第1課時(shí)+空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示練習(xí)-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

第1課時(shí)空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作為平面ABC的法向量的是 ()A.AB B.A1C1C.BC1 2.若A(2,1,1),B(1,2,2)在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量為 ()A.(2,1,2) B.(-2,2,3)C.(-1,1,1) D.(1,0,0)3.若μ=(2,-3,1)是平面α的一個(gè)法向量,則下列向量中能作為平面α的法向量的是 ()A.(0,-3,1) B.(2,0,1)C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)4.已知直線l的一個(gè)方向向量為m=(2,-1,3),且直線l過(guò)A(0,y,3)和B(-1,2,z)兩點(diǎn),則y-z= ()A.0 B.2C.12 D.5.已知平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1,1)和B(-1,1,z),n=(1,0,-1)是平面α的一個(gè)法向量,則實(shí)數(shù)z= ()A.3 B.-1 C.-2 D.-36.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,E為BB1的中點(diǎn),F為A1D1的中點(diǎn),則下列向量中,能作為平面AEF的法向量的是 ()A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2)C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)7.已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),直線l與點(diǎn)M(1,2,3)在平面α內(nèi),則平面α的法向量不可能是 ()A.(1,-4,2) B.14,-1,12C.-8.(多選題)已知平面α過(guò)點(diǎn)M(1,3,2),其法向量m=(3,1,0),則下列點(diǎn)不在平面α內(nèi)的是 ()A.S(2,0,0) B.Q(2,0,4)C.R(0,2,3) D.T(-2,3,0)9.(多選題)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則下列結(jié)論中正確的是 ()A.直線BD1的一個(gè)方向向量為(-2,2,2)B.直線BD1的一個(gè)方向向量為(2,2,2)C.平面B1CD1的一個(gè)法向量為(1,1,1)D.平面B1CD的一個(gè)法向量為(1,1,1)10.若A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,5811.如圖L1-4-3,放置于空間直角坐標(biāo)系中的棱長(zhǎng)為2的正四面體A-BCD中,H是底面中心,DH⊥平面ABC,寫(xiě)出:(1)直線BC的一個(gè)方向向量:;

(2)直線OD的一個(gè)方向向量:;

(3)平面BHD的一個(gè)法向量:.

12.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知平面α的一個(gè)法向量為n=(1,-1,2),且平面α過(guò)點(diǎn)A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α內(nèi)任意一點(diǎn),則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的方程是.

13.如圖所示,在四面體O-ABC中,G,H分別是△ABC,△OBC的重心,設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,D為BC的中點(diǎn).以{a,b,c}為空間的一個(gè)基底,求直線OG和GH的方向向量.14.如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=12,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求平面SCD與平面SAB的法向量15.(多選題)已知平面α內(nèi)的兩個(gè)向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1),若c為平面α的一個(gè)法向量,則 ()A.m=-1 B.m=1 C.n=2 D.n=-216.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn),AB=AP=1,AD=3,試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.求:(1)平面ACE的一個(gè)法向量;(2)直線PC的一個(gè)方向向量和平面PCD的一個(gè)法向量.

答案1.D[解析]如圖,∵CC1,AA1,BB1均垂直于平面ABC,故選項(xiàng)D中AA1可以作為平面ABC的法向量.故選D2.C[解析]A(2,1,1),B(1,2,2)在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量為AB=(-1,1,1).故選C.3.D[解析]能作為平面α的法向量的向量與μ=(2,-3,1)共線,結(jié)合選項(xiàng)可知選D.4.A[解析]由題知,AB=(-1,2-y,z-3),因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為m=(2,-1,3),所以AB=km,所以-1=2k,2-y=-k,z-3=3k,解得k=-12,y=z=32,所以y-z=0.5.B[解析]連接AB,∵平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1,1)和B(-1,1,z),∴AB?平面α,AB=(-2,0,z-1).∵n=(1,0,-1)是平面α的一個(gè)法向量,∴n·AB=-2-(z-1)=0,解得z=-1.故選B.6.B[解析]設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),∴AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2),設(shè)向量n=(x,y,z)是平面AEF的法向量,則n·AE=2y+z=0,n·AF=-x+2z=0,取y=1,得z=-2,x=-4,則n=(-4,1,-7.D[解析]依題意,知PM=(0,2,4),平面α的法向量必然與a,PM垂直.對(duì)于A,1×2+(-4)×1+2×1=0,1×0+(-4)×2+2×4=0,故A中向量滿足題意;對(duì)于B,2×14+(-1)×1+12×1=0,14×0+(-1)×2+12×4=0,故B中向量滿足題意;對(duì)于C,-14×2+1×1-12×1=0,-14×0+1×2-12×4=0,故C中向量滿足題意;對(duì)于D,0×2-1×1+1×1=0,0×0-1×2+8.CD[解析]對(duì)于A,SM=(-1,3,2),SM·m=-1×3+3×1+2×0=0,所以S在平面α內(nèi);對(duì)于B,QM=(-1,3,-2),QM·m=-1×3+3×1-2×0=0,所以Q在平面α內(nèi);對(duì)于C,RM=(1,3-2,2-3),RM·m=1×3+(3-2)×1+(2-3)×0=23-2≠0,所以R不在平面α內(nèi);對(duì)于D,TM=(3,0,2),TM·m=3×3+0×1+2×0=33≠0,T不在平面α內(nèi).故選CD.9.AC[解析]由題可知,B(1,0,0),D1(0,1,1),則BD1=(-1,1,1),∴直線BD1的一個(gè)方向向量為(-2,2,2),故A正確,B錯(cuò)誤;C(1,1,0),B1(1,0,1),則CB1=(0,-1,1),CD1=(-1,0,1),設(shè)平面B1CD1的法向量為n=(x,y,z),則n·CB1=-y+z=0,n·CD1=-x+z=0,取x=1,得n=10.2∶3∶(-4)[解析]由A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,58得AB=1,-3,-74,AC=-2,-1,-74,因?yàn)閍為平面的法向量,所以AB·a=0,AC·a=0,即1,-311.(1)(-1,3,0)(答案不唯一)(2)0,33,263(答案不唯一)(3)(1,3,0)(答案不唯一)[解析]由題意可得OA=OB=1,OC=32×2=3,OH=13OC=33,DH=DC2-CH2=22-2332(1)直線BC的一個(gè)方向向量為BC=(-1,3,0).(2)直線OD的一個(gè)方向向量為OD=0,(3)HD=0,0,263,BH=-1,33,0.設(shè)n=(x,y,z)為平面BHD的法向量,則n12.x-y+2z+1=0[解析]連接AP,由題意可知AP=(x,y-3,z-1),∵平面α的一個(gè)法向量是n=(1,-1,2),∴AP·n=(x,y-3,z-1)·(1,-1,2)=0,即x-y+3+2z-2=0,即x-y+2z+1=0,故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的方程是x-y+2z+1=0.13.解:由題意知OG=OA+AG,AG=23AD,AD=OD-因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以O(shè)D=12(OB+OC),所以O(shè)G=OA+23AD=OA+23(OD-OA)=OA+23×12(OB+OC)-23OA=13(OA+OB+OC)=13因?yàn)镚H=OH-OG,OH=23OD=23×12(OB+OC)=13(b+c),所以GH=13(b+c)-13(a+b+c)=-114.解:以A點(diǎn)為原點(diǎn),AD,AB,AS所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),D12,0,0所以DC=12,1,0,DS=-12,0,1,由題可知,AD⊥平面SAB,所以向量AD=12,0,0是平面SAB的一個(gè)法向量.設(shè)n=(x,y,z)為平面SCD的法向量,則n·15.AC[解析]c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c為平面α的一個(gè)法向量,得c·a=0,c·16.解:(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),E0,32,12,C(1,