投資學(xué)因子模型和套利定價理論

投資學(xué)第八講因子模型和套利定價實際組合選擇實際的一個缺陷馬科維茨的PortfolioSelection實際闡明了如何在給定風(fēng)險程度下獲得最大的資產(chǎn)組合收益。但是在有效邊境確實立上，需求做大量的變量估計，對計算才干的要求非常高。

假定分析人員需求分析n種股票，那么按照均值－方差模型的要求需求估計：n個期望收益n個方差(n2-n)/2個協(xié)方差假設(shè)n＝50，總共為1325個假設(shè)n＝100，總共為5150個假設(shè)n＝3000，總共要估計超越450萬個變量8.1因子模型〔Factormodel〕定義：因子模型是假設(shè)資產(chǎn)的收益是由某個收益生成過程所決議的〔而不是根據(jù)Markowitz方法〕，而這個生成過程那么可以經(jīng)過某個收益率統(tǒng)計公式線性地表述出來。根據(jù)因子的數(shù)量，可以分為單因子模型和多因子模型。8.1.1單因子模型假設(shè)把經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的一切相關(guān)要素作為一個總的宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)。假設(shè)：〔1〕證券的報答率主要取決于該指數(shù)的變化；〔2〕除此以外的要素是公司特有風(fēng)險：剩余風(fēng)險例如，GDP增長率是影響證券報答率的主要要素。因子模型回歸年份IGDPt（%）股票A收益率（%）15.7

14.326.4

19.23

8.9 23.44

8.0 15.65

5.1

9.2 6

2.9 13.04%圖中，橫軸表示GDP的增長率，縱軸表示股票A的報答率。圖上的每一點(diǎn)表示：在給定的年份，股票A的報答率與GDP增長率。經(jīng)過線性回歸，我們得到一條符合這些點(diǎn)的直線為經(jīng)過分析上面這個例子，可歸納出單因子模型的普通方式：對時間t的任何證券i有時間序列其中：rit在時期t證券i的報答ai零因子ft是t時期公共因子的取值bi證券i對公共因子f的敏感度(sensitivity),或因子載荷〔factorloading〕eit在時期t證券i的特有報答

〔8.1〕假設(shè)只思索在某個特定的時間的因子模型，可以省掉角標(biāo)t，從而〔8.1〕式變?yōu)椴⑶壹僭O(shè)〔8.2〕假設(shè)(1)：因子f詳細(xì)取什么值對e沒有影響，即因子f與e是獨(dú)立的，這樣保證了因子f是報答率的獨(dú)一要素。假設(shè)(2)：一種證券的e對其他任何證券的e沒有影響，兩種證券之所以相關(guān)，僅是由于它們具有共同因子f所致。假設(shè)上述假設(shè)不成立，那么單因子模型不準(zhǔn)確，應(yīng)該思索添加因子或者其他措施。對于證券i，由〔8.2〕其報答率的均值〔期望值〕為其報答率的方差因子風(fēng)險非因子風(fēng)險對于證券i和j而言，它們之間的協(xié)方差為〔8.3〕用因子模型簡化組合選擇過程單因子模型：n個期望收益，n個bi，n個殘差，一個因子f方差，共3n＋1個估計值假設(shè)n＝50，之前1325個，如今151假設(shè)n＝100，之前5150個，如今301假設(shè)n＝3000，之前450萬＋，如今9001一個特殊的因子模型證券收益可以用預(yù)期到的收益和未預(yù)期到的收益兩個部分來解釋，構(gòu)成了未預(yù)期到的因子變化包含知信息的預(yù)期報答f是證券i的因子變化，它是不可預(yù)測的。假設(shè)市場有效，那么t-1時辰的信息集預(yù)測t時辰的價錢無效，這等價于t-1時辰信息無法預(yù)測t時辰的因子，即對于因子的變化沒有任何傾向——公平賭局〔Fairgame〕價錢〔收益〕的不可預(yù)測，本質(zhì)上是信息的不可預(yù)測。單要素模型的簡化是有本錢的，它僅僅將資產(chǎn)收益簡單地以為僅與一個因子相關(guān)。因此難以把握公司對不同的宏觀經(jīng)濟(jì)要素的反響。例：公用事業(yè)公司與航空公司，前者對GDP不敏感，后者對利率不敏感。8.1.2多因子模型雙要素、三要素與五要素模型雙要素模型：經(jīng)濟(jì)周期[GDP]和利率[IR]是兩個最重要的系統(tǒng)要素.三要素模型：FamaandFrench除市場收益外,調(diào)查了公司規(guī)模大小[SIZE]、托賓Q值比[HML]這兩個要素.五要素模型：把宏觀經(jīng)濟(jì)要素分解為：行業(yè)消費(fèi)變動百分比[IP]、預(yù)期通脹變動百分比[EI]、非預(yù)期通脹變動百分比[UI]、長期公司債券對長期政府債券的超額收益[CG]、長期政府債券對短期國庫券的超額收益[GB].兩因子模型假設(shè)只思索一期的模型，那么可以省略表示時間的下標(biāo)，從而兩因子模型方程為在兩因子模型下，對于證券i，其收益率的均值其收益率的方差對于證券i和j，其協(xié)方差為證券i對因子1的敏感度多因子模型對于n種證券相關(guān)的m〔m<n)個因子，證券i的收益可以表示為

CAPM：市場平衡條件下的最優(yōu)投資組合實際

APT：無套利平衡下因子模型8.2套利定價實際〔APT〕套利〔Arbitrage〕是利用證券定價之間的不一致，同時持有一種或者多種資產(chǎn)的多頭或空頭，從而在不承當(dāng)風(fēng)險的情況下鎖定一個正收益。三要點(diǎn)：-零投入-無風(fēng)險-正收益.套利時機(jī)套利時機(jī)-假設(shè)可以持有自融資的投資組合并獲得確定的正收益arisesifaninvestorcanconstructazeroinvestmentportfoliowithasureprofit.假設(shè)市場是有效的,套利時機(jī)將立刻消逝.由于任何投資者,不思索風(fēng)險厭惡與財富情況,均情愿盡能夠多地?fù)碛刑桌M合的頭寸,大量頭寸的存在將導(dǎo)致價錢上漲或下跌直至套利時機(jī)完全消除.

兩種套利方法：當(dāng)前時辰凈支出為0，未來獲得正收入〔收入凈現(xiàn)值為正〕當(dāng)前時辰一系列能帶來正收入的投資，未來的凈支出為零〔支出的凈現(xiàn)值為0〕。假設(shè)如今6個月即期年利率為10%〔延續(xù)復(fù)利，下同〕，1年期的即期利率是12%。假設(shè)有人把今后6個月到1年期的遠(yuǎn)期利率定為11%，那么有套利時機(jī)。套利過程是：買賣者按10%的利率借入一筆6個月資金〔假設(shè)1000萬元〕簽署一份協(xié)議〔遠(yuǎn)期利率協(xié)議〕，該協(xié)議規(guī)定該買賣者可以按11%的價錢6個月后從市場借入資金1051萬元〔等于1000e0.10×0.5〕。按12%的利率貸出一筆1年期的款項金額為1000萬元。1年后收回1年期貸款，得本息1127萬元〔等于1000e0.12×1〕，并用1110萬元〔等于1051e0.11×0.5〕歸還半年期的債務(wù)后，買賣者凈賺17萬元〔1127萬元-1110萬元〕。這是哪一種套利？套利不僅僅局限于同一種資產(chǎn)〔組合〕，對于整個資本市場，還應(yīng)該包括那些“類似〞資產(chǎn)〔組合〕構(gòu)成的近似套利時機(jī)。無套利原那么〔Non-arbitrageprinciple)：根據(jù)一價定律，兩種具有一樣風(fēng)險的資產(chǎn)〔組合〕不能以不同的期望收益率出賣。8.2.1APT的根本假設(shè)1、市場是充分競爭的、無摩擦的〔Perfectlycompetitiveandfrictionlesscapitalmarkets〕；2、投資者是非滿足的：只需有套利時機(jī)就會不斷套利，直到無利可圖為止。－不用對投資者風(fēng)險偏好作假設(shè)3、資產(chǎn)的報答可以用因子模型表示。

APT的根本原理：由無套利原那么，在因子模型下，具有一樣因子敏感性〔b〕的資產(chǎn)〔或組合〕應(yīng)提供一樣的期望收益率。

8.2.2構(gòu)建套利組合

Arbitrageportfolio1、零投資：套利組合中購買證券的資金由賣出別的證券來提供，即自融資〔Self-financing〕。2、無風(fēng)險：在因子模型條件下，因子動搖導(dǎo)致風(fēng)險，因此，無風(fēng)險就是套利組合對任何因子的敏感度為0。3、正收益：套利組合的期望收益大于零。用數(shù)學(xué)表示就是WellDiversifiedPortfolioRecallthereturnonaportfolioremainscanapproach0withdiversificationRiskassociatedwithfissystematicornon-diversifiableRiskassociatedwiththeei’sisdiversifiable.WesaythataportfolioiswelldiversifiedifTheEffectofDiversificationAssume(i.e.allerrorshavethesamevar)LetTheerrorisreducedbyafactorofn.AsLet’stakealookattheerrorterm8.2.3套利定價模型假設(shè)投資者構(gòu)造這樣的資產(chǎn)組合：〔1〕無風(fēng)險利率借入1元錢；〔2〕1元錢投資在兩種資產(chǎn)，這樣構(gòu)造一個自融資組合。假設(shè)不存在套利時機(jī)，那么該套利組合的收益為0根據(jù)條件〔2〕，普通方式的證明見附錄APT的意義假設(shè)bi＝0，那么上式退化為無風(fēng)險資產(chǎn)，那么意味著假設(shè)bi≠0，那么期望報答隨著的添加而增大風(fēng)險因子載荷APT的意義假設(shè)給定等投資額的證券h多頭和證券l空頭，那么構(gòu)成套利組合。投資者為獲利必定盡能夠地購入證券h，從而使其價錢上升，預(yù)期收益率下降，最終到達(dá)APT定價線。在平衡時，一切的證券都落在套利定價線上，只需證券偏離APT定價線就會有套利時機(jī)。APT定價線8.2.4APT的另一種表達(dá)那么稱該組合p為純因子組合(類似于CAPM的市場組合)在兩因子模型下，我們有即第1因子的風(fēng)險價錢第2因子的風(fēng)險價錢這樣可將APT的表達(dá)式可以改寫為8.3APT與CAPM的比較APT與CAPM的一致性假設(shè)只需一個風(fēng)險因子，且純因子組合是市場組合，那么當(dāng)APT與CAPM均成立時有1、CAPM是一種實際上非常完美的模型，但假設(shè)條件太多、太嚴(yán)厲。其中關(guān)鍵的假設(shè)是同質(zhì)性假設(shè)和普通平衡。APT假設(shè)少得多。根本假設(shè)是：個體是非滿足，不需求風(fēng)險躲避的假設(shè)！只需一個人套利，市場就會出現(xiàn)平衡CAPM與APT的區(qū)別2、在CAPM中，市場組合居于不可或缺的位置〔假設(shè)無此，那么其實際瓦解〕。APT并不要求組合一定是市場組合，可以是任何風(fēng)險分散良好的組合：純因子組合3、假設(shè)純因子組合不是市場組合，那么APT與CAPM不一定一致，CAPM僅僅是APT的特例。當(dāng)且僅當(dāng)純因子組合是市場組合時，CAPM與APT等價。CAPM與APT的區(qū)別留意二者并不一致由于市場組合在實踐中不是總能得到，因此，在實踐運(yùn)用中，只需投資基金等組合，即可滿足APT。所以APT的適用性更強(qiáng)！4、APT的推導(dǎo)以無套利平衡為中心，CAPM那么以普通平衡GeneralEqulibrium中心。5、CAPM屬于單一時期模型，但APT并不遭到單一時期的限制。6、在CAPM中，證券的風(fēng)險只與市場組合相關(guān)。APT成認(rèn)有多種要素影響證券價錢，為識別證券風(fēng)險的來源提供了分析工具。1976年羅斯(Stephen.A.Ross,1944～)的套利定價實際(APT,ArbitragePricingTheory)。命題：假設(shè)n種資產(chǎn)其收益率m個因子決議〔m<n〕，即其中，i=1,2,…,n，j=1,2,…,m，那么附錄：APT的嚴(yán)厲證明證明：假設(shè)在資產(chǎn)i上投資wi，構(gòu)造零投資且無風(fēng)險的組合，即wi滿足以下條件零投資無風(fēng)險〔2〕〔1〕即，1、bj〔j=1,2,…,m)線性無關(guān)。假設(shè)市場有效，那么不會有套利平衡，即零投資、無風(fēng)險的組合必然是無收益的，從而只需〔1