4)y+?加=0.

因?yàn)橹本€MV過(guò)F，所以串戶=一4,2=」—.

?M+必

因?yàn)橹本€MA,ND過(guò)。，所以)\y3=-8,,必=-8,

目r以VjI4=-16,,3=—，v*4=-,

'>1%

421

所以直線HB：4x-2(>1+v2)y-16=0,所以上好=—--=—^—=±k如.

'2(“+乃)乂+以2?

此時(shí)直線MN與直線4的傾斜方向相同，且|a-向<],設(shè)kg,=k,

所以tan(a-0=>^^=~^=-^=4s-V，

l+tanatan￡\+2+K三十上2^2

2k

當(dāng)且僅當(dāng)7=k，即上=應(yīng)時(shí)等號(hào)成立，所以必+乃=20,

故直線AB：x--^2y-4=0.

【點(diǎn)睛點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程對(duì)斜率進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)問(wèn)

的關(guān)系.

21.(2022甲理21)己知/(x)=^——lnx+x-a.

x

(1)若/(x)2O,求實(shí)數(shù)4的取值范圍：

(2)若函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)七，x2,求證：x,x2<1.

【答案速遞】(1)(-8,e+l]；(2)證明見(jiàn)的解析

【思路引導(dǎo)】

(1)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；

【參考解析】

(1)

因?yàn)?(x)=x+x-a，定義域尤>0，

x

所以;(6=±1]紀(jì)+1],

令廣(x)>0nx>l,f\x)<0=>0<x<1,

所以/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+00)上單調(diào)遞增,

所以/(x)mm=A1)=e+l—a,

因?yàn)?(x)20,所以e+1—a2()=aWe+1,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一應(yīng)e+1]

(2)

解法1：(思路由湖南郴州李昕提供，沐師提供了對(duì)數(shù)平均不等式的思路，但考慮了下，沒(méi)

加詳細(xì)過(guò)程了，感興趣的自己去做下即可)

由(1)易知/(城e11=/11)=6+1-。，

所以要使得函數(shù)/(X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)X1,x2,則有/(l)<0=>a>e+l.

不妨設(shè)0<%<1<々，要證玉*2<1，只需證用<一，此時(shí)有0<X|<」-<1，

x2x2

由(1)知/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

所以只需證/(x,)>,/(—

<=>

\X2.\X2

故令"(x)=/(x)—/□x>\,

下面先證明一個(gè)引理：當(dāng)x>l,e'>ex,

令Mx）="-0，所以“（x）=/-e〉0恒成立，

故〃（x）在（LW）單調(diào)遞增，所以Mx）〉Mi）=o,故引理得證.

|/1A

所以當(dāng)%>1時(shí)，ex-xex>ex-xex=xe-ex>0,S.x-\>0

\/

故H\x）20在（1/）。）上恒成立，

所以“（尤）=/（*在（1,口）上單調(diào)遞增，故"（x）〉〃⑴=0,

所以A：］/<1.

【思路引導(dǎo)2】利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為上一萬(wàn)「-2-，）>0,再利

x［_2\x）_

用導(dǎo)數(shù)即可得證.

解法2：（由玩轉(zhuǎn)高中數(shù)學(xué)研討提供）

由題知，/（X）一個(gè)零點(diǎn)小于1L個(gè)零點(diǎn)大于1,不妨設(shè)0<%<1<々

要證不工2<1，只需證此時(shí)有0<%<1-<1,

々x2

由（1）知/（X）在（0,1）上單調(diào)遞減，

所以只需證/（%）>_/（,］。/（工2）>/［工］=/（工2）—/（2］>0，

\X1))\X2J

X]

即證----Inx+x-xex-Inx——>0,xe(1,-K。).

XX

即證^——xe^-2Inx-->0,

x[_2vx)_

ex-1(;)<0-

下面證明1>1時(shí)，----xex>0,Inx——x--

x2v

x-

設(shè)g(zx)x=-e--xex,x>\,

X

則

則g'(x)=^~~--——ex,設(shè)9(x)=J(x>1),”(x)=3pe'>0,

x)xX

I

所以夕(x)>9(l)=e,而

ex-/、

所以J—>0,所以g'(x)>0,

x

x

所以g(x)在(1,48)上單調(diào)遞增，即g(X)>g(l)=0,所以幺-x>>0.

令Mx)=In1,則/7'仁)=1).<0,

2(X)_」2x,z

所以MH在(1,400)上單調(diào)遞減，所以Inx-g(x-g)<o,

綜上，-----2Inx—fx—]>0,

x2^x)_

所以A：]/<1,

【點(diǎn)睛點(diǎn)評(píng)】本題極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過(guò)分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式

1(1、

//(x)=lnx--x--這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握

21X)

解法3：對(duì)數(shù)均值不等式，感興趣的自己寫哈

(-)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則

按所做的第一題計(jì)分.

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

22.(2022甲理22)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方